65.立体几何问题的基底向量解法.doc
中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)立体几何问题的基底向量解法基底向量解法的应用程序 不需要建系求点的坐标,直接利用向量也可解决立体几何问题,我们称其为基底向量法;基底向量法的理论基础是基底定理,基底向量法为我们提供了解决立体几何问题的又一利器,尤其是对“不规则”的几何体最为有效.母题结构:1.基底定理:如果a、b是平面内二个不共线向量,x是平面内的任意向量,那么存在唯一的一组实数(x,y),使得x=xa+yb;2.三点共线:如果点O不在直线AB上,则三点A、B、P共线=+,其中,+=1.1.基底定理:如果a、b、c是空间内三个不共面的向量,x是空间内的任意向量,那么存在唯一的一组实数(x,y,z),使得x=xa+yb+zc;2.四点共面:如果点O不在平面ABC上,则四点A、B、C、P共面=+,其中,+=1.解题程序:寻找确定三个不共面(最好具有公共始点)且模长及两两夹角已知或可求的向量作为基底向量;将待求的有关向量用基底向量表示;利用向量关系和计算求解有关问题. 1.正四面体 子题类型:(2014年大纲高考试题)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) (A) (B) (C) (D)解析:设正四面体ABCD的棱长为2,=2a,=2b,=2c,则=a-2b|=,=2c(a-2b)=-1|cos<,>|=.故选(B).点评:对于正四面体,可选择任意一个顶点上的三条棱上的向量a,b,c为基底向量,若|a|=|b|=|c|=2,则ab=bc=ca=2. 2.特殊基底 子题类型:(2009年全国高考试题)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( ) (A) (B) (C) (D)解析:不妨设棱长为2,选择基向量,则|=,=-,=-=(-)(-)=2=3AB与CC1所成的角的余弦值=cos<,>=.故选(D).点评:若几何体中存在三条两两垂直的线段,且其长度的比是确定的,则可选择这三条线段上的向量为基底向量. 3.确定基底 子题类型:(2008年四川高考试题)若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为600的菱形,则该棱柱的体积为( ) (A) (B)2 (C)3 (D)4解析:设=a,=b,=c,作AO底面A1B1C1于点O,设=(a+b),则=c-(a+b);由=0ac-(a+b)=0=c-(a+b)|=该棱柱的体积=2.故选(B).点评:若几何体中存在三条两两夹角已知的线段,且其长度的比是确定的,则可选择这三条线段上的向量为基底向量. 4.子题系列:1.(1995年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体ABCD的棱长是16,E是棱AB的中点,F在棱CD上,若CF=5,则线段EF的长等于 .2.(2005年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体ABCD的棱长为6cm,在棱AB、CD上各有一点E、F,若AE=1cm,CF=2cm,则线段EF的长为 cm.3.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值是( ) (A) (B) (C)- (D)-4.(2012年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在正四面体ABCD中,AO平面BCD,垂足为O.设M是线段AO上一点,且满足BMC=,则= .5.(2005年全国高中数学联赛试题)空间四点A、B、C、D满足:|=3,|=7,|=11,|=9,则的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个6.(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知正三棱锥P-ABC的底面正三角形的边长为1,其外接球的球心O满足+=0,则这个正三棱锥的体积为 .7.(2012年大纲高考试题)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1=CAA1=600,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .8.(2010年全国高中数学联赛试题)正三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱长都相等,P是CC1的中点,二面角B-A1P-B1=,则sin= .9.(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,顶点A出发的三条棱AA1、AB、AD的长度分别为2、3、4且两两夹角都为600,那么这个平行六面体的四条对角线AC1、BD1、DB1、CA1的长度(按顺序)分别为 .10.(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知对角线A1C=4,B1D=2.若P是空间一点使PA1=3,PC=5,则PB12+PD2= . 5.子题详解:1.解:设=8a,=8b,=8c,则|a|=|b|=|c|=2,ab=bc=ca=2,=b+c-4a|=.2.解:设=3a,=3b,=3c,则|a|=|b|=|c|=2,ab=bc=ca=2,=2b+c-a|=.3.解:设正四面体的棱长为4,=a,=b,=c,则=-=a-c,=-=-a+b+c|2=(a-c)2=13,|2=(-a+b+c)2=13,=(a-c)(-a+b+c)=4cos<,>=.故选(A).4.解:设=a,=b,=c,则=(a+b+c),设=(a+b+c),则=(a+b+c)-a,=(a+b+c)-b,由=0(-1)a2+(-1)2+2ab+(2+-1)ac+2bc+(-1)b2+c2=0=1.5.解:设=a,=b,=c,则|a|=3,|a-b|=7,|c-b|=11,|c|=9a2=9,a2-2ab+b2=49,c2-2bc+b2=121,c2=81b2-2ab=40,b2-2bc=40ab=bc,=b(c-a)=bc-ab=0.故选(A).6.解:由+=0正三棱锥的体积=. 7.解:设=a,=b,=c,则|cos<,>|=.8.解:sin=. 9.解:设=a,=b,=c,则AC1=|a+b+c|=,BD1=|a+c-b|=,DB1=|a+b-c|=,CA1=|a-b-c|=3. 10.解:PB12+PD2=28.
