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电磁场与天线A作业题解答 第3章 静电场及其边值问题的解法3.1、3.6、3.11、3.13、3.16、3.18、3.32、3.333.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)； (2)；(3)； (4)。解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。(1) (2) (3) (4) （顶端）3.6有和的两种电介质分别分布在和的半无限大空间。已知时。试求时的。解：设，则由题意可知两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为或 ，则所以，z < 0 时： （顶端）3.11如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和。当两极板之间外加电压时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程：且由介质分界面的边界条件可知， 两种介质中的电位分布是相同的，其通解为：根据已知条件，解得和，即平板电容器中的电位分布为：根据，可以得到平板电容器中的电场强度：对平板上，面电荷密度分别为总电量为： 电容器的电容为：对于图b：忽略边缘效应，同样可认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程，两种介质中的电位分布的通解可以分别设为 和 根据已知条件和，以及分界面处的边界条件和可以解得 和 根据，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为 和 对平板上，面电荷密度为：总电量为：电容器的电容为： （顶端）3.13如题3.13图所示，半径为的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为。其一半埋于介电常数为的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。解：设导体电位为零。以导体圆柱中心轴为z轴建立圆柱坐标系，空间电位与只与坐标r有关，即，在圆柱坐标系中，设电位分布为：F1、F2均满足一维拉普拉斯方程，即将上述两方程分别直接积分两次，得通解： 和 在介质分界面上任一点电位皆连续，则和，即无限长导体圆柱上电位为0，即，可得，则通解可写为：导体圆柱表面的面电荷密度为：单位长度导体圆柱上的电量为： 或： 于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为 和 （顶端）3.16顶端夹角为的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标的函数，满足一维的拉普拉斯程无限大导体平面绝缘缝隙（题第3.16图）即 将上述方程分别直接积分，得出通解为利用边界条件和解得 和 由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为 和 （顶端）3.18题图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：(1)，；(2)，；解：(1) 本题属于二维边值问题：，其电位满足的Laplace方程可用分离变量法求解。由题意可知：y方向具有齐次边界条件，则，其通解形式为：由边界条件，即由可得： 和 则通解亦为：代入边界条件： 由于，则，代入通解得利用公式：，得令常数，则通解可写成：将上式对求和，得该边值问题的解：最后，将边界条件 代入上式，得上式两边同乘，并作积分：利用三角函数的正交关系：，则而，则系数 或 最后得到电位分布为：(2) x方向满足齐次边界条件，则，其通解形式为：将上式运用边界条件和，可以得到再由边界条件以及，可以得到则 式中，。将上式对求和得此边值问题的解：最后，将边界条件 代入上式，得两边同乘 ，作积分并利用三角函数的正交性：得系数： 或 最后得到电位分布为：（顶端）3.32若两个半无限大导体平面相交成a 角，其间放一根无限长带电直线，线电荷密度为，且与两平面的交线平行。试求下列情况下a 角形区域内的电位分布：(1)； (2) ; (3) 。解：设导体平面接地，则O点电位亦为零。以O点为零电位参考点(1) a=90°时，对应3个镜像（线）电荷（位置如图）：（1）a=90°，P点电位为各线电荷在P点电位的叠加： r、r1、r2、r3分别为到P点的距离, r0为各线电荷到O点的距离。代入整理上式得： （2）a=60°(2) a=60°时，对应5个镜像（线）电荷（位置如图）：，设r、r1、r2、r3、r4、r5分别为到P点的距离。各线电荷到O点的距离相等（设为r0），则P点电位为： (3) a=45°时，对应2n-1=7个镜像（线）电荷（图略），P点的电位为： （顶端）3.33内半径为的导体球壳内有一个点电荷，距球心为，球壳的厚度为。试求下列情况下，空间各处的电位分布：(1)球壳接地； (2)球壳接电位； (3)球壳带电量。(1) 球壳接地解：可将电场空间分成3个区间进行讨论、及（r为场点P到球心的距离）(1) 球壳接地时：电位分布 ： ：（采用镜像法计算电位）引入镜像电荷，（如图）该区域（球型空腔）内电位式中分别为空腔内场点分别到的距离。(2) 球壳接电位(2) 球壳接电位时：设外表面带电荷Q，则Q在外表面分布为均匀分布。：在边界上电位连续，即则该区域电位：（采用镜像法计算电位）引入镜像电荷（如图）， 及 （位于球心）设该区域中场点P到电荷的距离分别为，则(3) 球壳带电量时：静电感应平衡后球壳外表面均匀带电，则(3) 球壳带电量：=常数F 0：（采用镜像法计算电位）引入镜像电荷（如图）式中，分别为该区域中场点P到电荷的距离。（顶端）11/ 11