股票网络建模与分析毕业论文.doc

目录1 绪论11.1研究背景以及意义11.1.1复杂网络的研究背景及其问题的提出11.1.2股票复杂网络的研究价值与意义31.2股票复杂网络的国内外研究现状41.2.1国外研究现状41.2.2国内研究现状52 复杂网络相关研究综述62.1股票复杂网络相关知识62.1.1复杂网络简介62.1.2网络的图表示82.1.3图的表示方法82.2股票网络的描述102.2.1股票网络102.2.2股票网络的原理102.2.3平均路径长度112.2.4聚集系数112.2.5度分布122.3 复杂网络基本模型132.3.1 ER模型132.3.2 WS小世界模型132.3.3无标度网络模型143 股票网络建模143.1 研究数据介绍153.2 股票之间的相关系数163.3 股票之间的邻接矩阵173.4 Pajek软件介绍183.5股票网络模型183.5.1 股票网络mat文件183.5.2 股票网络基本模型203.5.3 股票网络缩减模型213.5.4 股票网络最大连通子图224 股票网络模型分析254.1 股票网络度分布254.2 股票网络聚类系数以及平均路径长度295 总结30参考文献30ABSTRACT33致谢34附录一35股票网络建模与分析 摘要：用复杂网络研究股票金融市场的方法，受到了国内外学者的关注。复杂网络理论是近几年新兴起来的研究热点，其应用性研究也具有广泛的领域，金融证券市场就是复杂网络的一个重要研究领域。在此，我们利用复杂网络的理论方法做了以下工作：本文以上海股票市场为研究对象，以上海股市各公司为节点，通过相关系数计算它们得联系性，选取恰当的阈值，通过matlab软件编程得到邻接矩阵，最后用pajek软件进行仿真建立股票网络模型。通过分析所建网络的度分布以及聚类系数，得到股票网络具有无标度特性和小世界特性。关键词：股票；复杂网络；建模与分析1 绪论1.1研究背景以及意义股票网络具有很多的节点，组成一个巨大的系统，传统的研究方法难以对它进行精确地研究分析。所以，为了研究股票之间的相互关系寻找最优化的投资方式，我们需要运用复杂网路解决这些问题。一般定义的复杂网络是“一种具有自相似、自组织、小世界、吸引子、无标度等性质中部分或者全部的网络”。复杂网络理论的发展为金融市场的研究提供了一个新视角，也为投资者进行投资决策提供了一种新方法。众所周知，股票所属商业部门与行业部门之间耦合性很强，因而股价之间的波动相互影响。不少学者正是从揭示股票相互关系的角度构建了多种股票网络，其中大多数网络是从各股价波动线性相关的角度入手的。1.1.1研究背景世界各地不同的大学之间的关系是怎么样的呢?一个公司股票的升跌是通过什么方式影响其他公司的呢? 世界上两个陌生人之间至少要通过几个人才能认识呢？传染性疾病如流行感冒是如何在人群里传播的呢？ 电脑病毒是如何迅速的在大范围内传播的？城市上下班时的交通拥堵是如何引起的?如何建立起科学的公共卫生体系与安全可靠的网络?为什么人类的大脑能够具有细致思维的能力?这些问题一直在困扰着我们，尽管看上去不属于同一方面，所属部门各不相同，但每一个问题中都涉及到很复杂的网络。包括互联网、社交关系网络、电力网络、股票网络、交通网络等。更引起我们重视的是，众多的研究表明，虽然这些网络表面上看上去各不相同，但是这些网络之间实质上有着很多惊人的相似或共同之处。上个世纪以来，人类社会大步迈入了网络时代，这主要归功于以Intemet为代表的信息技术的迅猛发展。从较大规模的电力网络到世界范围的交通网络，从Internet到www，从人类、动物的大脑到许多种生活的新陈代谢网络，从学术合作网络到各种政治、经济、生态、社会关系网络等，可以这么认为，即人类生活的世界已经较以前有很大变化，复杂网络存在于生活的各个方面。按照目前的观点，人类世界的网络化是一把“双刃剑”，它在促进了人类生活质量水平和生产效率的提高，加快了社会发展的节奏，给人类生活社交与社会生产与带来了众多便利的同时，也给人类、生产生活带来了难以消除的负面冲击，如计算机病毒和传染性疾病的快速传播以及大面积交通的拥堵等。因此，为了人类社会更好的发展，需要我们复杂网络加以深入研究，对各种人工和自然的复杂网络的行为有更好的认识。在以往的时间里，电力网络、通信网络、生物网络和社会网络等一致被认为属于不同的研究领域，它们分别被归类到电力科学、通信科学、生命科学和社会学等不同学科中，研究这些网络没有一种普遍适用的方法，复杂网络是研究各种各样不同的网络之间的共性的网络1。复杂网络理论的研究兴起于最近几年，它受到了越来越多的网络研究者的关注。考虑到复杂网络的特点，复杂网络被定位在网络时代科学研究中，多数学者和科研机构认为复杂网络是一个值得广泛研究的极其重要的课题。复杂的网络包括连接的复杂性，网络结构的复杂性，复杂性和时间演化的复杂性以及许多其他方面的特点。网络主要包含两个内容，即表示该网络系统中的不同个体的节点，和代表个体之间的关系的连接节点之间的边。一般来说如果系统中的结点间存在一个特定的关系，有必要在两个节点的连接由一个边缘的节点，如果有表示节点为相邻节点。现实世界中，系统所表现的网络形式在是在各个领域是都有所体现，从小范围的系统到大系统，无不例外。比如互联网，万维网，社会网络，神经网络，电力网络，交通网络，学术合作网络。自从上个世纪末以来，对于研究复杂网络已渗透到生命，计算机和工程学科以及其他的许多不同的方面，如何科学、合理的解释复杂网络的诸多特征，已成为当今世界网络科学研究中一个重要的极具挑战性的课题，复杂网络被称为“网络的新科学”2-3。闻名中外的“哥尼斯堡七桥问题”可以看作是一个里程碑式的事件，它打开一个数学分支一一图论。这个问题由18世纪伟大的数学家欧拉(Euler)完成，他对七桥问题的抽象和论证思想，正是图论研究的初始思想，欧拉也因此被公认为图论之父。但是，在欧拉开创性的解决七桥问题之后的很长一段时间里，图论理论与方法并没有较大的发展。直到1936年关于图论的第一部专著才正式出版，此后图论研究开始得到国内外学者的我关注，图论研究也因此得到的长足的发展。上个世纪60年代，随机图理论(random graph theory)被两位匈牙利数学家Paul Erdos和Alfred Renyi建立起来，这被公认为是复杂网络理论系统性研究的开创4。随机图理论的创新性在于两个节点之间连边的确定性上。它提出了两节点之间的节点的网络连接是肯定的事，但是一个概率决策理论，从而产生网络的数学家称为随机网络。在上个世纪的最后40年，研究了复杂网络的基本理论是一个随机图理论。在这段时间里，人们为了揭示社会网络特性，也进行了一些尝试，比如著名的小世界实验。实验结果与真实网络数据表明，在当今世界上各个领域的互联网不规则网络，也不是随机网络，但与两年的情况是不一样的统计特性的网络。科学家通过大量实验和研究结果，复杂网络有很多共同点，即最复杂网络的小世界特征和无标度特性（小世界）（无）。我们把两个节点之间通过一定概率相连而成的网络叫做随机网络。从1900年到1940年期间，对复杂网络的研究是围绕随即图理论展开的。在这个阶段人们做了很多实验进行网络特性研究的尝试。小世界实验得出的结果和真实网络的数据表明，当今世界中各个领域的网络既不是规则网络，也非随机网络，而是与前述两种情况皆不相同的具有统计特征的网络。科学家们通过大量实验和研究发现，复杂网络具有较多的共性，即大多数复杂网络都具有小世界(small-world)特征和无标度(scale-free)特性。小世界(small-world)特征还有另外一种说法，即又被称为六度分离(six degrees of separation)理论，该理论最早起源于一项名为“追踪美国社交网络中的最短路径的实验，这个实验由美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram于1967年实施的 5。实验原理是这样的：Milgram给的那些同意参加实验的“起始寄件人”（参与者分布在堪萨斯州和内布拉斯加州）寄去了大量的信件，同时要求这些自愿者自己开动脑筋，用尽可能少的传递次数，通过自己认识的朋友，设法将信件寄给在其他地区的的两个指定“目标收件人"之一。在寄件的过程中，他做了一个规定，即每个参与者只能转发给一个他们认识的人。这个实验的最终目标是通过尽少的传递次数，使得起始寄件人能将这些信件寄到目标收件人手中。根据实验得出的数据，经过统计分析发现从一个起始寄件人到目标收件人的平均距离只是6，即平均只需6次传递，就可以将信件从一个人传递到另一个并不认识的人中。这个实验的结果在一定程度上反映了人际关系的“小世界”特性。这个特性在现实世界中也是能得到证明的，我们可能经常会碰到这样的状况，当你在一个公共场合，和一个陌生人交谈的时候，你会发现你们有共同的朋友，也就是说你的朋友认识这个陌生人，于是大家会同时决定这个世界真小，这个就是“小世界”特性的真实体现。1998年，从规则格子到随机图之间的转变理论被Watts和Strogatz共同提出，他们描述了小世界网络的概念。很多大规模的复杂网络的节点度分布函数具有幂律(power-law)形式，这个理论由Barabasi和Albert在1999年率先发现6。这一类型的网络被学者们称为无标度(scale-free)网络。小世界特性和无标度特征这两个重要性质的发现对于研究复杂网络具有重要的意义。在此之后，各个领域的多种复杂网络模型被科研人员提出，各领域的专家学者还对相应网络模型上的统计特征、动力学性质以及网络的容错与抗攻击能力等进行了深入的研究，在世界范围内，掀起了一股研究复杂网络的热潮。近十年来，Science、Nature、PRL、PNAS等国际一流的刊物刊登了大量关于复杂网络的文章，这已经证明了复杂网络已经被大家重视，正成为一个新兴的热点问题。来自香港城市大学的陈关荣教授对几年来SCI收录或刊登的有关复杂网络的文章数量进行了统计，从中可以看出文章数量呈现出明显的增长势头，用一个可靠的数据表明复杂网络的研究方兴未艾。2001年中国加入世贸组织，中国经济走向全面开放，股票市场发展迅速。目前，迫切需要对股票网络进行研究，以解决股票投资者的困惑，避免带来更大的损失。对股票网络将进行建模与分析引起了很多人的关注。股票网络是一个庞大的数据网络，采用传统的研究方法很难准确显示它在现实中的复杂性和重要性，因此，我们将复杂网络理论作为出发点，利用复杂网络的优良性质，以此来研究股票复杂网络的一些统计特征，具有重要的理论价值与现实意义。1.1.2复杂网络的研究价值与意义目前，包括电路与系统、复杂性科学、非线性科学、计算机科学、社会科学、生物系统等学科领域都应用到了复杂网络，且其涉及的领域在深度和广度上都比以前有较大提高。复杂网络广泛存在于自然界和社会之中，复杂网络理论对于解决一些大系统复杂问题有着很好作用。因此，对于我们可以借助对复杂网络的研究，认识自然界和社会现象，这对人类社会的进步与和谐发展有着很重要的意义。为了更深刻的认识自然界和社会上的复杂性，我们可以利用复杂网络的已有研究成果去分析自然界和社会系统运行规律，进而针对各种规律，我们就可以研究出具备更好特性的复杂网络模型，或者使各种各样的网络都处于一种对我们有用的状态。比如，实际生活中很多网络都不可避免的遭受到侵害。Internet上时而发生的信息堵塞可能妨碍信息及时传输，影响人们的正常交流；电力网上某一部分或器件产生问题可能会诱导大面积停电事故的发生，给生活、生产带来不可估量的损失；计算机网络上传播的病毒则会严重损害计算机系统与文件，对人们使用计算机进行日常工作产生影响；此外，生物群体网络上传播的传染病与不健康信息也会对人们的身心健康产生影响。为此，我们可以应用复杂网络的理论来解决这些问题，如我们可以根据复杂网络理论研究出性质更加优良的网络拓扑，可以根据复杂网络理论对信息堵塞进行控制，可以应用复杂网络理论抑制或减缓Internet上计算机病毒和生物群体网络中的传染病病毒及不健康信息的传播速度。本文将着重关注这些问题，这对于以后处理发生在复杂网络上的一些具有危害性的事件有着一定的借鉴意义。当今世界经济逐步向全球化、一体化的进程迈进，世界经济因为遍布各地的跨国公司和国际贸易的增多而紧密联系在一起，一种商品的原料采购、生产、储藏、销售等环节可能在不同的国家或地区发生。各国资金与商品的大幅流动使得各国金融市场紧密的联系在一起，各国经济相互依赖。各国间密切的经济联系，使世界经济形成了一个整体，各个国家的经济可以看作节点，各国经济间的联系可以看做网络中的边，由此构成了一个复杂的网络。2007年，发生在美国的次贷危机蔓延，波及至周边国家，进而引发全球性的金融危机，导致全球经济普遍停滞不前甚至倒退，全球股市普遍暴跌，并严重影响了实体经济的发展。各国经济金融间的紧密联系，受到了大家的普遍认可。在金融危机爆发余震未消的今天，股票市场作为经济发展的晴雨表，采用复杂网络理论来研究股票市场，为分析研究金融危机的后续影响提供了一个新方法、新视角，也为投资者投资股票提供了新的决策分析方法。1.2股票复杂网络的国内外研究现状股票系统是一个复杂系统，而复杂网络作为复杂系统的重要研究工具之一，为深入研究股票网络的各种特性及动力学过程与拓扑结构间的相互作用等问题，奠定了理论基础。1.2.1国外研究现状国外关于复杂网络的研究正热火朝天的进行。New Journal of Physics，Journal of Physics D出版关于复杂网络的增刊后，2009年复杂网络的特刊在知名期刊Science上刊登，由此可见复杂网络这个研究方向的重要程度。Frank Schweitze等人在该期刊中发表了题为Economic Networks ，The New Challenges的文章，这篇文章说明当前经济危机的一些危害，并指出一个重要结论我们有必要对经济网络的结构和动力学进行全新的、基础性的解释。现有的经济体系是一个整体，建立在愈来愈多的在相互依赖的基础上，各个国家或者企业通过各种投资渠道、发放或购买债券、贸易关系等进行金融联系，途径多且广，导致很难对现在的金融行为进行预测和管理。鉴于此，我们应当建立新的经济理论模式，这种模式首先应能体现经济网络系统的复杂性，其实还要有可读性，即在必要时，我们能够对其进行适当修改和外延扩展。我们通过建立健全的经济网络，借此分析复杂的经济问题，给决策者制定政策和宏观经济规划提供依据。现今，国内外许多学者将研究重点集中在用复杂网络的理论来分析和解释证券市场中的各种现象。国外学者多选取美国股市作为数据样本进行研究。Boginski等对美国证券市场的6546只股票进行了研究，他们发现股票的价格相关性表现为无标度性7。Kim等通过对S&P 500股价网络中节点进行研究，发现网络中的节点在网络中的影响力大小也表现为无标度特性8。Cheojun Eom等对股票市场中信息流的变化所能带来的信息进行了分析。他们在建立全连网络分析节点信息流的分布的基础上，利用最小生成树算法截取网络中最重要的(N-1)条边。最后文章指出在出现金融危机的情况时，信息流信息量会显著增大，信息流包含了很多有用的市场信息。经过生成树算法截取下来的这些边能对网络中信息流的情况作出一个较为全面反映9。除此之外，学者们也开始重视新兴市场的研究，并得出了一定的成果。Didier Somette等对非洲南部国家的股票进行了分析选取，从中选择了若干数量的普通股和股市指数，在2003年1月至2006年5月这段时间内，可能有一定的泡沫存在于这些国家的股市中。通过分析额外6个月的数据，Didier Somette等发现南非市场中有一部分股票出现了一次较大的下跌。结论指出，发生在2006年6月中旬的只是一个小型下跌，而这仅仅是一个小范围的调整，新一轮的经济泡沫会在2007年会出现10。Faruk Selcuk证实了无标度现象在新兴市场中是普遍存在的，多重分形性质存在于股票收益率中。通过实例验证指出，当股票市场出现一波大的动荡后，股市波动率的分布规律并没有较大变化，在确定的阈值情况下，分布规律依然保持为幂律分布11。DanielO.cajueiro等通过对巴西股票价格进行分析，以此来发现泡沫的存在及对股票崩盘情况进行分析。这类研究在对资产泡沫的结束时间进行预测，或者预测股价大幅下跌周期时较为适用12。Kyoung Eun Lee等基于最小生成树算法构建了股价相关性网络，对KOSPI200自2000年1月至2004年12月的数据进行了分析。分析结果指出，网络节点度分布服从幂指数-2.5的幂律分布。Kyoung Eun Lee等还尝试在一个特定范围内采用不同阈值构建证券网络，研究表明在一特定范围内幂律分布都适用于构建的网络度分布，不同的地方在于幂指数值的大小13。1.2.2国内研究现状复杂网络系统在我国也取得了较大发展，我国的学者在近几年的研究重点在于从系统整体以及系统与外部联系的角度研究复杂系统，取得了不少具有重要意义的研究成果。在真实网络结构和演化行为的实证研究方面，韩定定对现实网络中的电路网络、航空网络、科技文章下载网三个典型的非线性复杂网络系统进行了实证研究，深入的研究了复杂网络的普适性和特殊性。樊瑛如狄增和通过对含权科学家合作网进行研究，发现其是一个典型的具有幂律分布规律的小世界网络。张宁通过对中国家电企业和汽车零部件企业竞争网络进行实证分析，证实了网络的拓扑结构。杨建梅等对广东省软件企业的竞争合作网络进行了系统研究。周涛等对计算机互联网的演化方式进行了分析。何大韧了对从中药方剂到交通运输极为广泛的一大类竞争一合作网络进行研究，以了解此类网络的特性。在复杂网络建模方面，钱江海、韩定定等基于预期流优化理论，提出了一种空间网络引力模型，并借此模型对中国城市航空网进行了仿真模拟。一种局域世界模型由李翔和陈关荣在华东师范大学硕士学位论文里合作提出，在此之后该模型后得到了继续研究，范正平及陈关荣等人将此模型推广至多局域世界网络，以便将互联网拓扑结构描述的更加精确；一种处于优先连接增长和随机增长之间的增长网络模型被刘宗华提出；周涛和郭进利等人合作创建了一种变体的局域世界模型；周涛、汪秉宏与严钢合作创建了一种随机阿波罗网络模型；方锦清等人构建了网络理论模型金字塔结构，对复杂网络的复杂性与普适性进行了深入探索，以此为基础研究了网络动力学和网络拓扑结构的关系。国内也有越来越多的学者开始关注使用复杂网络理论来解释证券市场中各种无法解释的现象。庄新田小组针对中国证券市场做了大量研究工作：他们以2002至2004年上海证券交易所股票为节点构建了无向无权的的证券网络体系，通过研究分析，得出了该网络的无标度效应等一系列结论。结果表明，股市产生的数据可用于构建网络且反映大量的市场行为14。不仅如此，他们还采用阈值法，建立了中国股市的相关性网络，探讨了该网络的拓扑结构性能及稳定性15。另外，该小组还采用多重分形消除趋势波动分析理论(MF-DFA)，实证了上海股市价格指数16。结果表明，股市产生多重分形特征的主要原是由于波动相关性17。陈辉煌等认为一些Hub节点所代表的股票走势决定了复杂网络的稳定性。并发现了证券市场网络对随机攻击呈现出鲁棒性，相反，却对蓄意破坏表现出脆弱性18。复杂网络中的社团结构因其能展现出不断演化的网络所表现出的各种特性，成为了当今复杂网络研究的关键问题。同样在金融学、生物学等多个领域中，有关社团结构的挖掘和处理都具有非常重要的理论意义和实际意义。对于网络的社团结构的研究，国内外许多专家学者都进行了深入的研究，提出了很多寻找社团结构的算法，得出了很多有意义的成果。段晓东等基于社团网络的统计特性，提出一种多社团识别算法，该算法适于社团网络线性时间复杂度，同时，他们还将该算法做了进一步的分析和应用19。王洋等提出了一种二分网络聚类算法，该算法允许社团间的相互重叠，并做了相应的分析和应用20。李晓佳等总结并概述了复杂网络社团结构发展的历史和现状，并对今后社团结构的研究发展方向提出了自己的看法21。王高峡等定义了相关网络社团结构的性质，研究并分析了网络的社团结构与复杂网络的模块矩阵的特征谱之间的相互联系22。汪小帆等总结并概述了挖掘社团结构的一些比较有价值的算法，建立了基于模块度指标的改进算法，并做了相关应用分析23。庞传军等使用模糊聚类算法研究并分析了发现网络中重叠社团的方法。刘建国等构建了一种应用于加权网络的社团结构发现算法，并利用该算法应用于相关实例进行分析和应用研究。2 复杂网络相关研究综述本章将对股票复杂网络的相关模型进行详细介绍，并对模型进行了相关分析。2.1股票复杂网络相关知识2.1.1复杂网络简介任何一个复杂网络，它都是由一些列节点和复杂连接拓扑结构组合而成的，它以图的形式比较形象直观的表示了系统内部的节点与节点之间相关联系。关于复杂网络的定义，目前学界还没有形成相关统一意见。从其形成原因上讲，复杂网络是经过大量真实复杂系统的高度抽象的结果，人们通过图的拓扑结构来抽象地表示一个复杂真实系统。相比较与规则网络和随机网络，复杂网络则具有更多的复杂性，对于它的表达，学界至今没有达成一致，人们很难通过一些简单方法来构建出完全符合真实统计特征的复杂网络。因此，很多关键问题还亟待研究。 对复杂网络的研究，最早是由Eular提出的，他在解决七桥问题时，首次提出了复杂网络的概念，这也是后期对复杂网络研究的原型。随着计算机科学和数学的发展，计算机已经可用来很好的帮助人类解决一些复杂的数学计算问题。实际复杂网络数据的处理也可以通过目前的高性能设备来解决。因此，对复杂网络(complex networks)研究因此得到了前所未有的发展。罗列一下复杂网络在人类社会中的发展历史，可将其随时间的研究情况见下表1所示。表1 复杂网络研究的重大事件时间人物事件1736Euler七桥问题1959Erdos和Renyi随机图理论1967Milgram小世界实验1998Watts和Strogatz小世界模型1999Barabasi和Albert无标度网络经过不断的研究发现绝大多数实际的复杂网络具有这样的特点：(1) 网络行为的统计特性：对一个城市或国家而言，网络节点数可以有成百上千万，甚至更多，这些网络行为虽然有一定差别，但是其也符合一定的统计规律。(2) 复杂性的连接结构：事实上，大部分现实世界的大型网络连接结构并不是完全规则的，也并非是完全随机的，网络结构一般还伴随着一些其它结构特征。(3) 稀疏的网络连接特性：网络连接并非想象中那么稠密，一个有N个节点的具有全局耦合结构的网络的节点连接数目通常也在一个特定范围内，例如生物神经网络一般是稀疏网络，连接度有时还不到0.01%。(4) 复杂的网络的时空结构：复杂网络的演化过程并不是通过简单研究就能弄清楚的，它通常同时具备时、空上的复杂性。在演化过程中，丰富多彩的复杂行为(如分岔和混沌)得到展示，特别是网络节点之间的不同类型的同步化运动。(5) 节点动力学行为的复杂性：首先各个节点本身可以是非线性系统，节点系统的复杂性决定了各个节点又具有混沌和分岔等非线性动力学行为。2.1.2网络的图表示随着复杂网络理论研究的不断深入，现实生活中复杂网络的结构复杂性逐渐被人们开始关注，结构复杂性与网络行为之间存在的关系也受到研究者的重视。一般在研究这些理论与关系时，首先需要一种统一的工具来研究各种不同的复杂网络在结构上的共性，这种工具应能较好地描述网络，一般我们采用数学图论中的图(graph)来描述。任何一个网络都可以看作是一个完整的系统，这个系统由一些节点按某种方式连接在一起构成。网络图将可以作为现实生活中的抽象表达，它用抽象的点表示具体网络中的节点，用节点之间的连线表示具体网络中节点之间的连接关系。用图G来作为一个具体网络的抽象表达方式，用两个集合V和E构成的二元组来表示图G，记为G=(V，E)，其中，V可以表示为图中节点的非空有限集合，E被称作图中边的有限集合。数据结构一般存在一定的逻辑关系，若从这个角度来考察，图G中任何一个节点都可能与图中的其他节点存在联系，而图中所有节点都可能与某二节点存在一定的联系。在图中，用节点来表示数据结构中的数据元素，用边来表示数据元素之间的关系。下面介绍一下有向图的概念：若图中每条边都有一个方向，那我们就用<，>表示节点之间的关系，这说明有一条有向边(也称为弧)存在于到间。有向边的终点称为弧头，用表示；有向边的起点称为弧尾，用表示。从以上内容我们可以总结出有向图的概念：边有方向的图称为有向图，包含有向图的网络我们称之为有向网络(directed network)。无向图的概念：若图中的每条边都是没有方向的，用和表示顶点，用(，)表示点之间的边。因此，在有向图中，两条边可分别用<，>与<，>表示，而在无向图中，(，)与(，)只能代表同一条边。在无向图中边是没有方向的，包含无向图的网络我们称之为无向网络(undirected network)。简单图：没有环及多重边的图。无权网络我们还可以给网络图中的边赋予一定的权值或者不赋，如果网络图中的边不含有权值，那该网络就称为无权网络(unweighted networks)。如果给图中的每条边赋予一定的权值，那么我们称该网络为加权网络(weighted networks)。本章研究的网络是无向无权网络，并且作出如下假设：不包括自环和重边(即没有以同一个节点为起点和终点的边，且任意两个节点之间至多只有一条边)。2.1.3图的表示方法(1)邻接矩阵通常要将一个图表达清楚，最好方法是将它描画出来，即用直观的图形来表示。但直观的图形不利于计算机计算，为了对图进行更好的研究，我们需要将图的有关数据输入计算机中，根据图论理论，在存储图的时候常常使用邻接矩阵表示法来实现。图中节点之间的关系用邻接矩阵来表示。若图G=(V，E)包含有n个节点，则此图的邻接矩阵便是一个n阶方阵，该方阵符合下列条件： （1）根据邻接矩阵的定义，我们可以得到有向图的邻接矩阵一般不为对称矩阵（在特殊情况下可能为对称矩阵），而无向图的邻接矩阵是对称的矩阵。我们很容易根据于邻接矩阵来判断任两个节点之间是否存在边，并且根据邻接矩阵，我们很容易求得各个节点的度。对于无向图而言，节点的度由下述方法计算：邻接矩阵中第i行(或列)的值不为0的元素个数，即元素之和的值为节点的度。网络可以用一种带权的连通图表示，基于此，我们只要稍加扩充邻接矩阵的内容，便可用来表示网络。设网络G=(V，E，W)具有n个顶点，编号为l，2，n。描述网络G的带权邻接矩阵为一个n阶方阵A，其元素定义为： （2）为表示节点间的相邻关系，我们需要在计算机中存储一个的邻接矩阵，这样才能用邻接矩阵法来表示图。需个位置来存储有向图的邻接矩阵。任意两个节点和之间是否有长度为m的路径相连，我们可以用邻接矩阵来加以判断。方法很简单，只需验证一下邻接矩阵的第i行和第j列元素是否为0就可以了。(2)邻接链表图的另外一种存储方式除了邻接矩阵表示法外，还有另外一种存储方式，即邻接链表表示法。邻接链表可以这样描述：在图中，建立一个单链表与每个节点相对应，依附于节点的边用第i个单链表中的节点表示(对于有向图是以为尾的弧)。邻接链表中的节点有两种类型：分别为表节点和表头节点，如下所示。表节点adjvexnextarcinfo表头节点damfirstarc其含义为：adjvex指示和节点相邻接的节点的序号；nextarc指示下一个边或者弧的节点；info用于存储和边或弧相关的一些的信息，如权值等；dam存储节点的名或其他有关信息；firstarc指示链表中的第一条边或者弧。对于无向图的邻接链表，顶点的度恰好为第i个邻接链表中表节点的数目。2.2股票网络的描述2.2.1股票网络随着网络技术的不断发展，复杂网络作为一种新技术，被越来越多的行业应用，在股票行业，复杂网络也正已蓬勃的势头崭露头角。股票市场的研究者利用网络知识研究股票的各种特性，以便对股票的下一态势做出评估和预测，这一研究也被越来越多的人关注。股票网络，简单的说，就是把不同种类的股票作为节点，把各种类股票之间的存在的联系看做边而连成的网络。对于股票网络的边的生成，要通过计算两只股票之间的相关系数的大小是否大于规定的阈值而定。通过计算得到的各节点之间的边，有很强的联系性，也能更好的描述股票之间的关系以及相互之间的影响。2.2.2股票网络的原理股票网络是基于复杂网络这一技术引申而来的具体应用，对于股票网络的实现原理或者机制的研究，归根结底，要从复杂网络出发，而统计特性是复杂网络这一新兴技术研究的基础。本篇文章将对其统计特性进行简单的研究，经过学习研究与总结，将复杂网络的研究基础进行归纳。具体分为以下三种特性：第一种特性，平均路径长度，简单理解就是所有路径长度的平均值，这里的路径长度，在网络图中是边的数目，而不是通常理解的距离。第二种特性，聚集系数， 可以理解为网络中各元素的之间的联系的紧密情况，比如说， A城市有直接到B城市的公交，A城市有直接到C城市的公交，那么A城市有可能有直接到C城市的公交，B城市也可能有直接到C城市的公交，在这个例子中，聚集系数就是用来研究 A城市到C城市以及B城市到C城市有直达公交的系数。第三种特性，度，这个就是我们常说的与某个节点直接相连的节点的数目，也可以说成是从这个节点引出的边的数目。在复杂网络的研究中，对于复杂网络的图谱基于的是无向网络图。在实际的网络图研究中，会分为有向和无向两种情况。所以，在这边的本文所说的度，没有出度还是入度之分。 2.2.3平均路径长度在复杂网络图中，路径长度指的是边的数目，而不是具体的距离，比如两个节点i和j，从i出发可以通过很多条路径d(i)到达j，这些路径的长度有长有短，选取其中的长度最短的路径dmin,其中dmin=min(d(i)，则dmin中包含的边的数目就是i和j之间的距离dij。在复杂网络图中，对所有节点之间的距离进行计算，会得到一个最大值dmax，这个最大值dmax被称为网络的直径，记为D，即 （3）在复杂网络中，对所有节点之间的距离进行计算，求这些距离的平均值dave，这个平均值就是平均路径长度，网络的特征路径长度是dave 的另一种说法，在此我们记dave为L，即 （4）其中N为网络中节点的总个数。为了处理的方便，在平均路径长度的上述计算公式中，包含了节点到自身的距离，虽然这个距离为零。如果忽略节点到自身的长度，上述公式就会有偏差，但是在复杂网络的具体实现中，这种偏差是很小的，甚至可以忽略。由a个节点，b条边构成的网络的平均路径长度，可以通过广度优先搜索算法来确定。在城市交通开通关系网中，dave是网络内两个城市之间最短关系链中的经过的城市的平均个数。2.2.4聚集系数在你城市交通网中，B城市和C城市很可能彼此也是交通直达的，这被称为网络的聚类性。在网络图中，对于图中的每一个节点，我们假设有ki条边与之相连接，我们称这ki条边连接的节点为节点i的邻居。根据数学计算N个点，它们之间边的数目的最大值为N(N-1)/2。在研究复杂网络的特性中，我们假设连接N个节点的边的实际数目为M，则定义聚集系数就是M/N的结果，在这儿，我们记节点i的聚集系数为Ci，即如下所示，可以得到Ci的计算公式。 (5)在前面的研究中，本文对复杂网络的另一特性，平均路径长度进行了研究，整个网络图的平均路径长度是各个节点路径长度的平均值，引申到聚集系数，则就是所有节点的聚集系数的平均值，记为Cave，记任一节点的聚集系数为Ci，则Cave=（C1+C2+Ci+Cn）/n。 如图所示，是本文的规范表示，其中，C表示整个复杂网络的聚集系数： (6)根据上面对聚集系数的计算方式，本文将对公式中各参数的取值情况进行全面的分析。第一种情况，网络图中仅仅是一个孤立节点，则C=O；第二种情况，任意两个节点没有通过第三个节点相连，此时C=1，这时候就是全局耦合网络图；还有一种极端情况，就是网络图中包含的无穷多个节点，此时C=O(N-1)；第四种情况就是我们研究的普遍情况了，这种情况是复杂网络实际应用的最常见也是最有实用性的情况，这时候的C，取值在O(N-1)和1之间。2.2.5度分布度是复杂网络中一个重要的概念。网络中节点的度表示为与这个节点相连的边数。如果某个节点的度数很大则表示此节点在股票网络中的地位比较重要。复杂网络中的节点的度数的平均值为平均度，用<k>来表示。 我们用P(k)来表示复杂网络中度的分布，表示网络中节点度数为k的概率。也可表示为节点度数为k的结点个数与总结点数的比值。得到P(k)=frequencc(k)/N。v3v1v2v5v4v7v8v9v6图1 简单网络模型上图是很简单的网络，它有9个节点，它的节点集是V=v1，v2，v3.v9，度分布分别是p(5)=1/9，p(3)=2/9，p(2)=5/9，p(1)=1/9。规则网络的节点的度是相同的，其分布符合Detla分布。ER随机网络中的节点的连接是以概率P相连的，它的分布符合泊松分布。WS小世界网络模型，它的度分布有点相似于ER网络模型，不过如果它的度数很大的时候，WS小世界网络的度分布符合公式，0<a<1。实际的度分布和泊松分布不相符合。生活中大多数的网络符合幂律分布，它存在于生活总的很多方面。符合幂律分布的网络我们把它叫做无标度网络。2.3 复杂网络基本模型2.3.1 ER模型在1959年，Erdos和Renyi提出了ER模型。随机网络中的节点是固定的N，节点之间以概率p相连接，最终可以得到N条边。如果随机网络全连通，则p=1，可以得到总变数为；如果p=0，网络中的节点都是孤立的边数是O；当p处于0-1之间是网络中有条；度的平均值为。随机网络模型首先是由Erdos和Renyi建立的，并且研究了随机网络的度分布，发现当N很大时，p(k)符合泊松；如果这时p接近于0网络中的节点大多是孤立的导致网络的直径L非常大，当p慢慢变大时网络节点之间的联系变的越来越密切，当连接概率p为1时股票网络中的节点L为1。随机网络的聚类系数为，表示连接数它越大，聚类系数C越大；但若系统的节点很多，C反而会变小。随机网络有以下三种性质：(1)较短的平均路径长度；(2)较小的聚类系数；(3) 泊松度分布。2.3.