金融时间序列分析 第3章单位根检验.doc

第三章 单位根检验§3.1 整的次数的确定一、 整的次数是决定一个时间序列性质的关键因素。我们首先研究为0，1这两种情况下的性质。1 ，记为；此时为0阶整，平稳过程。假设均值为零，则过程有如下性质： 1） 方差有限，并且与时间无关； 2） 扰动项对的影响有限，暂时的； 3） 在均值附近波动，重复通过均值0的期望时间均值有限； 4） 对于足够大的滞后，自相关函数的大小持续下降。的总和有限。2 ，记为；此时为1阶整过程，其有如下性质： 1） 时间趋向于无穷时，方差趋向于无穷； 2） 扰动项对的影响持久；并且使所有历史扰动项的总和 3） 重复通过0的期望时间无限； 4） 随着向无限扩展，自相关函数。注： 非平稳性可以通过散点图和自相关图观测出来，但它们不能判断非平稳性的具体形式。例子： 考察过程 平稳时其所有根都在单位圆外，即满足。 假设其中的一个根与1相近，记作，为一个很小的正数。此时自相关函数 意味着其支配作用，此时由于近似为1，则指数衰减十分缓慢，且几乎呈现出线性特征。问题：MA过程会不会出现这种情形？当时，能不能用ARMA进行建模，为什么？二、 过度差分问题1 对于非平稳过程，我们要进行差分；但是过度差分却是有害的，平稳过程进行差分仍然是平稳过程，此时就是过渡差分问题。2 过度差分的后果：考虑MA(1)过程现在进行差分（过渡差分）： 这是我们比较它们的方差： 所以结论：过渡差分会增大过程的方差。§3.2 单位根检验一、 单位根过程1 定义：随机过程是一个单位根过程，如果 ； 其中，为一平稳过程，且2 单位根过程和平稳过程的区别： 现在考虑简单的AR(1)过程 ；为严格白噪声，独立同分布，这里现在我们来估计参数。构造最小二乘估计量时，因为独立同分布，则和不相关。为什么？于是根据大数定律，当时，以概率收敛于参数。所以时，是一致估计。大数定律（切贝晓夫大数定律）： 设随机变量序列两两不相关，且它们的方差有公共的上界，即，则当时，。根据中心极限定理 所以如果，即单位根情况下，OLS估计量的方差为零。此时发生质的变化，即极限分布出现了变化，需要新的工具。二、 泛函中心极限定理和维纳过程1 标准维纳过程标准维纳过程是定义在闭区间上的连续变化的单变量的随机过程，满足以下条件：（1）；（2）闭区间上任何一组有限分割， 的变化量 为相互独立的随机变量；（3）对任何，。维纳过程可以看作区间上的独立增量过程，增量过程服从同分布的正态分布。可以看作区间上的连续随机游动。2 Lindeberg Levy 林德贝格-列维中心极限定理 若为一独立同分布的随机变量序列，且有，那么序列的标准化样本均值由正态的极限分布，即当时。3 泛函中心极限定理（多斯科定理）（functional central limit theorem）(Donsker theorem)设为一列独立同分布的随机变量序列，对所有的，有为闭区间上的任意实数。给定样本，取前部分样本作统计量那么当时，有极限这里表示弱收敛。证明：设为闭区间上的任意实数，对于给定的时间序列样本，取前部分样本，并构造统计量。当在闭区间上从0到1连续变化时，对于给定的样本，是闭区间上的阶梯函数，取值为当时根据Lindeberg Levy中心极限定理 为什么？对于所以有极限分布对于，所以泛函中心极限定理包含三个含义：1） ；2） ；3） 4 连续映照定理 设为一随机变量，并以分布收敛于某一随机变量，若为连续函数，那么随机变量序列的分布收敛于随机变量，记为。§3.3 单位根检验一、 DF检验 考虑AR(1)过程 ；。则时，OLS得到的统计量，没有意义；需重新构造统计量。看构造什么样的统计量？问题：为什么对进行调整？ 这样构造有什么意义？中分子分母的极限分布情况。 时， 为什么？于是 于是 以为所以这里所以而且 为什么？所以其中为卡方分布。现在考察分母的极限情况。 （为什么不是卡方分布）卡方分布：设为相互独立同分布的随机变量，定义，则的分布服从自由度为的卡方分布，记作。因为所以为了使均值收敛，须对其按进行调整即时，下面考察 所以因此对于模型建立假设检验： 原假设 为什么是单边检验？下面就是建立统计量 因为 这个统计量和通常意义下的统计量有所不同，其检验通常称为DF检验（Dickey Fuller）检验。 统计量的临界值，可以通过Monte Carlo 模拟获得。DF检验也有三种模型：1） 2） 3） 对于第二种模型，建立联合检验，备择假设其联合检验和检验有什么区别？其统计量为模型3的统计量特别复杂，这里不再介绍。二、增广DF检验（ADF）:Augment Dickey Fuller1 和DF检验的区别：允许具有序列相关性。即DF检验考察的是一阶滞后清形，而ADF检验的是多阶滞后情形。2 考虑AR(p)模型 可记作于是存在一个单位根的原假设为：其检验统计量其中为估计值的OLS标准差。极限分布极为复杂，在此不进行介绍，具体参见陆懋祖高等时间序列的经济计量学。ADF检验的模型也有三种模型1） 2） 3） 其统计量的极限分布均很复杂。其假设检验形式类似于DF检验。三、 非参数检验（PP检验） Phillips Perron检验 是另外一种处理扰动项存在自相关，并且存在异方差的平稳性检验方法。他和DF检验类似，考察一阶滞后项。PP检验的一个重要特点是将参数的估计问题转换成对残差自相关函数的估计问题。考虑模型AR(1) 模型的扰动项满足以下条件：1） 对于所有，；2） 对于某个，。3） 存在且为正数，其中4） 是强混合的，混合数满足。强混合性：他度量的是序列内部在时间上的相关程度与强度。如果是平稳的，则强混合性就等价于遍历性。在这个模型中，只有当为白噪声，才等于的方差。由于这种不等性，使得需要对DF统计量作“非参数”修正。 此时正确的检验为：其中，和分别为和的一致估计。同样PP检验也有三种模型1） 2） 3） §3.4 DF(ADF)检验的过程共三种模型1） 2） 3） 具体的检验步骤：模型3：ADF检验拒绝无单位根，平稳的趋势过程模型3接受给定检验拒绝模型3检验拒绝无单位根模型3接受需继续进行差分，之后进行检验接受模型2：ADF检验拒绝接受不存在单位根，平稳过程模型2给定t检验拒绝模型2t检验拒绝平稳模型2接受继续差分，进行平稳性检验接受模型1ADF检验拒绝平稳过程接受需继续进行差分，进行平稳性检验ADF检验步骤§3.5 单位根检验的实现（EVIEWS）一、步骤1） 建立数据。2） 利用散点图，初步判断非平稳形式。3） 在主菜单选择Quick/series Statistics/Unit root test4） 输入序列名，OK进入单位根检验对话框5） 选择检验类型，有两种：ADF(DF);P- P检验6） 选择单位根阶数：分为0阶（level）原序列，1阶差分序列（1st差分），2阶差分序列。7） 选择检验方程的形式：分为：intercept; trend and intercept; none8） 滞后差分：选择滞后阶数。二、例子8725.278667.959217.6212596.949719.9510125.7110304.4114350.7510954.3911193.3711439.4316520.7412181.2812247.712449.7518490.5313424.7713399.2513596.0720320.9914685.614685.614685.622028.415742.96ADF Test Statistic-6.128828 1% Critical Value*-4.4167 5% Critical Value-3.6219 10% Critical Value-3.2474*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:30Sample(adjusted): 3 25Included observations: 23 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. GDP(-1)-2.0919810.341335-6.1288280.0000D(GDP(-1)0.5651650.2223462.5418260.0199C18596.233074.0496.0494250.0000TREND(1)717.9986133.39605.3824600.0000R-squared0.759543 Mean dependent var307.6091Adjusted R-squared0.721577 S.D. dependent var3833.696S.E. of regression2022.882 Akaike info criterion18.21920Sum squared resid77748961 Schwarz criterion18.41668Log likelihood-205.5209 F-statistic20.00545Durbin-Watson stat2.992772 Prob(F-statistic)0.000004ADF Test Statistic 0.535238 1% Critical Value*-2.6700 5% Critical Value-1.9566 10% Critical Value-1.6235*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:33Sample(adjusted): 3 25Included observations: 23 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. GDP(-1)0.0286700.0535650.5352380.5981D(GDP(-1)-0.5796480.209189-2.7709310.0115R-squared0.265835 Mean dependent var307.6091Adjusted R-squared0.230875 S.D. dependent var3833.696S.E. of regression3362.143 Akaike info criterion19.16149Sum squared resid2.37E+08 Schwarz criterion19.26022Log likelihood-218.3571 Durbin-Watson stat2.305912ADF Test Statistic-1.89262886846 1% Critical Value*-3.74971904466 5% Critical Value-2.99694676255 10% Critical Value-2.63809059473*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:37Sample(adjusted): 3 25Included observations: 23 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. GDP(-1)-0.4793318427270.253262459807-1.892628868460.0729718606948D(GDP(-1)-0.2820795345380.243205785813-1.159838914170.2597738012C6874.778209043360.174941492.045958418460.0541364336652R-squared0.392899343068 Mean dependent var307.609130435Adjusted R-squared0.332189277375 S.D. dependent var3833.69551905S.E. of regression3132.88397469 Akaike info criterion19.0584032032Sum squared resid196299239.977 Schwarz criterion19.2065111444Log likelihood-216.171636837 F-statistic6.47173312336Durbin-Watson stat2.14643689535 Prob(F-statistic)0.00680153642381PP Test Statistic-6.80512681517 1% Critical Value*-4.39420271582 5% Critical Value-3.61184656951 10% Critical Value-3.24180960655*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Lag truncation for Bartlett kernel: 1 ( Newey-West suggests: 2 )Residual variance with no correction4373661.95132Residual variance with correction3656473.55436Phillips-Perron Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:39Sample(adjusted): 2 25Included observations: 24 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. GDP(-1)-1.365070353390.20674254382-6.60275494421.5433339734e-06C12177.47567751993.936318396.107254060834.63922668759e-06TREND(1)487.123272697101.510247024.798759603059.65278107242e-05R-squared0.675490695716 Mean dependent var292.40375Adjusted R-squared0.644585047689 S.D. dependent var3750.16807569S.E. of regression2235.72601217 Akaike info criterion18.3789882577Sum squared resid104967886.832 Schwarz criterion18.5262449865Log likelihood-217.547859092 F-statistic21.8565452866Durbin-Watson stat2.32162059874 Prob(F-statistic)7.37709047994e-06PP Test Statistic-3.13831075695 1% Critical Value*-3.73433953524 5% Critical Value-2.99069710407 10% Critical Value-2.63479449103*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Lag truncation for Bartlett kernel: 1 ( Newey-West suggests: 2 )Residual variance with no correction9169714.20603Residual variance with correction7903377.96361Phillips-Perron Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:44Sample(adjusted): 2 25Included observations: 24 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. GDP(-1)-0.6106851510180.189951720426-3.214949302110.00398900745909C8333.398695472583.106470453.22611506370.00388529187893R-squared0.319641615973 Mean dependent var292.40375Adjusted R-squared0.28871623488 S.D. dependent var3750.16807569S.E. of regression3162.80328007 Akaike info criterion19.0359604106Sum squared resid220073140.945 Schwarz criterion19.1341315632Log likelihood-226.431524928 F-statistic10.3358990151Durbin-Watson stat2.22740512367 Prob(F-statistic)0.00398900745909PP Test Statistic-0.00926513007531 1% Critical Value*-2.6648971753 5% Critical Value-1.95588327448 10% Critical Value-1.62314165632*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Lag truncation for Bartlett kernel: 1 ( Newey-West suggests: 2 )Residual variance with no correction13507746.9458Residual variance with correction7373687.64348Phillips-Perron Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:45Sample(adjusted): 2 25Included observations: 24 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. GDP(-1)-0.01732764922190.0563544822457-0.3074759722980.761248060505R-squared-0.00222413451651 Mean dependent var292.40375Adjusted R-squared-0.00222413451651 S.D. dependent var3750.16807569S.E. of regression3754.33619849 Akaike info criterion19.3399843264Sum squared resid324185926.699 Schwarz criterion19.3890699027Log likelihood-231.079811917 Durbin-Watson stat2.80068834718§3.6 单位根检验的进一步发展一 分段趋势、结构性突变（一） 对于单位根检验的模型（2）其意义：随机过程的特征为一个可能单位根加上一个非零漂移的过程的实现值，时，为单位根，经过差分就变成平稳过程。现在进行推广，Perron(1989)考虑原假设的三种模型，允许在时间的发生一次性结构变化。原假设：1） 2） 3） 其中：如果 否则为零（此时为结构性突变）如果 否则为零模型1）的含义是：单位根过程在漂移参数发生突然变化。模型2）的含义是：单位根过程在增长率上发生变化。模型3）的含义是：单位根过程允许在水平上和在增长率上发生变化。其它假设：1） 2） 3） 其中： 如果 否则为零如果 否则为零模型1）的含义是：趋势平稳过程的函数截距发生突然变化。模型2）的含义是：趋势平稳过程的趋势的斜率发生变化。模型3）的含义是：趋势平稳过程在截距和趋势的斜率都发生变化。由于一般的单位根检验很难区分单位根过程和趋势平稳过程，因此该过程是单位根过程还是趋势平稳过程，此时如何进行检验？我们用“消除趋势”的序列建立检验统计量，这里的是趋势平稳检验模型。于是我们可以令为模型的残差：1） ：包含漂移项、时间趋势和。2） ：包含漂移项、时间趋势和。3） ：包含漂移项、时间趋势、和。此时可以用DF检验。（二） 一般情形模型形式：假设检验：二 内生确定突变点的检验问题：（即突变点不能确定的问题）（一） Zivot和Andrews（1992）研究了以下的回归方程：如果 否则为零如果 否则为零突变点从到。从而得到一组DF检验值。此时统计量的临界值也有很大差别。（二） Banerjee（1992）的滚动DF检验：如果 否则为零如果 否则为零用不断扩大的亚样本来估计。但检验的临界值也有很大的差别。（三） 前沿的问题：1）存在多个结构性突变；2）残差存在非平稳的序列相关性情形。三 平滑转换模型如果趋势在两个领域间逐渐、平滑的变化，则利用对数平滑转换模型LSTR：模型的形式为1） 2） 3） 其中为对数平滑转换函数：为转换中点的时间参数；为转换速度参数估计方法：用NLS估计模型的参数，取的残差；利用所取得残差进行单位根检验。四 随机单位根过程假设是一种金融资产的价格，其在时间的期望收益率移项得：为白噪声，并令，得到：这个模型成为随机单位根模型STUR。一般情况下：可取其它的平稳随机过程，如1） 为零均值平稳过程。2） 为AR(1)过程。作业：估计和检验，需要查阅相关文献。§3.7 持久性和趋势回归的测量一 持久性（persistent）和趋势回归（trend reversion）的度量：即时刻的随机冲击对内随机过程的变化的影响的度量。假设一个单位根过程：冲击对水平值的最终影响定义为：它测量的就是冲击对随机过程的持久性影响。对这种现象，如何进行测量？（一） 脉冲相应（impulse response）：Campbell 和Mankiw(1987)假设是一个线性平稳过程，可用过程来描述：称为脉冲相应函数从而持久性度量（二） 方差比率（variance ratio）：非参数持久性度量（Cochrane(1988)）1） 定义为 其中；例1： 意义：例2： 此时意义：2） 方差率的估计为3） 极限方差率4）二 持久性和趋势回归检验如果随机过程不包含随机游走成份，但却是非平稳的，此时如何去检验？这里介绍方差率检验：检查方差比率是否为1。建立统计量§3.8 时间序列分解一 不可观测成份模型（unobserved component model） 如果随机过程是差分平稳的，则它可以分解为一个随机非平稳（或趋势）成份和一个平稳的（或噪声）成份，即 该模型称为“不可观测成份”UC模型，其一般的表达式为其中和是具有有限方差和的独立白噪声序列，和为不具有共同根的平稳多项式。此时随机过程可以表示为其中和由下式确定：明显，我们一般不能识别成份。但如果不可观测成分为随机游走，则可以识别出模型的参数。例1：Muth 的经典分解：假设是随机游走，其中于是其ACF在一阶时滞中断，为；值域是什么？于是可以写成。定义为信号/噪声方差比率。此时；例2：如果平稳过程为AR(1)过程，此时于是从而得出为ARMA过程于是得到二 信号提取：对不可观测模型成分的两个过程的估计问题，称为信号提取。根据的MMSE最小均方误差：非平稳成份的估计量为其中滤波定义为：此时噪声成份估计量为同样，对于一般模型，我们不能有效的分解。Pierce在半有限样本的情况下，估计量分别为：其中滤波定义为：参考教材：1）协整理论与应用马薇著 南开大学出版社2）高等时间序列经济计量学陆懋祖著 上海人民出版社3）时间序列分析汉密尔顿著 中国社会科学出版社4）商业和经济预测中的时间序列模型弗朗西斯著 中国人民大学出版社5）金融时间序列的经济计量学模型米尔斯著 经济科学出版社6）计量经济分析第四版 格林著 清华大学出版社7）动态经济计量学Hendry著 上海人民出版社8) 财政政策、金融政策与协整分析王雪标 王志强著 东北财经大学出版社