关于银行贷款问题(数学建模).doc

目录 摘要 11. 问题重述 22. 问题分析 23. 模型假设 24. 符号说明 25. 模型建立与求解 3 5.1建立模型 3 5.1.1每月等额本息还款法 3 5.1.2利随本清等本不等息还款法 3 5.1.3等本等息等额还款法 4 5.2建立模型 4 5.2.1每月等额本息还款法 4 5.2.2利随本清等本不等息还款法 4 5.2.3等本等息等额还款法 5 5.3模型求解 5 5.3.1问题1 5 5.3.2问题2 5 5.5.3问题3 66. 模型评价与推广 97. 参考文献 98. 附录 10关于贷款问题的研究 数学系 ： 米甜 曹瑛 罗义梅 摘 要随着社会的不断发展，我国国民生产总值也在不断提高，人们日益增长的物质需求也不断升高，可是对于大部分人来说，要想完成一些经济活动，需要向银行贷款，比如贷款创业、贷款买房、贷款买车等等，但是贷款利息及每月还款额是怎样计算的呢?如果假设采用等额贷款，若一直贷款总额、月利率、总额贷款时间，如何计算每月还款呢？更一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间、每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另一个呢？本文通过一个实例建立了数学模型，它是根据每月还款之后还欠银行的钱数并利用了数学归纳法和二分法列出等式，再用等比数列求和公式化简该等式，从而建立出数学模型，并对它进行了深入的分析和研究。模型：对于问题一、二、三各银行现金贷款问题建立还款模型，本模型由贷款总额、月利率、总贷款时间这三个量建立求解每月还款额的模型。通过建立的模型我们可以知道在贷款时每个月的还款额。我们先设出利率，并列出每个月还款之后还欠银行的钱数，利用采用递推的思想（数学归纳法）总结出了第个月还欠银行的钱数。利用等比数列求和公式以及二分法，应用Matlab7.0软件得出结果。 模型：我们建立利息模型，并利用和上面的问题相同地思路，得出各种方案的总利息，列表作图比较各种方案的优缺点。在模型的建立过程中，主要得出以下公式：我们遵循每月等额本息偿还法，并利用现金贷款问题的思想和方法，最终得到每月还款额的计算公式： 央行的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额根据它的还款原则，我们利用数学归纳法得出公式： 针对市建行的“等本、等息、等额还款法”通过利随本清等本不等息偿还法，算出总利息，然后平均分配，再将总贷款额平均分配，相加之后得到每月还款额的计算公式： 本文最大的优点在于建立的模型目标明确，便于解决问题。我们利用数学上常用的方法和思想，针对每一个问题进行了深入的研究和分析，并且得出在利率和总贷款额及贷款时间相等的情况下，出现还款总额不一样的现象的原因，并针对不同贷款方法列表和作图进行清晰的比较，得出它们的优缺点，能为大家在贷款问题上提供一些帮助，让广大群众可以根据自己的实际情况选择适合自己的还款方式。关键词：银行贷款 还款方式 二分法 数学归纳法 1、问题重述 现代社会随着经济的持续增长，经济收入的不断提高，人们的经济需求越来越高。越来越多的工薪阶层都在以银行贷款。贷款时人们普遍的心理是想弄清楚其中的每一个细节，但很多人却不知道怎样计算这些贷款利率以及每期付款该付多少。对于贷款的利息及每月贷款额到底该怎样计算？若采用等额贷款，已知贷款总额、月利率、总贷款时间的情况下，我们该如何计算每月还款额呢？更一般的情况下，在已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，就能计算出另一个，若能求出，该如何求呢？是否在利率、总贷款时间和总贷款金额都一样的情况下，每月还款额也一样呢？2、问题分析由于现代人们生活质量不断上升，人们经常需要利用贷款来进行一些经济活动，所以关于贷款的利息以及每月还款额是必须考虑的，对于某银行低息现金贷款广告问题，已知总贷款额、贷款时间、每月还款额，为了计算银行月利率，我们需要找到一个方法，设出未知量并建立等式。对于问题一已知贷款额、年利率、贷款时间，为了计算月还款额，我们需要知道每月还款之后还欠银行的金额，并利用最后一个月还清之后的欠款金额为零，可以列出等式，进而解出月还款额。对另一家公司的方案，我们仍利用上述思想建立模型进而分析出这家银行是否会赚钱以及能提前多少时间还清贷款。对于问题二我们针对三种不同的贷款方式进行分析，根据题中数据得到三种贷款方式的月还款额的计算方法。并且需要对这三种问题进行比较，从而需要得出合适的结论，使广大群众能够清楚的理解这三种贷款方式的利弊，从而对广大群众贷款提供帮助。3、模型假设 基于对前面问题的分析，我们做出如下的假设:3.1.在贷款期间银行利率保持不变；3.2.在贷款期间贷款人有能力偿还每月还款额；3.3.在贷款期间贷款人能按时偿还每月贷款额，不会拖欠；3.4.在这段时间内不考虑经济波动的影响。4、符号说明 : 每月还款额 ：月利率 ：总贷款额 ：总利息 ：第期结束时还欠的借款 ：总共借款个月 ：公积金贷款的月利率 ：商业性贷款的月利率 ：公积金贷款的每月还款额 ：商业性贷款的每月还款额 ：第个月还款额 ：第个月的利息为 : 第个月还了之后还欠银行的金额，显然有 5.模型建立与求解 从所要解决的问题和所作的假设出发，我们建立了两个模型。模型 还款模型本模型由贷款总额、月利率、总贷款时间这三个量建立求解每月还款额的模型。通过建立的模型我们可以知道在贷款时每个月的还款额。模型 最优化模型本模型综合考虑各种因素，在固定总贷款额、利率、总贷款期数不变的情况下，建立总还款额最少（即总利息最少）的模型，并分析等额本息还款法、利随本清等本不等息还款法、等本等息等额还款法这三种还款方式的利弊，提供给贷款者更适合自己的还款方式。5.1建立模型由于各种贷款方式的不同，决定了我们在计算月还款额的方法也不通，下面进行分析：5.1.1每月等额本息还款法 先还利息后还本金，每个月还的本金在逐渐增多，每个月还的利息在逐渐减少，但每月还款额相同。 第1月还款后还欠的借款: 第2月还款后还欠的借款： 第月还款后还欠的借款: 其数学模型 ， 利用数学归纳法和等比级数求解公式可求解 得到 从可得 从中可以解得时的， 其中 为每月等额本息还款法的每月还款额5.1.2利随本清等本不等息还款法 每月还款的本金相同，利息不等，每月还款额=每月所还本金+每月所还利息，则每月还款额不等。每月所还本金为第一个月还利息：第二个月还利息： 第个月还利息：则第个月还款额为 5.1.3等本等息等额还款法 每个月还的本金相同，每个月还的利息相等，则每个月还款额相等，本方法相当于把利随本清还款法的总利息均分到每一个月。由5.1.2中利息的计算方法得 总利息 年均利息为每月所还本金为则 每月的还款额为 5.2 建立模型5.2.1等额本息还款法第1个月的利息：第2个月的利息：第3个月的利息： 第个月的利息：其数学模型 ， 总利息为 5.2.2利随本清等本不等息偿还法 由式可知 总利息 5.2.3等本等息等额还款法 总利息 比较上述三种还款法的总利息就可得出哪种方法最优。5.3 模型求解 5.3.1问题1. 某银行低息现金贷款广告问题，此贷款用的是每期等额本息还款法，因为已经知道了总贷款额、总贷款时间、和每月还款额，需要求月利率。把,，代入得 要求解方程才可求解出由我们对利率的了解，利率一般是大于小于的。令 （显然是连续函数，而且有，其中） 由二分法有下表： 0-0.2 0.1 +0 -0.05 0.025 +0 -0.025 0.0125 +0 -0.0125 0.00625 -0.00625 -0.0125 0.09375 +0.00625 -0.09375 0.0078125 -0.0078125 -0.09375 0.0085938 -0.0085938 -0.09375 0.0089844 -0.0089844 -0.09375 0.0091797 +0.0089844 -0.0091797 0.0090821 -0.0090821 -0.0091797 0.0091309 -0.0091309 -0.0091797 0.0091553 - 银行的贷款月利率为. 5.3.2问题2. .本题用的是每期等额还款法，本题是已知总贷款额、总贷款时间、年利率，需要求解每月还款额。把,由年利率为有:月利率，代入 中得每月还款额： 解之得： （美元）甲每月大概还美元。 .对于另一家公司，我们有半个月为一期，而且已经知道了总贷款额、月利率、每半个月还款额（因为这里是半个月为一期),需求总贷款时间的问题。 由得：可以解得： 把,由年利率为有:月利率每一期的利率为，代入 中可得：还款期 （月）提前还款时间为：（年）所以另一家公司仍然可以赚钱，相对于让甲还年来说，此公司可以多赚两年的钱，即（美元）5.3.3问题3. .对于省建行的“每月等额本息偿还法”中，我们已将知道总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。要知道月还款额，首先需要知道月利率。对于公积金贷款：把，代入中有： 同样令 (显然它也是连续函数，并且有，其中) 仍可由二分法有下表： 0 -0.2 0.1 0 -0.1 0.05 0 -0.05 0.025 0 -0.025 0.0125 0 -0.0125 0.00625 0 -0.00625 0.003125 -0.0031250 -0.00625 0.0046875 -0.0046875 -0.00625 0.0054687 0.0046875 -0.0054688 0.0050781 0.0046875 -0.0050781 0.0048828 0.0046875 -0.0048828 0.0047852 0.0046875 -0.0047825 0.0047363 0.0046875 -0.0047363 0.0047119 -0.0047119 -0.0047363 0.0047241 -0.0047241 -0.0047363 0.0047302 0.0047241 -0.0047302 0.0047272 0.0047241 -0.0047272 0.0047256 0.0047241 -0.0047256 0.0047248 由此可得 .同理对于商业性贷款也可用上述方法先有，令用二分法可求得： .现在再将，代入中有： （元）同样将，代入中有: (元)省建行的每月还款额为（元）. .对于央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”中，我们已经知道了总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。由模型中的5.1.2我们能推得： 即：每月还款额=（贷款本金贷款期月数）+（本金-已还本金累计额）月利率还款总额为 (用到了等差级数求和公式）由5.2.2知市建行总利息为公积金贷款的总利息为（元）商业性贷款的总利息为（元）两类贷款的总利息为（元）对省建行两类贷款的总利息为（元）两建行的总还款差为（元）这个结果很接近元. .对于市建行的“等本、等息、等额还款法”我们已知总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。由模型中的5.1.3可得出它的还款法为每月还款额 .这三种还款方式的不同之处及利弊比较： 等额本息还款法：这是目前最为普遍，也是大部分银行长期推荐的方式，先还利息再还本金。作为还款人，每个月还给银行固定金额，所以计算比较方便，但这种还款方式每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。采用这种还款方式，它的特点是：每月还相同的数额，作为贷款人，操作相对简单。尤其是收入处于稳定状态的家庭，经济条件不允许前期投入过大，可以选择这种方式。公务员、教师等职业属于收入相对稳定的群体，很适合这种还款方式。但是，它也有缺陷，由于利息不会随本金数额归还而减少，银行资金占用时间长，还款总利息较大，利息总支出也几乎是所有还款方式中最高的。 利随本清等本不等息还款法：贷款人将本金分摊到每个月内，但是每个月的利息不同，计算比较麻烦。但这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，是可以节省大量利息支出，它的特点是：前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。使用利随本清还款，开始时每月负担比等额本息重。尤其是在贷款总额比较大的情况下，相差可能达千元。但是，随着时间推移，还款负担逐渐减轻。这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。实际上，很多中年以上的人群，经过一断时间事业打拼，有一定的经济基础，考虑到年纪渐长，收入可能随着退休等其他因素减少，就可以选择这种方式进行还款。 等本、等息、等额还款法：是将本金和总利息都取平均值，即把它们平摊到每个月中，计算起来比较简单，这种还款方式的特点是：平均每一个月所还的本金和利息都相等，即每月还款额也是一定的，它也适用于收入较稳定的人群，因为它每个月的还款数是一个常数，而且在同样的前提条件下，总利息较少。 .根据以上的分析，我们将数据代入可得下表：（图见附录）名称省建行公积金省建行商业基金央行公积金央行商业基金市建行公积金市建行商业基金108209.45694.7803.5444638.6493634.4944481.8420204201.42937.8782.5444619.1701634.4944481.8420302866.42020.1761.5444599.6910634.4944481.8420402199.71562.1740.5444580.2118634.4944481.8420501800.21288.1719.5444560.7326634.4944481.8420601534.41106698.5444541.2535634.4944481.8420701344.9976.483677.5444521.7743634.4944481.8420801203.2879.7923656.5444502.2951634.4944481.8420901093.3804.9901635.5444482.8160634.4944481.84201001005.7745.5078614.5444463.3368634.4944481.8420110934.2504697.1648593.5444443.8576634.4944481.8420120874.9646657.1736572.5444424.3785634.4944481.8420130825.0209623.6046551.5444404.8993634.4944481.8420140782.4163595.0789530.5444385.4201634.4944481.8420150745.6820570.5856509.5444365.9410634.4944481.8420160713.7160549.3660488.5444346.4618634.4944481.8420170685.6758530.8400467.5444326.9826634.4944481.8420180660.9060514.5562446.5444307.5035634.4944481.8420 根据上表的数据，我们可以很清楚的了解到每一种方案的每月还款额的变化趋势。从而可以根据自己现在的经济状况选择最适合自己的方案进行还款。 三种还款方式不存在划算不划算的问题，而是要看是否适合自己的经济状况。选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入和供款相一致。 如何选择适合自己的方式，并且需要考虑下面几个方面： 要考虑现有经济实力。  借款人在完成购房首期付款后，如果还剩有一定积蓄，且在一段时期内没有合适的投向、用途或投资理财能力欠强，那么专家提议可选择“本金法”。充足的积蓄既可以自如应付还款前期较大的压力，又可降低借款的利息支出，好处看得见。对于一些临近退休收入递减的中老年职工家庭，这是一个不错的选择。  要把握未来收入预期。  长期稳定的职业是保障稳定收入的基础，由于“本息法”前期还款压力较小，更适合于就业时间短、收入处于上升期的年轻人。而且，由于每个月还款金额是固定的，在借款人家庭收入相对固定的情况下，一般不会感到太大的压力。  要合理设定还款期限。 借款期限长意味着还款总额高，但月还数额小又降低还款压力。对青年家庭来说，未来的岁月里需要花费的还很多，尽可能延长借款期也许是不错的选择。对于年长者来说，在能承受的前提下，尽可能压缩借款期，以免退休时收入骤减、债期还遥遥无期而影响晚年生活质量。 不同的还款方式，只是为满足不同收入、不同年龄、不同消费观念人们的不同需要或消费偏好而设定。从静态看，三种还款方式存在着利息差，但从动态看，在考虑时间因素情况下，三种还款方式完全不存在差异！正因为忽略了资金的时间价值因素，很多借款人误以为自己选择等额本息还款法多付了利息。但是，不管采取哪种贷款还款方式，银行都没有做吃亏的买卖；客户也不存在节省利息支出的实惠。 6、模型的评价与推广 根据前面我们建立的模型可以很好的给人们在贷款时提供一个简便的计算方法。但是在建模过程中，我们简化了很多因素，因而与实际问题会有一定的偏差，因此，要想建立更好的还款方案，可以对一个实际的贷款方案进行计算机编程模拟，将实际的数据输入计算机程序，便可以得出更优的还款方案。 7、参考文献1 王能超，数值分析简明教程(第二版），北京市西城区得外大街4号：高等教育出版 社，2003.82 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材（五），湖南省新华书店：湖南教育出版社，2008.63 linake,等额本金与等额本息还款方式区别的比较, ,2013.6.14 冬雪，关于贷款偿还方式的数学模型， ，2013.6.28、附录 应用Matlab7.0软件对三种方案都进行了计算，得到下面的图： 省建行公积金的月还款额与贷款时间的关系图 省建行商业基金的月还款额与贷款时间的关系图 央行公积金的月还款额与贷款时间的关系图 央行商业基金的月还款额与贷款时间的关系图 市建行公积金的月还款额与贷款时间的关系图 市建行商业基金的月还款额与贷款时间的关系图