数学毕业论文帕斯卡定理和布利安桑定理及其应用.doc

2014届本科毕业论文(设计) 题目:帕斯卡定理和布利安桑定理及其应用 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学 09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年 5月8 日 新疆师范大学教务处 目 录1前言32 帕斯卡定理和布利安桑定理4 2.1帕斯卡定理4 2.2布利安桑定理63帕斯卡定理和布利安桑定理的应用7 3.1帕斯卡定理的应用7 3.2布利安桑定理的应用94总结 10 5 参考文献 11 6 致谢 12帕斯卡定理和布利安桑定理及其应用摘要：在科学技术高速发展的今天，数学在生活中广泛的应用，尤其是高等几何。无论是在建房还是在修建道路都离不开几何图形。帕斯卡定理和布利安桑定理是在射影平面中很重要的定理。应用这些定理，很顺利的解决在初等几何中的许多问题。在此论文中我首先介绍了帕斯卡定理及布利安桑定理，然后分别证明它们,最后我给出例子。帕斯卡定理和布利安桑定理是相互对偶的定理。关键词：帕斯卡定理;布利安桑定理;二次曲线。1. 前言对射影几何中最重要的定理有帕斯卡定理和布利安桑定理及其它们的应用，所以它们在射影变换，射影对应中占重要的地位。它们在初等几何中的应用展示了用高等几何的方法解决初等几何问题的简捷实例。帕斯卡定理及布利安桑定理是解决二次曲线与简单六点形(六角形)内接或与简单六线形(六边形)外切、及其在这些情况下的点线接合关系的两个著名定理。布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal ，16231662）是法国数学家、物理学家，哲学家，散文家。16岁时发现著名的帕斯卡六边形定理：内接于一个二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。17岁时写成圆锥曲线论(1640)。布利安桑(Charles Julien Brianchon，17851864)。1806年发现了布利安桑定理。2 帕斯卡定理和布利安桑定理2.1 帕斯卡定理 A2帕斯卡定理 对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。这条线称为帕斯卡线。A3证明 A1,A2,A3，B1,B2,B3 ,（如图1）所示A1Q 已知二次曲线上的六个点A1 ,A2 , A3 ,B1,MPB2 ,B3用线A1B2 ，B2A3，A3B1，B1A2 ,NA2B3 ，B3 A1 顺次连接这些点，再分别作L对对边与A1 B2与B1A2，B2 A3与A2B3以及A3B1与B3 A1 的交点L，M，N，那么这三个B1B3B2点在一直线上。L=A1 B2B1A2 ，M=B2 A3A2B3 N一A3B1 N= A3B1B3A1 ，以点A1 ,A3为中心，分别向其他四点投射直线，则可得两个成射影对应的线束：如图1 A1(B2，B1，A2，B3) A3(B2，B1，A2，B3)设A1 B3B1 A2 =P，A2B3A3 B1 =Q，则有：A1(B2，B1，A2，B3) B1 A2 (L，B1 ，A2，P) A3 (B2，B1，A2，B3) A2B3 (M,Q，A2，B3) 所以：(L，B1 ，A2，P) ( M，Q，A2，B3)由于两点列底的交点(即B1 A2A2B3=A2)自对应，故得：(L，B1 ，A2，P) ( M，Q，A2，B3)所以LM、B1Q、P B3三线共点，又由B1QP B3=N，即 L、M、N 三点共线。帕斯卡定理的一些特殊的情况： 当六边形中有两个顶点重合, 即对于内接于圆的五边形, 亦有结论成立. 在圆内接五边形A( B) CDEF 中, 点A (与B 重合)处的切线与DE 的交点X、BC 与FE 的交点Y、CD 与AF 的点Z三点共线。 如图2 当六边形变为四边形AB (C )DE (F )或A (B )C (D )EF 等时, （如图3）, 结论仍成立。 如图3当六边形变为三边形A (B )C (D )E（F）等时，（如图4），结论仍然成立。如图4NE(F) ()A(B)MC (D)L如图4 2.2 布利安桑定理布利安桑定理 对于任意一个外切于非退化的的二阶曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线通过一个点。这个点称为布利安桑点。证明 （如图5）记六边形为a1a2a3 a4a5 a6是二级曲线的外切简单六点形，对顶a1 a2，a4 a5之连线为L, a2a3 , a5a6之连线为M, a3a4 ,a6a1之连线为N, 以a1，a3为底分别截其他四线，则a1(a2，a4，a5，a6) a3（a2，a4，a5，a6），设P为a6a1 与a4 a5 的连线，Q为a3a4 与a5a6的连线，则a1( a2，a4，a5，a6) （L，a4，a5，P ），a3（a2，a4，a5，a6）（M，Q，a5，a6）所以（L，a4，a5，P ）（M，Q，a5，a6）由于公共线a5 自对应，故有 （L，a4，a5，P ）（M，Q，a5，a6）所以 LM, a4Q,Pa6 三点共线，即L，M，N 共点。如图5MPLQNPa6a5a4a3a2a1例 1 已知二级曲线上的五条直线（其中无三线共点），求作这二级切线上的另一直线。 解 将五条直线编号为A1 ，A2 ， A3, ，A4 ，A5 ，如图6设A1 ,A2 的交点与A4 ，A5 的交点的连线为L，在L上任取一点P，A2与A3 的交点和P点的连线为M，A3与A4的交点和P的连线为N，M与A5 交点和N与A1的交点的连线为A6 。根据布利安桑定理A6 为A1 A2 A3,A4 A5 所在二级曲线的直线上。变动点P，就得到这条二级曲线上的其他直线。A2A1A6LPMNA3A5 A4如图63.1 帕斯卡定理的应用 下面列举帕斯卡定理应用的例子。例 2 如图7,过 ABC 的顶点A、B、C 各作一直线使之交于一点P, 而ABC分别交的外接圆于A、 B, C 又在外接圆上任取一点Q, 则QA、QB、QC与BC、CA、AB 对应的交点 X、Z、Y 三点共线.如图7 证明 在圆内接六边形BCAAQ B 中, 其三组对边BC 与Q A、CA 与QB 、AA 与BB 的交点分别为X、Z、P.由帕斯卡定理知P、X、Z 三点共线.在圆内接六边形CBAAQC中, 其三组对边CB 与QA、BA 与QC、AA与CC 的交点分别为X、Y、P.由帕斯卡定理知P、Y、X 三点共线.故 X、Z、Y 三点共线.例 3 已知二阶曲线上三个点过其中两点的切线，试用直尺做出曲线上的其他点.A4解 设 A1 ,A2 , A3 为二阶曲线上的三个点（如图8）过 A1 ,A2 , 的切线交与Q，过 Q任作一直线 P，有A1 A3 P=R , A2 A3 P=S ，作 SA2R = A4 则 A4 就是二阶曲线一另外的点，变动直线 P，就得到二阶曲线上其他点.R如图8A2PSQA3A13.2布利安桑定理的应用S例 4 已知二级曲线的三条直线 a,b,c 及a,b 上的切点，试作出二级曲线的另一些直线，并作出 c 上的切点.c解 如图9，设 ac=S，bc=Q，而 a,b 上的切点分别为 A,B, CA在 a 上任取一点 M，又MQAB=P,NM作 PSb=R,直线 MR 为二级曲线a的一条直线，变动 M点可做出其他P直线.F又设ab=F,作 AQBS=N ,bRBQFNc=C, 则 C 为直线 c 上的如图9切点.例 5 设 a,b 在二级曲线上，c,d 不在二级曲线上，切 ac,bd,分别交二级曲线于 p,q ,ad,bc 分别交二级曲线于 n,v ,求证 cd,pq,nv 三直线共点（如图10）.证明 为证cd , pq , nv 共点，只须证明c,d,m 共线，其中m=(pq) (nv).为此，选择二级曲线的内接六点形 apqbvn ,所以(ap)(bv)=c，(pq)(vn)=m，(qb)(na)=d 三点共线，从而点m在 cd 上 . qbamndcpv如图104.总结射影几何和仿射几何是高等几何中重要概念。因此我在此论文中论述了射影几何和仿射几何的最广泛应用的帕斯卡定理和布利安桑定理。参考文献1 梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋；高等几何.北京高等教育出版社，2008.04 ， 108-112；2 梅向明，刘增贤；高等几何学习指导与习题选解，北京高等教育出版社，2003.12 115-124；3 刘增贤，门树慧；高等几何学习导引，北京高等教育出版社，2006.04 , 248-254；4 周国新，李冠堂；高等几何简明教程，北京高等教育出版社，2006.04 ,P46-P51；5 梅向明，刘增贤，门树慧；高等几何，北京高等教育出版社，1988.10. 204-214；致谢在新疆师范大学的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高。 在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，她帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎样继续，怎样结束。 非常感谢指导老师，也非常感谢我系的个位老师，在他们的教育下，使我在个方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。此致   敬礼学院：数学科学学院班级：数学与应用数学09-3班姓名：艾尼瓦尔·哈力瓦尔指导老师：吐尔共老师