Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系毕业论文.doc

学号：*师范大学学士学位论文题 目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系学 生 *指导教师 年 级 2009级专 业 数学与应用数学专业系 别 数学系学 院 数学科学学院* 师 范 大 学学士学位论文开题报告 论文题目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系学生姓名 *指导教师 *年 级 09级07班专 业 数学与应用数学2012年 11 月课题来源：教师命题课题研究的目的和意义：目的：了解黎曼积分和勒贝格积分在分析中的地位意义：更好的学习积分知识国内外同类课题研究现状及发展趋势：数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时.勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 本文主要概括和总结了黎曼积分和勒贝格积分在定义、积分性质、微分基本定理、本质、上的区别和联系。积分与极限换序方面的比较。得出了从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广。勒贝格积分的创立使数学进入了现代分析时代。课题研究起止时间和进度安排：2012年12月5日，之前完成毕业论文开题报告。2012年12月20日，搜集资料完成。2013年2 月20日，论文初稿完成。2013年3月20日，论文第一次校对完成。2013年4月，完成毕业论文。指导教师审查意见：同意开题指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：同意开题_院（系）主任 （签字） 年 月Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 摘要：Riemann积分与Lebesgue积分，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位,它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对Riemann积分和勒Lebesgue积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键字：Riemann积分 Lebesgue积分 可测集 区别 联系 积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的Riemann积分(下文简称积分)，一种是作为现代实变函数论核心的Lebesgue积分（下文简称积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别.一、 Riemann积分的定义 设是定义在上的有界函数，任取一分点组T将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,.作和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为 二、 Lebesgue积分的定义 设是一个勒贝格可测集，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组记并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作三、Riemann积分与Lebesgue积分在定义上的比较1、“极限式”定义的比较1）Riemann积分的“极限式”定义设f(x)是定义在闭区间的有界函数，对区间的任一个分T：，记，=max,任取，i=1,2,3,.,n作和，并求极限，若该极限存在，则称在上Riemann可积。 并把该极限称为在上的积分，记作2) Lebesgue积分的“极限式”定义设f(x）是定义在可测集上的有界可测函数，且mE<,存在使.若对的任一划分D：，记，对任意，作和，并求极限,若该极限存在,则称在上是Lebesgue可积的,并把该极限称为在上的积分，记作. 由上述定义可见, R 积分的极限式定义和L积分的极限式定义的共同点是都作分划, 求和, 极限, 但R积分的极限式定义中是对定义域作的划分, 而在L积分的极限式定义中是对值域作的划分.2、 “确定式”定义的比较1) Riemann积分的“确定式”定义设函数在闭区间上有界，对任意分划记为函数在上的上确界，为函数在上的下确界，相对于分划作和称为函数关于分划的大和数，称为函数关于分划的小和数，记，称为在上的上积分，记，称为在上的下积分.如果则称在上可积，并称此时的共同值为在上的积分，记作2） Lebesgue积分的“确界式”定义设是一个非空可测集，其中各个Ei 为互不相交的非空可测集,是任意一个可测分划, 记为函数在上的上确界，为函数在上的下确界，相对于分划作和称为函数关于分划的大和数，称为函数关于分划的小和数,记称为在上的上积分，记，称为在上的下积分，如果则称在上积分，记作. 由以上两个定义可以看出L积分的“确界式”定义与R积分的“确界式”定义在形式上完全类似,都是先对积分区域进行划分，定义关于划分的大和与小和；然后，定义大和的下确界为上积分,，小和的上确界为下积分；最后, 规定如果上下积分相等则称被积函数在积分区域上积。但两定义并不完全相同， 其主要区别来看下面几点：(1) 积分区域方面：积分中的积分区域是闭集，积分中的积分区域是可测集,而闭集包含于可测集，所以积分较积分域要更一般些。( 2)分划方面: 积分把定义域划分为自变量很靠近的小区间,而积分把定义域划分为函数值很靠近的一些小集合.( 3)测度方面:在R积分中采用的是约当测度;在L积分中采用的是勒贝格测度.( 4)被积函数方面： 积分理论中的被积函数都是基于它是有界的这一前提，而积分中对被积函数的要求则是可测.( 5)在积分中有界, 条件可以去掉，而积分不行.四、 Riemann积分与Lebesgue积分在性质上的比较1、 可积函数的连续性连续函数是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数，那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集.这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个，但这个函数在上仍是黎曼可积的，且有事实上，中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的.现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质呢？设是可测集上的连续函数，则在上勒贝格可积的充要条件是在上勒贝格可测.有限区间上的连续函数是可测函数，对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数.从这里我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性区别在哪里？我们有下面的鲁津定理：设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则对任意的,存在闭子集，使在是连续函数，且从这个定理可以看出，在可测集上几乎处处有限的可测函数是基本上连续的，或称为是近于连续的，因此勒贝格可积函数是近于连续的，对应于黎曼可积函数的情形，有2、 积分的可加性这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性，即若，均为有限区间，（）则有但是黎曼积分不具有可数可加性。对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷，我们有下面的定理：定理 若，（），（=1,2，.）均为可测集，且，是上的勒贝格有界可积函数，则有对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解.我们知道，黎曼积分建立在约当测度之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而约当测度只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性.3、 积分极限定理关于黎曼积分积分与极限交换的问题，很多文献都有详细的叙述，这里不再多说，由于积分与极限交换的问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的效果.在勒贝格积分范围类对于这个问题得到比在黎曼积分范围类完满的解决，这正是勒贝格积分的最大成功之处.对于勒贝格积分，有如下：勒贝格控制收敛定理：设（1）是可测集上的可测函数列；（2）几乎处处于，n=1,2，.，且在E上可积；（3）几乎处处于；则在上可积，且设，将条件（2）改为（n=1,2，.），则定理结论仍成立，这也叫做勒贝格积分的有界收敛定理.与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松的多，且不需要假设极限函数的可积性，从而使我们又一次看到勒贝格积分的优越性.4、 牛顿莱布尼茨公式设在上可微，则有即在上述条件下，积分运算是微分运算的逆运算，显然，在微积分基本定理中，必须是可积的.然而早在1881年，Volterra就做出了一个可微函数，其导函数不是黎曼可积的，因此在黎曼积分范围内，积分运算只是部分的成为微分运算的逆运算，这就大大限制了微积分基本定理的应用范围.但是勒贝格积分大大改善了上述缺陷，使牛顿莱布尼茨公式得应用范围大大扩大了.我们有下面的定理：定理1 设是上的勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数.定理2 设是上的勒贝格可积函数，则存在绝对连续函数，使得几乎处处于.定理3 设是上的绝对连续函数，则几乎处处有定义的在上勒贝格可积，且即总是在上勒贝格可积函数的不定积分.由定理2我们可以得到一个重要事实，即在勒贝格积分范围类积分再微分则还原.由定理（1）和定理（3）我们可以看出绝对连续函数的重要性，它完全可以标志不定积分.勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越的多.5 、线性性质1） Riemann积分：若函数，在上可积，则在上可积，且2） Lebesgue积分：在可测集上有积分（可积），则在上有积分(可积) ，且6、 单调性1） Riemann积分：与在上可积，且满足则2） Lebesgue 积分：与在上可积，且满足则7、 绝对值不等式性1） Riemann 积分：若是上可积函数，则2） Lebesgue 积分：若是上的可积函数，则8、 绝对可积性1）Riemann 积分：若在上可积,则在上也可积.注:它的逆命题不成立.例如是 0, 1 上的有理数在上连续，所以是可积的，但是上可积的，但在上不可积.2) Lebesgue 积分：设在上可积在上可积通过以上性质的比较可以看出，积分与积分在线性性、可加性、单调性、绝对值不等式性等方面的形式一样, 但积分中的积分值指的是有限值,而积分中的积分值可以有限,也可以为无限,除此之外, 积分与积分在绝对可积性、积分中值定理等方面不同。另外, 积分还具有分没有的绝对连续性. 从而可以看出积分的性质确实比积分的性质要优越。五、 R积分和L积分在积分与极限换序方面的比较1、R积分中积分与极限换序的条件 数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题. 然而,要交换次序往往需要函数列一致收敛,这一条件太强, 不易满足,也不易验证。2、L积分中积分与极限换序的条件 L积分正是由于R积分在这方面的不足而诞生的, 它在积分与极限换序的条件上要求很松且很容易检验。下面我们就来看L积分中积分与极限换序的充分条件,即勒贝格控制收敛定理。 勒贝格控制收敛定理，设是可测集上的可测函数列； 于且在上可积；（或)则在上可积，且六、 R积分与L 积分在微积分基本定理上的比较1、 R积分中微积分基本定理 微积分基本定理在微积分理论中起着非常重要的作用,在积分中要求函数这一结论沟通了积分和微分之间的关系，然而，它必须受到在上是可积的条件的限制在1881年就做出了可微函数, 其导数是有界的,但导数不是可积的。可见在积分下微积分基本定理这一重要的结论适应面过窄。2、 L积分中微积分基本定理在积分中要求函数在上是绝对连续的，则有 所以, 积分理论中的微积分基本定理不但继承积分理论中积分后再微分可以还原的优点,而且放松了积分理论中微分后再积分可还原的条件。由此看来, 积分在积分与微分的关系问题上比积分优越很多。 通过以上几个方面的比较, 可以看出L 积分对R积分做了推广后,给我们带来了全新的观点,开辟了分析学的新天地。勒贝格积分不仅可积函数类广泛,还具有良好质,积分号下求极限的条件也较宽松，使它在数学理论上占据黎曼积分所不可能有的重要地位。七、 Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别通过上面的内容我们看到Lebesgue积分是对于Riemann积分的一种推广，那么Riemann积分和Lebesgue积分之间最本质的区别是什么呢？下面我们从他们的定义出发，利用空间的完备性概念加以讨论。我们先给出几个定义：定义一：设是一个非空的集合，若对于中的任意两个元素，都有唯一确定的实数与之对应，并且满足（1) 的充要条件是（2) 对于任意的, 都有则称是与之间的距离，称为距离空间，记作。定义二：设是距离空间，是中的点列（元素列），如果任意给的正数>0,存在自然数，使得当，>时，必有，则称是中的基本点列。如果对于中的每个基本点列，都存在使得。则称距离空间是完备的。 令表示在区间上的全体Riemann可积函数，表示在区间上的全体Lebesgue可积函数。在和引入距离：。可知和在此距离下为距离空间。命题一:是一个不完备的空间。证明：不失一般性，取在区间0,1上作一个完备集使得。此只要确定关于的补集就可以了。我们构造如下：第一组取中点，长度为的开区间，第二组取中点分别为与，长度为的两个开区间，.,第组取余下的区间中点为中点，长度分别为的个开区间，显然这些区间互不相交，所取出的这些区间的全体记作则而且是一完备集下面我们在上定义一个函数列：显然有：而从而对任给分，只有足够的大就有所以是空间上的基本点列。并且显然有：又因为在上不连续，并且。所以在上不是Riemann可积的。所以不是完备空间。命题二：是一个完备空间证明：设函数列是空间上的基本点列。即对任意的有自然数，当时，有，设:待添加的隐藏文字内容2则于是由Riesz定理：依测度收敛于，从而有子序列依测度收敛于，下面证明：也是基本列，即：对上面的，当时，有另一方面：当时，几乎处处依测度收敛于。由引理：故：，从而。于是： 所以：从而：是完备空间 结论，从Riemann积分推广到Lebesgue积分的本质是从不完备空间到完备空间的扩充。八、 总结 数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时.勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.但是值得一提的是，勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分，它把黎曼积分作为一种特例加以概括，并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分，由此可见，黎曼积分和勒贝格积分各有自己的优势和价值. 从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程，生动说明了数学的发展是永无止境的，随着科学和社会的发展，L积分也逐渐暴露出了它的局限性（在此不一一列举），积分理论也是有待发展的.可以预测：随着科学和社会的不断发展，积分理论也会越来越完善。 参考文献：1 潘天舒：北京大学和世界一流大学经费比较，高等教育论坛1999年第4期。2 苏云峰：从清华学堂到清华大学，三联书店2001年版。3 周成林. 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 J . 新乡教育学院学报2005, (02) 4程其襄,等. 实变函数与泛函分析基础M . 北京:高等教育出版社, 2002, 52 - 167.5周民强. 实变函数论M . 北京: 北京大学出版社,2001, 145 - 267.6曹广福. 实变函数论M . 北京: 高等教育出版社,施普林格出版社, 2000, 80 - 130.Riemann integral and Lebesgue integral differences and relations Abstract: Riemann integral and Lebesgue integral, both integral occupies a very important position in the analysis of mathematical different but they have played a huge role in the history of the development of mathematics in this paper by Riemannintegral and Le Lebesgue integral defined analysis and comparison, summarized the difference between the two contact. Keywords: Riemann integral Lebesgue integral measurable set difference Contact论文评阅人意见论文（设计）题目Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系作 者评阅人评阅人职称讲师意 见该论文以黎曼积分和勒贝格积分在定义、积分性质、微积分定理上的区别和联系。介绍了黎曼积分和勒贝格积分的性质定义。文题相符，结构严谨，逻辑严密，语言流畅，表达准确，层次分明，格式完全符合规范要求，参考了丰富的文献资料. 该论文达到了学士学位论文水平要求，是一篇合格的毕业论文，同意其参加论文答辩，并建议授予学士学位. 论文评阅人意见论文（设计）题目Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系作 者指导教师职 称讲师评 语黎佳琪同学的学士学位论文Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系以多种方法为研究内容.论文中选取的证明方法贴近中学课堂教学，有很强的实际应用价值.文章篇幅完全符合学院规定，主体清晰，布局合理，深入浅出，详略得当，文章内容完整，论述清楚，表达准确，举例恰当，有一定的个人见解.文题完全相符，论点突出，论述紧扣主题.语言流畅，格式完全符合规范要求；参考了丰富的文献资料，无抄袭现象.该论文达到了学士学位论文水平要求，是一篇合格的毕业论文，同意其参加论文答辩，并建议授予学士学位.本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学 年级 2009 级 答辩人姓名 学号 毕业论文（设计）题目 Riemann 积分Lebesgue积分的区别和联系 毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）记录员 答辩小组组长签字 年 月 日 年 月 日本科毕业论文（设计）答辩登记表院（系）：数学科学学院数学系 专业：数学与应用数学 年级：2009级论文（设计）题目：Riemann积分和Lebesgue积分的区别和联系答辩人：学号：评阅人：指导教师： 论文（设计）等级：答辩小组成员：答辩小组意见：秘书签名： 年 月 日论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）论文（设计）最终等级：答辩小组组长签名：答辩委员会主席签名：指导教师评语页论文（设计）题目Riemann积分和Lebesgue积分的区别和联系作 者指导教师职 称讲师 评 语指导教师签字论文等级