第12章习题解答.doc

平几习题集解答第一章习题练习1（面积法）1 已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE=AF，DGAF，BHAE，G、H是垂足。求证：DG=BH。证明：连DF、BE，那么所以 。但AF=AE，于是BH=DG。2. 设AD为ABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC于E。求证：EC=2AE。证明：因为BD=DC，AF=FD，故。3已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE=CF。求证：GB平分AGC。证明：连BE、BF，则。另一方面，所以 sinBGC=sinAGB，即BGC=AGB。所以BG平分AGC。4P是ABC中A的平分线上任意一点。过C引CE/PB，交AB的延长线于E，过B引BF/PC，交AC的延长线于F。求证：BE=CF。 证明：如图，故 所以BE=CF。5E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。证明：由P、E、M共线，得，故。由F、Q、M共线，得，故。所以 。因为AE=ED，BF=FC，所以PN=NQ。6AD是ABC的中线，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：。证明：因为CD=DB，所以。7P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PEAB于E，PFBC于F。求证：PE ：PF = BC ：AB。证明：因为ABCD是平行四边形，故。另一方面，由PEAB，PFBC，知，所以 。8ABC中，ACB=900，AC=BC，D为BC中点。作CEAD，分别交AB、AD于E、F。求证：AE=2BE。证明：因 为CD=BD，故。另一方面，ACCD，CFAD，故AFCCFD。所以。故AE=2EB。9已知：在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PDAB于D，PEAC于E，BF是AC边上的高。求证：PD+PE=BF。证明：连AP，那么由，得 AC·BF=AB·PD+AC·PE。又因为AB=AC，所以PD+PE=BF。10设O是ABC内任一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于D、E、F。求证：。 证明：如图，11设线段OA的中点为M，过A的任意直线与过O的任意（位于OA的两侧）的两直线分别相交于P、Q，Q在线段AP上，PM与OQ交于R，QM与OP交于S。求证：。证明：因为M是OA的中点，故根据平行四边形PNRQ的调和性知NQ/OA。同理，PT/OA。于是所以 。 12在ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DE/BC，在AB上取点F，使。求证：AD2=AB·BF。 证明：因为 SADE=SBFC，2SADE=AD·DEsinADE，2SBFC=BF·BCsinB，所以 AD·DEsinADE=BF·BCsinB。由因为 DE/BC，所以ADE=B，所以，即 AD2=AB·BF。13AD是RtABC的斜边BC上的高，E是CB的延长线上一点，且EAB=BAD。求证：。证明：ABAC，AB平分DAE，所以 。另一方面，AEBCEA。所以。所以 。14过平行四边形ABCD的顶点A引直线交BD于P，交DC于Q，交BC的延长线于R。求证：。证明：因为AD/BC, AB/CD，所以PQDPAB。从而。15已知：AT与ABC的外接圆相切于A，与CB的延长线交于T。求证：。 证明：因为TA是切线，所以TABTCA，所以。练习2（代数法）1. 在锐角ABC中，AD、CE是两条高，交点为H，且AD=BC，M是BC边的中点。求证：MH+DH是BC的一半。证明：设AD=BC=2x，MD=y。易知CDHADB，从而有 ，即有 （1） 。又由勾股定理得 ，即 （2）。（1）+（2）得 。所以 。2. ABC为等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上。求证：DEF的周长ABC的周长之半。证明：如图，设ABC的边长为a，AF=x,，BD=y,，CE=z，EF在BC边上的投影为MN，那么同理，。所以 。所以DEF的周长ABC的周长之半。3. 已知a、b、c和a, b, c分别为ABC和ABC的三边，且对于任意实数x都为定值。求证：ABCABC。证明：设定值为m（0），那么，即 。因为此式对任意实数都成立，所以。所以 ，从而 ABCABC。4AB是O的直径，过A、B引圆的切线AD、BC，又过弧AB上任一点E的切线与AD、BC相交于D、C。求证：2OECD。证明：过O作OM/BC交CD于M，则M是CD的中点。因为OECD，所以OEOM。由梯形的性质得，所以 2OECD。5ABCD是圆内接四边形，对角线ACBD。求证：2SABCD = BC·AD+AD·BC。证明：根据托勒密定理知AD·BC+AB·DC=AC·BD。因为 ACBD，所以 2SABCD= AC·BD。所以 AD·BC+AB·DC=2SABCD。6一个给定的凸五边形ABCDE有下列性质：ABC、BCD、CDE、DEA、EAB的面积都等于1。证明：每一个具有上述性质的不全同的五边形都有相等的面积。证明：因为SABE = SADE，所以BD/AE，从而SABF = SDEF。同理，AC/DE，AD/BC。设AD与BE交于点F，则四边形BCDF是平行四边形，故SBDF =1。设SABF = x，那么由知 。由此解得 。所以 。7已知：PA、PB分别切O于A、B两点，E、F分别为PA、PB的中点，连结EF交PO于Q点，QH切O于H点。求证：PQ=QH。证明：因为E、F分别为PA、PB的中点，故 2PQ=PR。所以 QH2=OQ2 r2=OQ2 OR·OP =(QR+OR)2 OR·OP=QR2+2QR ·OR+OR2 OR·OP = QR2+OR(2QR+OR OP)=QR2所以 QH=QR=PQ。8AB是O的直径，P是O上任意一点，且PCAB于C。以P为圆心，PC为半径的圆与O相交于D、E，DE与PC交于M。求证：M是PC的中点。证明：因为 DM·ME=DM(2PC PM)=CM(2PC CM),所以 2PC·PM PM2=2PC·CM CM2，即2PC(PM CM)=( PM CM)(PM+CM)。 因为 PM+CM=PC，所以PM CM=0，即 PM=CM，故M为PC的中点。9设ABC的内切圆与边AC相切于F，且AB·BC=2CF·FA。求证：ABC是直角三角形。证明：因为AB·BC=2CF·FA，所以。于是有 rp=(p-c)(p-a)sinB，rp2=p(p b )(p a )(p c )sinB=r2p2sinB，故 p b = rsinB。因为 ，所以 ，解得B=900。故ABC是直角三角形。10ABC中，A=900，以BC为一边向外作正方形BCDE，连结AD、AE与BC交于F、G。求证：BF2+CG2+FG2=BC2。证明：因为A=900，四边形BCDE是正方形，故即 。 ，即 。 ， 即 。 由、解得从而因为 ，所以 BF2+CG2+FG2=BC2。11圆中三弦两两相交于P、Q、R。若PA=QE=RD，PC=QB=RF。求证：PQR为等边三角形。证明：由PQ+AP+QB=PR+PC+RD=QR+QE+RF， PA=QE=RD，PC=QB=RF，解得 PQ=RP=QR。所以PQR为等边三角形。12在ABC中，D、E分别是BC、AB上的点，连结DE，且B=CAD=ADE。ABC、EBD、ADC的周长依次为m、m1、m2。求：的范围。证明：因为B=CAD=ADE，所以DE/AC。设BD=BC，则m1=m。由ACDBCA，知，故。所以 。13 P 为O外一点，PN是O的切线，切点为N，M为PN的中点。过P、M作O1，与O相交于A、B两点，BA的延长线交PN于Q。求证：MQ：QN：PM：PQ=1：2：3：4。 证明：如图，QM·QP=QA·QB=QN2，所以。由此得 ，即 ，QP=2QN。于是 。设PN=6t, 则 QM=t, QN=2t, PM=3t, PQ=4t，所以MQ：QN：PM：PQ=1：2：3：4。14两等圆O、O 相交于P、Q两点，并且一圆经过另一圆的圆心，PQ交OO于A点，O与O内切，与O外切，并在OO的P点的一侧与OO相切于C点，BC是O的直径。求证：BCAP是正方形。证明：如图，设等圆的半径为r，另一圆的半径为r，CO=x，那么(r + r )2 = r 2 + (x + r)2，(r r )2 = r 2 + x2,即 2rr = x2 +2xr，r2 2rr = x2。解得 。所以 于是由APAC，BCAC知四边形ACBP是正方形。 练习3（三角函数法）1 在ABC中，AB=AC，P为BC上任一点，PDAB，垂足为D，PEAC，垂足为E，CGAB，垂足为G。求证：PD+PE=CG。证明：因为AB=AC，故B=C，由知PD+PE=sinB(BP+PC)=BC·sinB=CG。2 在ABC中，ACB=900，CDAB于D。求证：。证明：因为ACB=900，CDAB，所以 。所以 。 3. 在ABC中，ACB=900，P为BC中点，PDAB，垂足为D。求证：AD2 BD2 = AC2。证明：因为ACB=900，P为BC中点，PDAB，所以所以 4已知在ABC中，AB=AC，A=900，D在AB上，E在AC上，。求证：ADE=EBC。证明：如图，故 。由此解得 。所以ADE=EBC。5ABC的两条高AD、BE相交于H，延长AD交外接圆于K。求证：HD=DK。证明：如图，所以 HD=DK。6以O上一点为圆心作O，记O与O的一个交点为A，O的直径AB交O于C。求证：AB·AC=2OC2。证明：如图，作OD垂直AC于D，则由OA=OC可知AD=DC。于是由射影定理得，即 AB·AC=2OA2=2OC2。 另证：由知 AB·AC=2OA2=2OC2。7过正方形ABCD的顶点A，任作一直线交BC于E，交DC的延长线于F。求证：。 证明：如图，AE·cosBAE=AB, AF·sinBAE=AD=AB，所以 ，即 。8在RtABC中，A=900，ADBC，垂足为D，BC上有一点E，且BE=CD，过A、D、E三点作圆，并过B作圆的切线，切点为F。求证：。证明：如图，因为A=900，ADBC，故BD·CD=AD2，DAB=C。那么 所以 。9在矩形ABCD中，过A作对角线BD的垂线AP，垂足为P，过作BC、CD的垂线PE、PF与BC、CD分别交于E、F。求证：AP3=BD·PE·PF。证明：如图，记ADB=，那么BAP=PBE=DPF，故所以 AP3=BD·PE·PF。10设ABCD是已知O的内接矩形，过A作该圆的切线，与CD、CB的延长线交于E、F。求证：。证明：如图，记ADB=，那么FAB=AED，故。所以 。11已知：半圆的直径AB，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T（AT<R/2，R为半圆的半径），半圆上有相异两点M、N，且MPl于P，NQl于Q，MP=AM，NQ=AN。求证：AM+AN=AB。证明：记MBA=，NBA=，那么。由此解得 。又AM=sin，于是，即 。同理可得，。所以sin，sin是方程 的两个根，故sin + sin = 1。所以 AM +AN = ABsin +ABsin = AB。12设AB为半圆的直径，P是半圆上的任一点，MN是过P的切线，AMMN，BNMN PDAB，M、N、D分别为垂足。求证：PD2=MA·NB。证明：连AP、PB，因为AB是直径，故APPB。记MPA=，则PBA =APD = ，BPN =PAB =BPD = 900 。又BNPN，PDDB，故 所以PD2=MA·NB。13求证：圆上任意一点到弦距离是该点到此弦两端点的切线的距离的比例中项。证明：连AP、BP，记PAB=，PBA=，那么所以 PE·PF = PD2 。练习4（向量与平行）1. 设M是线段AB的中点，试证：当C在线段AB内时，CM是CA与CB半差，当C在AB的延长线上时，CM是CA、CB的半和。证明：当C线段AB内时，有。因为M是AB的中点，所以。所以 。当C线段AB外时，根据知。2证明平行于三角形的底边而介于其他两边间的线段，必被底边上的中线平分。证明：如图，设AD=AB，那么。所以DN=NE，即DE被AM平分。3通过梯形对角线交点作平行于底边的直线，证明其介于两腰间的线段以对角线交点为中点。证明：如图，设EP=AD，因为EF/AB/CD，那么所以 ，即EP=PF。4梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共线。证明：如图，设M、N分别是CD、AB的中点，由第2题的结论知P、N、M三点共线。设AB=CD，因为AB/CD，那么，故M、N、Q三点共线。综上，梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共线。5. 梯形的对角线中点的连线平行于梯形的底边。证明：如图，因为AB/CD，所以MN为CD与AB的半差。6 AD、BE、CF是ABC的高，从垂足D引DMBE于M，引DNCF于N，证明MN/EF。证明：设MH=HE，因为DM/EA,DN/FA，故。所以 。于是MN/EF。7. 证明：三角形的重心、垂心和外心共线（欧拉线）。证明：如图，。所以 ，故O、G、H三点共线。8. 在ABC中，M为BC的中点，E在AB上，过E作FD/AM交BC于D，交CA的延长线于F，求证：DE+DF2AM。证明：如图，设BE=BA，因为M为BC的中点，故于是 。 所以。所以DE+DF2AM。9. 在DCE中，EO垂直于D的平分线于O，CB垂直于D的平分线于B，CO和BE的延长线交于A，连结AD。求证：。证明：EO垂直于D的平分线于O，CB垂直于D的平分线于B，则EO=OG，CB=BF，GE/CF。设AE=AB，那么所以 ，即 。10. 从ABC的两个顶点B、C分别作A的平分线的垂线，垂足为D、E，直线BE与DC交于P。求证：AP平分A的外角。证明：由第9题的证明知AP/BD，从而APAD，但AD平分BAC，所以AP平分A的外角。11. 在ABC中，AB3AC，AE平分A交BC于D，BEAE。求证：ADDE。证明：因为AE平分A交BC于D，BEAE，故BE=EF，AB=AF。又AB3AC，AE平分A交BC于D，故。因为，所以。所以AD=DE。练习5（向量与共点共线）1. 在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AD上的F满足2AFFD，EF与AC交于G，求证：5AGAC。证明：设AG=AC，那么有。因为E、G、F共线，故 3 +2=1，即=1/5。于是。所以5AGAC。2. 设AM是ABC的边BC上的中线，任作一直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N，求证：。证明：，那么。因为P、M、N共线，故，即。所以。3. 已知M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、CD的中点，CM、AN分别交BD于E、F，求证：BEEFFD。证明：设BE=BD，那么有。因为E、G、F共线，故 2 +=1，即=1/3。于是。所以3BEBD。4. 已知AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求证：2AFFC。证明：设AF=xAC，那么有。因为E、B、F共线，故 即x=1/3。于是。所以2AFFC。5. 过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E，求证：。证明：设AE=xED, AF =yFB, 那么，故。因为FC、E、F共线，所以 ，解得 x=2y。所以。6. AD为ABC的边BC上的中线，过重心G作直线MN，交AB于M，交AC于N，且AM=mAB, AN=nAC，求证：。证明：因为AM=mAB, AN=nAC，故。又由 及 M、G、N共线，知，即。7. 将平行四边形ABCD的边AD分为n等分，并将它的第一个分点P与顶点B连结起来，设BP交对角线AC于点Q。求证：AC=(n+1)AQ。证明：设AQ=AC，那么有。因为B、Q、P共线，故 +n=1，即=1/(1+n)。于是。所以(1+n)AQAC。8 在三角形ABC中，AB=AC，在AC上取一点E，在AB延长线上取一点D，使BD=EC，证明BC平分DE。证明：设DF=xFE，则 。因为 所以 。因为B、F、C共线，所以。利用AB=AC，BD=CE，解得 x=1。所以DF=FE，即BC平分DE。9. 证明：（1）三角形的三中线共点； （2）三角形的三内角平分线共点；（3） 三角形的三高线共点； （4）三角形的二外角平分线和第三内角平分线共点。 证明：（证明（2），其它同理可证）设角平分线AD与CF交于I，因为，所以 。 另一方面，。所以，从而BI/BF，即B、共线。所以三角形的三内角平分线共点。练习6（内积与度量）1E是正方形ABCD内的一点，且ECD=EDC=150，证明：ABE是正三角形。证明1：建立坐标系如图，不妨设BC=1，那么。所以 同理，AE=1。所以ABE是正三角形。证明2：因为，所以同理，AE=BC。所以ABE是正三角形。2以正方形一边为底，在正方形所在一侧作等腰三角形，使其顶角为300，则将其顶点与正方形另两顶点相连，必构成等边三角形。证明：建立坐标系如图，不妨设BC=2，因为BEC=300，故，从而 。所以 ，即AE=2。同理，DE=2。所以ADE是正三角形。3D是等边三角形ABC的边BC延长线上一点，延长BA至E，使AE=BD，证明：EC=ED。证明：建立坐标系如图，设BC=1，CD=x0，那么所以 ，故CE=DE。4在正方形ABCD的边CD上取一点E，在BC的延长线上取一点F，使CF=CE，证明：BEDF。证明：因为，所以 所以BEDF。5 AOB是圆O的直径，作半径ODAB，在OA、OD上各取一点E、F，使OE=OF，证明BFDE。证明：因为，所以 所以BFDE。6从三角形的顶点B、C作对边的垂线BE、CF，设M、N分别是BC、EF的中点，证明MNEF。证明：因为，所以 而 。因为所以 ，即 MNEF。7设BE、CF是ABC的高，在射线BE上截BP=AC，在射线CF上截CQ=AB，证明AP与AQ垂直且相等。证明：因为所以 故APAQ。又所以AP=AQ。8从正方形ABCD对角线（所在直线）BD上任一点P引PEBC于E，及PFCD于F，证明AP与EF垂直且相等。证明：因为所以 AP=EF。又 ，所以 APEF。9ABC中BC边的中垂线交直线AB于D，设圆ABC在两点A、C的切线交于E，证明DE/BC。证明：因为所以，即DEOD。那么由BCOD得DE/BC。10设一直线交ABC的三边（所在直线）于三点X、Y、Z，作其中每一点关于该点所在边中点的对称点，证明这样得到的三点X、Y、Z也共线。证明：因为X、Y、Z共线，故由梅涅劳斯定理得。又X、Y、Z是关于各点所在边中点的对称点，所以。由梅涅劳斯逆定理知X、Y、Z也共线。 11在直角ABC的直角边AB、AC上向外作正方形ABDE和ACFG，证明BF和CD相交于直角顶的高线AH上。 证明：设CD与BF交于点P，BF与AC交于M，CD交AB于N，那么所以 。 另一方面，所以 AH/AP，即BF和CD相交于直角顶的高线AH上。 12在锐角三角形ABC中，ACB=2ABC，点D是BC边上的一点，使得2BAD=ABC，证明：。 （波兰数学奥林匹克） 证明：如图，作AB关于AD的对称直线交BC于E，则AE=BE =AC，AD为BAE的平分线，故。于是。所以，即 。13在一个非钝角三角形ABC中，AB>BC，B=450，O和I分别是三角形ABC的外心和内心，且，求sinA 。 （198年，中国数学奥林匹克）证明：如图，设O、I分别为ABC的外心和内心，D、E分别为O、I在BC上的投影，那么。（1）当OIAB时，由I在AB的中垂线上可知ABI是等腰三角形，于是 ABI=BAI。所以A=2BAI=2BAI=B=450，即。（2）当OI/AB时，有 所以 。化简，得 因为B=450，故A+C=1350。所以。所以 。于是 。综上所述，或 。14. 如图，在ABC中，ACB450，D为AC上一点且ADB600，AB切BCD的外接圆于B，求证：AD ：DC2 ：1。 证明：因为ACB450，ADB600，AB切BCD的外接圆于B，所以CBD150，ABD450，A750。 根据正弦定理知。于是有 。所以AD ：DC2 ：1。第二章证题术练习1（线段相等）1. 证明：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的中线也相等。证明：如图，设AB=AC，BE、CF分别是ABC与ACB的平分线，那么由ABC=ACB，EBC=FCB，BC=BC知BCECBF，所以BE=CF，即等腰三角形两底角的平分线相等。再设BE、CF分别是AC、AB边上的中线，那么由ABC=ACB，BF=CE，BC=BC知BCECBF。所以BE=CF，即等腰三角形两腰上的中线相等。2. 正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA的中点。连BE与CF交于点P，求证：APAB。证明：因为E、F分别是边CD、DA的中点，故BCECDF，从而BECF。过A作BE的垂线分别交BE、BC于H、G，那么ABGBCE，故BG=CG。根据GH/CP知BH=HP。所以ABP是等腰三角形，且AP=AB。3. 正方形A1B1C1D1在正方形ABCD内，又A2B2C2D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：A2B2C2D2也是正方形。证明：设O是正方形A1B1C1D1和正方形ABCD的相似中心，那么OA1AOB1B，故。因为A2、B2分别是AA1与BB1的中点，从而，所以 OA1A2OB1B2。于是由OA1与OB1垂直且相等知OA2与OB2垂直且相等。 同理，OC2与OB2垂直且相等，OC2与OD2垂直且相等。所以A2B2C2D2是正方形。4. 在等边ABC中，延长BC至D，延长BA至E，且使AEBD，求证：CEDE。证明：过E作EFBD于F，那么由知CF=FD，即F是CD的中点。所以CDE是等腰三角形，且CE=DE。5. 锐角ABC的高交于点O，在线段OB和OC上各取点B1和C1，使得AB1C=AC1B=900。求证：AB1=AC1。证明：因为BEAC，CFAB，所以B、C、E、F共圆，故AE·AC=AF·AB。又因为AB1CB1，AC1BC1，所以，故AB1=AC1。6. 已知一个三角形三个角的比为1：2：4,求证：角平分线与对边的交点是一个等腰三角形的顶点。证明：如图，设AD、BE、CF分别是A、B、C的平分线，则。 （1）因为DAC=DCA，FCB=FBC，AFI=FAI，AIE=AEI，所以 AD=DC，BF=CF，FI=AI=AE。 （2）由ADBCAB知 ，故 。 （3）由（1）、（3）可得 （4）由AICCAB知 ，故 ，即 ab+bc=ac。 （5）由AFCACB知 ，故 ，即 b(a+b)=c2。 （6）又由等腰三角形的性质知， （7）（8）由（7）和（8），即得 DE=DF，即DEF是等腰三角形。7. 已知等腰ABC底边上的高为AH，从一条边上的点P向另两条边作垂线PD、PE，若AHPD+PE，求证：ABC为正三角形。证明：如图，因为AB=AC，故PD+PE=BF=AH，所以 AC=BC，从而AB=BC=CA，即ABC为正三角形。8. 以任意三角形的边为底向形外作底角为300的等腰三角形ABC、BCA、CAB。求证：ABC是正三角形。证明：设AB=x, CA= y, BC=z，因为ABC、BCA、CAB都是底角为300的等腰三角形，所以。同理，所以AB= BC= AC，即ABC是正三角形。9. 已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O和O1，求证：O和O1的半径相等。证明：因为AD、BE分别是ABC的高，故BHC+A=1800。所以O和O1的半径分别为。所以O和O1的半径相等。10. 若一个圆外切四边形有一对对边相等，求证：圆心到另一对对边中点的距离相等。 证明：如图，设AB=CD，H、F分别为AD与BC的中点，E、G为切点，那么。因为ABCD是O的外切四边形，故AD+BC=AB+CD=2AB，AE+DG=AD，BE+CG=BC，所以所以OH=OF，即圆心到另一对对边中点的距离相等。练习2（角相等）1. 在ABC中，ACBC，ACB900, D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又2AEBD，求证：BD是ABC的平分线。证明：因为ACBC，ACB900，2AEBD，所以。于是 。由积化和差公式可得。所以sin(ABD ABD)=0，即ABD =ABD。所以BD是ABC的平分线。2. 从ABC的顶点B、C分别作A的平分线的垂线，垂足为D、E，直线BE与CD相交于P。求证：AP平分A的外角。证明：如图，连AP，因为AD是A的平分线，CEAD，BDAD，所以CE/BD，且AECADB。于是。所以AP/CE，故APAD。所以AP平分A的外角。3. 在ABC中，C900, D是AB上一点，作DEBC于E，使BEAC，且2BD1，又DE + BC1,求证：ABC300。证明：因为DE/AC，故BDEBAC。所以。因为BE=AC，故 。由 DE+BC=1知，由此即得 AC2+BC2=BC。 （1）又由 BD2 = BE2 + DE2 = AC2 + (1 BC)2 = AC2 +BC2 +1 2BC = AB2 +1 2BC得。 （2）由（1）、（2）解得 。所以 ，故B=300 。4. 在凸四边形ABCD的边BC上取两点E、F（E比F离B较近），若BAECDF，且EAFFDE，求证：FACEDB。证明：因为 A(BF, CE)=(BF, CE)=D(BF, CE)，故。因为BAECDF，EAFFDE，所以，即。解得 FACEDB。5. 在四边形ABCD中，对角线AC平分BDA，在CD上任取一点E，连BE交AC与F，延长DF交BC与G。求证：GACEAC。证明1 如图，过A作AC的垂线AH，连BD分别交AC、AH于I、H。根据角平分线的性质知（BD，IH）=1。连GE交AH于H，交AC于J。根据完全四角形CEFG的调和性知（BD，IH）=1，由 （BD，IH）=（BD，IH）知H与H 重合。由AC与AH垂直，且（GE，JH）=（BD，IH）=1知AC与AH是GAE的内外平分线。所以 GAC=EAC。证明2：如图，过C作AB的平行线交AG的延长线于K，过C作AD的平行线交AE的延长线于L，那么 (i)又AJ平分BAD，故 (ii)因为CJ、BE、DG共点，故根据塞瓦定理知 (iii)由(i), (ii), (iii)得，即CK=CL。另一方面，因为AC平分BAD，故，同理 ，即有ACK=ACL。由CK=CL，AC=AC，ACK=ACL，知 ACKACL，所以GAC=EAC。6. 在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BEDF，BE与DF交于G，求证：BGCDGC。证明：如图，连CE、CF，作CLDF于L，CMBE于M，作FJCD于J，EKBC于K，那么SBEC=SABCD/2= SDFC。因为2 SBEC=BE·CM，2 SDFC=DF·CL，BE=DF，故CL=CM。从而RtCLGRtCMG。所以BGCDGC。7. 设O是平行四边形ABCD内一点，且AOB+COD1800。求证：OBCODC。证明：过C作CO/BO，过D作DO/AO，两线交于O，那么ABODCO。故AOBDOC，且AOOD、BOOC都是平行四边形。因为AOB+COD1800，所以DOC +COD1800，所以O、C、O、D共圆。所以ODCOOC=OBC。8. 梯形ABCD中，AB/CD，AB>CD，K、M分别是腰AD、BC上的点，若DAMCBK，求证：DMACKB。证明：因为DAMCBK，所以、M共圆。故DKMCBA，AKBAMB。因为AB/CD，所以DCM+CBA1800，于是DCM+DKM1800，从而D、C、M、K共圆。所以DKCDMC。于是CKB=1800 AKB DKB=1800 AMB DMC=DMA。9. 在四边形ABCD中，ADBC，E、F分别为AB、CD的中点，延长AD、BC分别交EF的延长线于H、G，求证：AHEBGE。证明：如图，连BD，取BD的中点M，连EM、FM。因为E、F分别为AB、CD的中点，故EM/AD, FM/BC，且2EM=AD，2FM=BC。因为AD=BC，所以EM=FM。于是MEFMFE。所以 AHEMEFMFE=BGE。10. 正方形ABCD中，E为AD中点，F为ED中点。求证：FBC2ABE。证明：不妨设AB=4，那么AE=2，EF=FD=1。所以。由 ，即得FBC2ABE。练习3（平行于垂直）1. 在ABC中，BAC900, ABAC，M为AC中点，N在BC上，且BN2NC。求证：ANBM。证明：过N作ND/AB交AC于D，则CD=DN。又2CN=BN，故2CD=AD。由ABAC，ADDN，知BAMADN，所以ANBM。2. 已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，B、D都在AEC内部，M是EC的中点。求证：BMDM。证明：过C作CFBD于F，过E作EGBD于G，过A作ANBD于N，那么由AB=BC，ANB=900=BFC，BAN=CFB，知ANBBFC。同理，ANDDGE。于是M到BD的距离就是梯形CFGE的中位线，它等于CF与EG的半和即BD的一般，所以BMD是等腰直角三角形。所以BMDM。3. 设D是等腰直角ABC底边BC的中点，P是直线BC上的任意一点。引PEAB于E，PFAC于F。求证：DE与DF垂直且相等。证明：因为CF=FP=AE，AD=DC，DAE=1350=DCF，所以ADECDF。那么由ADDC，即知DEDF。