弹性力学复习题.doc

1、弹性力学的研究对象、内容及范围弹性力学是研究在外界因素（外力、温度变化）的影响下，处于弹性阶段的物体所产生的应力、应变及位移。弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。2、弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1） 均匀性假设 即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2） 连续性假设 即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3） 完全弹性假设 即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4） 各向同性假设 即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5） 小变形假设 即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量）5、平面问题的基本方程平面问题的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程平面问题的基本量有8个，分别是：3个应力分量：、；3个形变分量：、；2个位移分量：、（1）平衡方程平衡方程描述的是体力分量与应力分量之间的关系； 上述平衡方程对于平面应力问题和平面应变问题均适用（2）几何方程几何方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系；（3）物理方程物理方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系平面应力问题的物理方程为： 平面应变问题的物理方程为： 3、弹性力学的基本量表1 直角坐标表示的各种基本量情况基本量空间问题平面问题量纲正负号规定未知量正应力、力/长度-2正面以坐标轴正向为正；负面以坐标轴负向为正。剪应力、力/长度-2正应变、无量纲线段伸长为正剪应变、无量纲角度减小为正位移、长度沿坐标轴正向为正已知量体力、力/长度-3沿坐标轴正向为正面力、力/长度-2沿坐标轴正向为正4、两类平面问题的概念（1）平面应力问题（应力是平面的；变形是空间的）如图所示薄板，其方向的尺寸比其他两个方向上的尺寸小得多；外力和体力都平行于板面，并且沿着板的厚度没有变化，这样的问题称为平面应力问题。（2）平面应变问题若物体在方向的尺寸比在其他两个方向上的尺寸大得多，如图所示很长的坝体，外力及体力沿着方向没有变化，则这类问题称为平面应变问题。（3）两类平面问题的一些特征空间问题的基本未知量共有8个，每个基本未知量仅仅是坐标的函数。表2 两类平面问题的一些特征名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移、应变、应力、外力体力、面力的作用面平行于平面；外力沿板厚均匀分布体力、面力的作用面平行于平面；外力沿轴无变化形状向尺寸远小于板面尺寸（等厚度薄板）向尺寸远大于平面内的尺寸（等截面长柱体）6、平面问题的边界条件弹性力学问题的边界条件，简单的说就是用来描述弹性体边界上所受的外部作用。这个外部作用可以是面力的作用，也可以是对位移的约束，也可以是两者的综合作用。因此对于弹性体的每一条边而言，其边界条件为如下三种类型的其中一种：（1）位移边界条件若在弹性体的全部边界上给定了位移分量和，则位移边界条件为： ； （2）应力边界条件若在弹性体的全部边界上给定了面力分布、，则应力边界条件为：（3）混合边界条件若在弹性体的部分边界上给定了位移分量和，另外一部分边界上给定了面力分量、，则混合边界条件为：在上： ；在上： ； （4）圣维南原理及其对边界条件的简化 对于弹性体的边界而言，如果能在所有的边界上都可以找到精确满足以上三种类型之一的边界条件是最好不过的情况了。因为这个时候我们就可以通过求解基本方程来了解弹性体中任意位置处的应力、应变和位移。但是对于具体的问题来说，要想使得每条边上的边界条件得到完全满足是非常困难的。边界条件得不到完全的满足，就意味着我们得不到弹性体内任意位置处的精确解。既然得不到任意位置处的精确解，那么就要考虑是否能在弹性体内部的大部分区域获得精确的结果。为实现这一目的，人们需要找到一种方法去处理不能完全满足边界条件的弹性体边界。而法国学者圣维南，就是成功找到了处理方法之一的牛人。圣维南所提出的处理方法，是针对应力边界条件的。他于1855年提出了这样一种说法：如果将分布在物体的某个小部分边界上的面力，替换为与原来的面力分布方式不同但是静力等效的另外一种面力，那么，由于进行了这种替换而在弹性体内部所产生的影响，只局限于这一小部分边界附近的局部区域，对于远离这一小部分边界的区域，替换所产生的影响可以忽略不计。7、平面问题中的应力分析（1）过弹性体中某点的任一斜截面（该斜截面的法线方向与轴夹角的余弦为；与轴夹角的余弦为）上的正应力、剪应力的计算公式：（2）弹性体中任一点处的主应力和可由下式求得：（3）主应力和与轴的夹角和可由下式求得： ； （的方向与的方向互相垂直）二、平面问题的直角坐标解答前面我们主要建立了平面问题的基本方程。对于平面问题而言，基本方程包括2个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程。这8个方程对应着8个未知量（3个应力分量：、；3个应变分量：、；2个位移分量：、）。弹性力学要解决的平面问题，简单说就是研究在不同的边界条件下如何求解这8个未知量。本部分就是研究在平面直角坐标系下，求解这8个未知量的方法。【通常的求解方法】（体力是坐标的函数）-1、按位移求解平面问题（位移法）详见书p33 图2-19位移法的解题思想：以位移分量作为基本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求解出位移分量。位移分量求出来之后，利用几何方程求出形变分量，进而将形变分量代入物理方程求出应力分量。 按位移法求解平面问题（平面应力问题），位移分量必须满足下列全部条件： （1）用位移表示的平衡方程 （2）用位移表示的应力边界条件 （3）位移边界条件；总结：按照位移法求解平面应力问题，就是要使得位移分量满足（1）中的平衡方程，同时还要在边界上满足边界条件（视具体的边界而定需要满足应力边界or位移边界or两者兼有）。在求出位移分量以后，即可利用几何方程求出形变分量，进而利用变换后的物理方程（应力用应变表示）求出应力分量。当问题为平面应变问题时，注意应将上述方程中的 ；位移法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程和边界条件的位移分量u、v，然后利用求解出的位移分量去求解形变分量（几何方程）和应力分量（物理方程）。2、按应力求解平面问题（应力法）详见书p37 图2-21应力法的解题思想：以应力分量作为基本未知量，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求解出应力分量，再利用物理方程求出形变分量，进而利用几何方程求出位移分量。按应力求解平面问题（平面应力问题），应力分量必须满足下列全部条件：（1）平衡方程（2）相容方程（3）应力边界条件（4）对于多连体问题，还要考虑位移的单值条件。应力法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程、相容方程及边界条件的应力分量，然后利用求解出来的应力分量去求解形变分量（物理方程）和位移分量（几何方程）。【特殊的应力法】对于单连体问题而言（在常体力情况下，利用应力法求解平面问题时可以使求解方法得到简化）- 之前我们讨论的体力是坐标的函数，即构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力不是相同的。非常体力情况下体力分量是分别关于x、y的函数（、）。1、常体力情况：构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力均相同。常体力情况下，体力分量是两个常数2、在常体力情况下可以对问题进行简化的依据 常体力情况下，应力的相容方程为：即： 那么现在对于问题的求解就转化为求解下列方程的解：平衡方程：相容方程：应力边界条件：；上述方程中均不含有弹性参数（、），对于平面应力问题和平面应变问题均适用。3、常体力情况下可以做哪些简化、针对任一弹性体所求解出来的应力分量，适用于具有同样边界并且受同样外力的其他材料的物体。（因为结果与材料的弹性参数无关）、针对平面应力问题所求出的应力分量，也同样适用于边界相同、外力相同的平面应变问题。（因为结果与弹性参数无关，所以无需进行和的替换）、对于应力边值问题，可以将弹性体所受体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题或试验量测，从而为试验应力分析提供方便。、可将原来所要求解的三个未知的应力分量的问题转化只求解一个应力函数即可。4、常体力情况下利用应力函数求解平面问题 在按应力求解平面应力边值问题时，只需求出一个满足应力函数相容方程的应力函数即可【见下】。在求出应力函数后，即可利用应力函数与应力分量之间的关系求解出应力分量【见下】，注意求解出的应力分量要在边界上满足应力边界条件【见下】，对于多连体问题，还要满足位移的单值条件。 应力函数需要满足的相容方程为：或写作 应力函数与应力分量之间的关系为：由上述关系式求出的应力分量要在边界上满足应力边界条件为：引入应力函数后，就可以将应力法中所要求解的三个方程转化为求解一个关于应力函数的相容方程即可，即使得问题得到了简化。5、求解应力函数的方法逆解法与半逆解法既然使用应力函数可以使得问题得到较大程度的简化，那么如何求解这个应力函数呢？我们说有两种求解应力函数的方法：逆解法与版逆解法。（1）逆解法的求解步骤： 首先找出满足相容方程的应力函数； 由应力函数求解出应力分量 在给定边界的形状（边界方程）下，根据应力边界条件，由应力反推出面力。从而得出在此组面力下，其解答就是上述应力函数和应力。（2）半逆解法的求解步骤： 根据边界形状和受力情况，假设出部分（或全部）应力分量的形式；根据应力分量和应力函数之间的关系，由给出的部分的应力分量推求出应力函数；验证推求出的应力函数是否满足相容方程；如不满足，则重新回到；如满足，则根据应力函数求出其余的应力分量；验证全部应力分量是否满足应力边界条件（对于多连体问题，还需要满足位移的单值条件），如果不满足，则重新回到；如满足，则得到问题的解答。三、平面问题的极坐标解答平面极坐标问题的研究思路与平面直角坐标系一样，也是研究如何求解8个基本未知量的求解方法。但是由于坐标系的变化（由（、）（、），因此在平面问题中的8个基本未知量在极坐标系中表示为：3个应力分量：、；3个形变分量：、；2个位移分量：、。平面极坐标问题也有平面应力问题和平面应变问题两种类型。平面应力：如圆环、圆盘等；平面应变：如圆筒（半平面体视具体情况分析而定） 求解这8个基本未知量的方程（即基本方程）为： （1）平衡方程： （2）几何方程：； （3）物理方程（平面应力问题）； 平面应变问题中的物理方程：将；求解上述8个方程的方法我们仅介绍了应力函数方法（体力为零的条件下）。与平面直角坐标系中的应力函数法一样，在极坐标系中，我们需要找出一个应力函数，然后根据极坐标下应力函数与应力分量之间的关系得到应力分量及相应的位移。当然，这里的应力函数也不是随便取一个就可以，它仍然要满足相容方程。在极坐标下，应力函数所要满足的相容方程为：应力函数与应力分量之间的关系为：求解出来的应力分量，同样需要在边界上满足应力边界条件（对于多连体，比如说圆筒，还要满足位移的单值条件）。 在极坐标系中，常见的应力边界有：=已知的（径向）面力分量；=已知的剪切面力分量或=已知的（环向）面力分量；=已知的剪切面力分量 对于具体的问题，要根据所建立的坐标系来写出应力边界条件。特殊的情况：轴对称问题在轴对称问题中，应力分量是轴对称的，形变分量是轴对称的；但是位移分量不一定是轴对称的。在弹性体不存在刚体位移或存在轴对称约束的情况下，位移分量也是轴对称的。 轴对称问题的应力函数： 轴对称问题的应力分量： 轴对称问题相应的位移（平面应力问题）：如果是多连体问题，由于位移需要满足单值条件，故;如果位移也是轴对称的，则有。接触问题： 接触类型：4种（参见书P103）对于两个弹性体相互接触的问题，要注意对于不同的弹性体有不同的弹性参数和，以及不同的待定常数A、B、C、H、I、K。 对于接触问题，要注意在接触面上还有连续条件，即力和位移都是连续的。四、空间问题的基本理论1、基本方程：平衡方程：几何方程：；物理方程（平面应力问题）： 2、边界条件： （1）位移边界条件：； （2）应力边界条件： 为边界面外法线的方向余弦3、圣维南原理对次要边界的简化：（1）列出静力等效条件（6个等式）应力所形成的主矢量、主矩=面力的主矢量、主矩 主矢量相等；主矩相等。 （2）在边界附近切取一个单元体，列出该单元体的力的平衡条件（6个等式）;4、几个概念 （1）体积应变（弹性体单位体积在变形前后的改变量） （2）体积应力 （3）体积应变与体积应力之间的关系： 比例系数为体积模量 （4）应力张量 （5）应力不变量 应力第一不变量： 应力第二不变量： 应力第三不变量： （6）空间中任意一点处主应力的求出：解出方程：的三个根即可。弹性力学复习题一判断与改错1. 材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。           （ × ）2. 在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。                       （×  ）3. 在体力是常数的情况下，应力解答将与弹性常量无关。                          （  ） 4. 三次或三次以下的多项式总能满足相容方程。                                （  ）5. 对于纯弯曲的细长梁，由材料力学得到的挠曲线是它的精确解。                （  ）6. 对于多连体位移解答必须满足位移单值条件。                         （  ） 7. 在常体力下，引入的应力函数，且，平衡微分方程可自动满足。 （  ）8. 物体变形连续的充分和必要条件是几何方程(或应变相容方程)           （  ）填空题1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。2一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。3等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。4平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，1. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ，或 应力 与 面力 之间的关系式，它可以分为 位移 边界条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。2. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为 L-2MT-2 ；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单位面积的力，属 内 力，应力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。3. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含 结构离散化 、 单元分析 、 整体分析 三个主要步骤。简述题1. 弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分） 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为： 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量,存在，且仅为x,y的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量,存在，且仅为x,y的函数。3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（1）相容方程： （2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，）： （3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 2. 简述圣维南原理 ？圣维南原理表明了什么？并说明它在弹性力学分析中的作用。答：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理表明：在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。3. 何谓逆解法和半逆解法？答：所谓逆解法，就是先按某种方法给出一组满足全部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察，在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。 所谓的半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这些量合在一起来凑合已知的边界条件；或者把全部的应力分量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。 5试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。阐述弹性力学的平面问题的五个基本假设及其意义。课本P3面力、体力与应力的正负号规定是什么，要会标明单元体指定面上的应力、面力及 体力。参照课本P5内容和例题1、3。什么是主平面、主应力、应力主方向。课本P17平面应力问题与平面应变问题各有什么特点，典型工程实例有哪些？在什么条件下， 平面应力问题的与平面应变问题的是相同的。弹性力学平面问题三类方程的内容。要会默写。在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假设？ 提示：平衡微分方程：连续性假设和小变形假设；几何方程：连续性假设和小变形假设： 物理方程：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设。按应力求解平面问题时，应力分量应满足哪些条件？ P38简述圣维南原理的基本内容，两种表述方法及其应用举例。若引用应力函数求解平面问题，应力分量与应力函数的关系式、 、是根据弹性力学哪一类基本方程推导出来的。简述逆解法和半逆解法的求解步骤。课本P57，P58由于求解微分方程边值问题的困难，在弹性力学中发展了三种数值解法，分别是 ， ， 。有限单元法主要有两种导出方法，试简述其内容。有限单元法特点有哪些？为了保证解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？有限单元法解题的步骤有哪些。课本P108 P109。单元劲度矩阵中元素是一矩阵，其每一元素的物理意义是什么？要会利用6在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。7按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类？试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类：（1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在三个应力分量。（2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。这一类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。该种问题 8什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？ 圣维南原理可表述为：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那麽近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。 9什么是平面应力问题？其受力特点如何，试举例予以说明。答：平面应力问题 是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在三个应力分量。