基于最小二乘拟合法的人口增长模型.doc
基于最小二乘拟合法的人口增长模型摘要： 针对题目所提问题，本文结合题目所给数据，采取最小二乘拟合法，利用1982年到1998年的出生率和死亡率，对1999年到2008年的出生率和死亡率进行预测，并得出此时间段内的人口自然增长率，进而得出1999年到2008年的人口总数，并和实际人口总数进行对比。一、 问题背景及重述1.1 问题的背景中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人口，专家学者们的预测结果不一。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。1.2 问题的重述下表列出了中国19821998年的人口统计数据，去1982年为起始年（t=0），1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。时间198219831984198519861987人口（万人）101654103008104357105851107507109300时间198819891990199119921993人口（万人）111026112704114333115823117171118517时间19941995199619971998人口（万人）119850121121122389123626124810二、问题分析人口出生率人口出生率人口自然增长率19982008年人口数量三、模型假设与符号说明3.1、模型假设1在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。2.国际人口迁入与迁出量相等。3.在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。4.题目所给抽样数据是随机的，真实地反映了整体实际情况。3.2符号说明t：1982年t=0，往后年份一次累加 Lt：第t年的人口出生率 （t=0,1,2,3）Dt：第t年的人口死亡率 （t=0,1,2,3）Nt：第t年的人口自然增长率 （t=0,1,2,3）Qt：第t年的人口数量 （t=0,1,2,3）L(t):各年出生率的拟合函数D(t)：各年死亡率的拟合函数i:权系数 （i=1,2，n）四、问题分析问题要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考相关数据资料，建立数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。为此，我查阅了许多资料，搜到了1982年到2008年的人口数量及出生率、死亡率和人口自然增长率。利用最小二乘拟合法根据1982年到1998年的数据，预测出1999年到2008年的数据，并与实际数据进行对比。五、建立模型求解设0（x），1（x），2（x），m（x）是一个线性无关的函数系，则称线性组合（x）=akk（x）为广义多项式。设由给定的一组数据（xi，yi）和一组正数i（i=1,2，n），求一个广义多项式（x）使得目标函数n 2S=i（xi）- yik=0达到最小，则称函数（x）为数据（xi，yi）（i=1,2，n）关于权系数i（i=1,2，n）的最小二乘拟合函数。利用最小二乘拟合法将出生率、死亡率数据进行拟合，所得拟合图形如下：所得的数据如下：年份1999200020012002出生率15.6115.4115.3915.60死亡率6.536.556.586.63人口自然增长率9.088.868.818.97年份2003200420052006出生率16.0616.8017.8619.26死亡率6.696.786.887.01人口自然增长率9.3710.0210.9812.25年份20072008出生率21.022320死亡率7.167.33人口自然增长率13.8615.8719992008年人口数量：年份199920002001200220032004人口数量（万人）125943127059128178129328130540131848年份2005200620072008人口数量（万人）13329513492813679813896919992008年预测与实际人口数量对比：从图中可以看出，实际人口数量低于预测数量，说明国家政策对人口数量的影响增大，是人口数量的上升更加平缓，进一步得到控制。六、参考文献1 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005.62 中华人民共和国国家统计局，中国统计年鉴2008，北京：中国统计出版社，2009.3 刘卫国，MATLAB程序设计与应用，北京：高等教育出版社，2006.7附录：程序：z=6.6,6.9,6.82,6.78,6.86,6.72,6.64,6.54,6.67,6.7,6.64,6.64,6.49,6.57,6.56,6.51,6.5;%死亡率n=3;P1=polyfit(x,y,n);P2=polyfit(x,z,n);xx=0:1:26;yy=polyval(P1,xx);zz=polyval(P2,xx);plot(xx,yy,'-b',x,y,':r');title('出生率拟合曲线');xlabel('t');gridi=17:1:26;yi=yy(i)yi = 15.6111 15.4062 15.3930 15.6017 16.0622 16.8046 17.8590 19.2553 21.0237 23.1942plot(xx,zz,'-k',x,z,':m');title('死亡率拟合曲线');xlabel('t');gridzi=zz(i)zi = 6.5282 6.5475 6.5804 6.6285 6.6936 6.7772 6.8809 7.0065 7.1555 7.3296I=125943,127059,128178,129326,130540,131848,133295,134928,136798,138969;R=123786,126743,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802;x=0:1:9;plot(x,I,':b',x,R,'-r');
