数列的概念练习题(有答案).doc

一、数列的概念选择题1在数列中，则的值为（ ）ABCD以上都不对2设数列的前项和为已知且，若，则的最大值为（ ）A49B50C51D523已知数列满足，则（ ）ABCD4已知数列，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2020项和为（ ）A5BC0D5已知数列的前项和为，且，则的通项公式是（ ）ABCD6数列中，则（ ）ABCD7数列满足，则的值为（ ）A1B-1CD8在数列中，已知，则等于（ ）ABC4D59已知数列满足: ，设数列的前项和为，则（ ）A1007B1008C1009.5D101010已知数列的前n项和为，且满足，则下列命题错误的是ABCD11在数列中，已知，且，则( )A-6B6C-3D312数列的前项和记为，则（ ）A2016B2017C2018D201913已知数列的通项公式为，则（ ）A35BCD1114历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233即，当n3时，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则的值为（ ）A24B26C28D3015已知数列的前n项和为，若，则（ ）ABCD16定义：在数列中，若满足（ 为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，则等于（ ）A4×201621B4×201721C4×201821D4×2018217已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，为的前n项和，则（ ）A1B3C-3D018数列满足：，其前项积为，则（ ）ABCD19已知数列满足，且，则的最小值为（ ）A21B10CD20数列满足 ，则等于()AB1C2D3二、多选题21已知数列满足，()，数列的前项和为，则（ ）ABCD22已知数列满足，则下列各数是的项的有（ ）ABCD23斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（ ）AB且CD24等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（ ）ABC当时最小D时的最小值为25首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ）A若，则，；B若，则使的最大的n为15；C若，则中最大；D若，则.26定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（ ）A数列为等差数列B数列为等比数列CD，成等差数列27已知数列的前n项和为则下列说法正确的是（ ）A为等差数列BC最小值为D为单调递增数列28数列满足，则下列说法正确的是（ ）A数列是等差数列B数列的前n项和C数列的通项公式为D数列为递减数列29已知等差数列的前n项和为，公差，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）ABC当且仅当时，取最大值D当时，n的最小值为2230(多选题)等差数列的前n项和为，若，公差，则下列命题正确的是（ ）A若，则必有=0B若，则必有是中最大的项C若，则必有D若，则必有31已知等差数列的前n项和为Sn（nN*），公差d0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）Aa1=22Bd=2C当n=10或n=11时，Sn取得最大值D当Sn>0时，n的最大值为2132已知数列满足：，当时，则关于数列说法正确的是（ ）AB数列为递增数列C数列为周期数列D33公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（ ）ABC中最大D34已知数列是递增的等差数列，数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）ABC当时，取最小值D当时，取最小值35设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则对描述正确的有（ ）A是唯一最小值B是最小值CD是最大值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1A解析：A【分析】根据递推式可得为一个周期为3的数列，求中一个周期内的项，利用周期性即可求的值【详解】由，知故数列是周期为的数列，而2019可被3整除故选：A【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题2A解析：A【分析】对分奇偶性分别讨论，当为偶数时，可得，发现不存在这样的偶数能满足此式，当为奇数时，可得，再结合可讨论出的最大值.【详解】当为偶数时，因为，所以不可能为偶数；当为奇数时，因为，又因为，所以 所以当时，的最大值为49故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.3B解析：B【分析】由题意可得，再将这2019个式子相加得到结论.【详解】由题意可知，这个式子相加可得.故选：B.【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.4B解析：B【分析】根据数列的递推关系可求得数的周期为，即可求得数列的前2020项和.【详解】，且，是以为周期的周期数列，且，故选：B.【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.5B解析：B【分析】根据计算可得；【详解】解：因为，当时，即当时，减得，所以故选：B【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.6A解析：A【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，以上各式相加得：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.7B解析：B【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项.【详解】因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.8B解析：B【分析】根据已知递推条件即可求得【详解】由知：故选：B【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题9D解析：D【分析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.【详解】由题意，数列满足: ，可得，可得数列是以3为周期的数列，且所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10C解析：C【分析】，则，两式相减得到A正确；由A选项得到=进而得到B正确；同理可得到C错误；由得到进而D正确.【详解】已知，则，两式相减得到，故A正确；根据A选项得到=，故B正确；=，故C不正确；根据 故D正确.故答案为C.【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.11C解析：C【分析】根据题设条件，得到数列是以6项为周期的数列，其中，再由，即可求解.【详解】由题意，数列中，且，可得，可得数列是以6项为周期的数列，其中，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12A解析：A【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列是周期为6的数列，且，进而可得，计算即可得答案【详解】解：因为，则，所以数列是周期数列，周期为6，因为，所以故选：A【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题13A解析：A【分析】直接将代入通项公式可得结果.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.14B解析：B【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解.【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则，故选：B.15A解析：A【分析】令得，令得可解得.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：A16C解析：C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列的通项公式，再利用求解.【详解】由题意可得：， ，根据“等差比数列”的定义可知数列是首先为1，公差为2的等差数列，则，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.17C解析：C【分析】判断出的周期，求得的通项公式，由此求得.【详解】依题意定义在上的函数是奇函数，且满足，所以，所以是周期为的周期函数.由得，当时，当时，-得（），所以，.所以故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于对称，则这个函数是周期函数，且周期为.18A解析：A【分析】根据递推公式推导出，且有，再利用数列的周期性可计算出的值.【详解】，且，因此，.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.19C解析：C【分析】由累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值，借此能得到的最小值.【详解】解：所以设，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递减，又因为，所以当或时可能取到最小值.又因为，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.20B解析：B【分析】先通过列举找到数列的周期，再求.【详解】n=1时，所以数列的周期是3，所以.故选：B【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、多选题21BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；，所以，则解析：BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；，所以，则，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如（且，）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知与的关系求通项时，一般可根据求解.22BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列满足，；数列是周期为3的数列，且前3项为，3；故选：【点睛】本题主要解析：BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列满足，；数列是周期为3的数列，且前3项为，3；故选：【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题23BC【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，显然，所以且，即B满足条件；由，所以所以数列解析：BC【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，显然，所以且，即B满足条件；由，所以所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以所以，令，则，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；即C满足条件；故选：BC【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题24BD【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误解析：BD【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；，则，可得，B选项正确；，当或时，最小，C选项错误；令，可得，解得或.，所以，满足时的最小值为，D选项正确.故选：BD.25ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，故A正解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.26AC【分析】由题意可知，即，则时，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，得时，即时，当时，由解析：AC【分析】由题意可知，即，则时，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，得时，即时，当时，由知，满足所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，所以，所以，故C正确，故D错，故选：AC【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.27AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对进行配方可对C进行判断【详解】解：当时，当时，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因解析：AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对进行配方可对C进行判断【详解】解：当时，当时，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以A，D正确，B错误，由于，而，所以当或时，取最小值，且最小值为，所以C错误，故选：AD【点睛】此题考查的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n项和的最值问题，属于基础题28ABD【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.对选项B，由A知：解析：ABD【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.对选项B，由A知：数列的前n项和，故B正确.对选项C，因为，所以，故C错误.对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.29AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可得，即，由是与的等比中项，得，即，化为，由解得，则，由，可得或11时，取得最大值110；由，解得，则n的最小值为22.故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.30ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A选项正确；对于B选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A选项正确；对于B选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B选项正确；C. 若，则，由于，公差，故，故，的符号不定，故必有，无法确定；故C正确，D错误故选：ABC【点睛】本题考查数列的前项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题31BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn>0解不等式可判断D【详解】由公差，可得，即，由a7是a解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn>0解不等式可判断D【详解】由公差，可得，即，由a7是a3与a9的等比中项，可得，即，化简得，由解得，故A错，B对；由，可得或时，取最大值，C对；由Sn>0，解得，可得的最大值为，D错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题32ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，即数列是首项为，公差为1的等差数列，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，即数列是首项为，公差为1的等差数列，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，所以易知ABD正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.33AD【分析】先根据题意得，再结合等差数列的性质得，中最大，即：.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，由于，所以，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD【分析】先根据题意得，再结合等差数列的性质得，中最大，即：.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，由于，所以，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正确，BC错误.故选：AD.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式与等差数列的性质，是中档题.34AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，则，故正确，错误；可得数列的解析：AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，则，故正确，错误；可得数列的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正而当时，取最小值，故正确，错误故选：【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题35CD【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；【详解】，设，则点在抛物线上，抛物线的开口向下，对称轴为，且为的最大值，解析：CD【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；【详解】，设，则点在抛物线上，抛物线的开口向下，对称轴为，且为的最大值，故选：CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.