彩票的优选模型与改进.doc
彩票的优选模型与改进【摘要】本文研究的是彩票的发行方案以及彩民的选购问题，文章用数学建模的方法首先分析了给定形式彩票的合理性，然后用非线性规划方法求出了一种更优的方案，并依据求解结果给彩票管理部门和彩民提出了建议。针对问题一，本文首先运用古典概率求出各种方案各奖项中奖概率值，随后针对三类不同彩民（风险型、保守型、普通型）构造吸引力函数来量化他们对各方案的喜爱程度，一种方案的彩票，若其对彩民的吸引力大，则表明彩民喜欢该类型彩票（即较容易中奖），且彩票管理部门也能实现高销售量，这实际上就是两者的双赢，因此用吸引力作为影响合理度的因素再合适不过。本文得出的吸引力函数是针对不同人群分别计算的，但彩票方案的合理度是面向所有社会彩民而言，因此我们将吸引力函数与各类型彩民所占比例相乘求和，综合考虑各方案对所有彩民的吸引力（即方案合理度），则得到评价各方案合理性的度量值，这个值越大也就说明对应的方案越具有合理性，通过建模计算得到最合理的方案序号为27号（有特殊号码）问题二要求我们设计一种更好的方案，所谓“更好”是指对彩民和彩票管理中心都有益的方案，因此本文同样用合理度函数来度量，通过建立非线性规划模型求出各约束条件下合理度的最大值，将这个值与问题一中得出的最合理方案做比较，若此方案合理度值大于27号，则该方案为所求的更好的方案。至于向彩票管理部门提出建议，我们首先要站在管理部门的角度考虑，他们当然是希望越多人来购买彩票越好，但为了吸引彩民前来购买，彩票中心又必须提供更多福利来引起彩民的注意，因此本文根据问题二求解方案与其他方案的比较，总结出求解结果更合理之处，并以此为例向管理部门提出建议。针对问题三，给报纸写一篇短文供彩民参考，当分析各奖项中奖概率时我们发现，买彩票中奖的概率极低，而且每期开奖相互独立，毫无规律可循。因此如果不是长时间大量买彩票或运气极好的彩民很难中奖，购买越多则损失越多。所以本文从这个角度思考，希望广大彩民合理看待彩票，切不可沉迷。关键词：非线性规划 古典概率 合理度一、 问题重述1 问题的背景“彩票”是指国家为筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展而特许发行、依法销售、自然人自愿购买，并按照特定规则获得中奖机会的凭证。发展到今天，世界上已经有139个国家和地区发行彩票，发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的。各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标。以合法形式、公平原则重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值。目前，彩票的种类随着社会的发展而发展，本文研究的彩票类型主要有两大种类（传统型和乐透型）。通过研究彩票的中奖概率及方案合理性可以帮助我们更好的了解彩票，正确的对待彩票的购买，防止盲目跟风沉迷其中。2 问题的提出以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：现要求我们通过数学建模的方法来解决以下几个问题：1 根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性；2 设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议；3 给报纸写一篇短文，供彩民参考。二、 问题分析问题一要求我们评价各方案的合理性，那么怎样叫做合理？即让彩票管理部门和彩民都满意的方案，因此本文用合理度函数来量化各方案的合理性，从各方案对彩民的吸引力方面考虑，构造一个吸引力函数，其影响因素有一等奖金额、中奖面和低项奖总额。吸引力函数值越大则表明该方案对彩民越有吸引力，彩民购买彩票的目的或是希望中奖，或是为了社会公益事业，但不管基于哪一种目的他们都会买自己认为合理的那一种彩票，因此对彩民来说吸引力影响方案合理性；而对彩票管理部门来说，其目的是售出更多的彩票，集得更多的社会闲置资金，吸引力越大就会有更多彩民前来购买彩票，管理部门也就集资越多，因此吸引力也是彩票管理部门用来衡量方案合理性的值，所以用吸引力函数来量化各方案对彩民的吸引力就能比较出各个方案的合理性。问题二是求解更好的彩票方案，在问题一已经求出最合理方案的前提下，如果能找到一种合理度更大的方案，那么就是更好的方案，因此本文在问题一中已求出的最合理方案基础上进行改进，沿用其吸引力函数与合理度函数构造非线性规划模型，加上一些基本约束求出合理度的最大值，若该值大于目前最合理的方案，则其对应的方案为更好的方案。给彩票管理部门的建议则以吸引更多彩民、创造更多销售额为主，再结合问题结果给出建议。问题三要求我们给报纸写一篇短文，从广大彩民的利益出发，我们并不支持彩民们过度沉迷其中。因此根据模型求解结果，本文将彩票中奖的概率极小性和无规律性呈献给彩民，并建议他们合理看待彩票，将彩票更多的当做是一种娱乐或公益事业，而不应该过分追求中大奖，甚至当做一种人生的事业。三、 基本假设1. “传统型”要求基本号码中奖号连续，如xbcdxf表示与基本号码相符合的是bcd，首尾相连的情况视为不连续，如axxxxf视为无奖；2. “传统型”的抽奖号码可以重复，而“乐透型”不管是“7/33”还是“6+1/36”形式，投注者的抽取号码不允许重复；3. 单注投注金额为两元，总奖金一般为当期销售总额的50，且此比例固定不变；4. 低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元；5. 彩票形式多种多样，在此问题中，我们仅讨论“传统型”、 乐透型（m+1/n）和“乐透型（m/n）”三种；6. 假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同。四、 符号系统符号说明变量取值各奖项中奖概率第种方案第个因素的无量纲指标观测值第种方案第类彩民的吸引力函数三类彩民所占比例第种方案的合理度函数当期总销售注数低项奖总额高项奖单项奖比例一等奖金额五、 各方案合理性的评价模型（问题一）5.1 彩票的类型目前市面上流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种，传统型主要采用10选6+1的方案，而乐透型则有多种方案，如33选7、40选6、29选6+1、36选6+1，为了方便，本文统一分为m/n方案和 m+1/n方案，以下对三种类型的彩票购买和中奖规则进行说明：传统型(6+1/10)：传统型彩票采用10选6+1方案，先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码（可重复），从04中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。乐透型（m/n）：先从1n个号码球中一个一个地摇出m个基本号，再从剩余的个号码球中摇出一个特别号码。投注者从1n个号码中任选m个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。中奖等级如表二（左）。乐透型（m+1/n）：先从1n个号码球中一个一个地摇出m个基本号，再从剩下的个号码球中摇出一个特别号码。从1n个号码中任选m+1个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这种方案的中奖等级如表二（右）。表一（传统型彩票中奖等级）中奖等级10 选 6+1（6+1/10）基本号码 特别号码说 明一等奖abcdef g选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeX Xbcdef选7中（5）四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef选7中（4）五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef选7中（3）六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef选7中（2）表二（乐透型彩票中奖等级）中奖等级n选m(m/n)n选m+1(m+1/n)基本号码 特别号码说 明基本号码 特别号码说 明一等奖选7中（7） 选7中（6+1）二等奖 选7中（6+1）选7中（6）三等奖选7中（6） 选7中（5+1）四等奖 选7中（5+1）选7中（5）五等奖选7中（5） 选7中（4+1）六等奖 选7中（4+1）选7中（4）七等奖选7中（4） 选7中（3+1）5.2 各类型彩票各种奖项的中奖概率计算本文首先用古典概率（通常又叫事前概率）计算出各类型彩票各种奖项的中奖概率，古典概率是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。因此本文运用古典概率来计算奖项概率具有可知性、无需实验性和准确性，即计算出的概率没有误差。1 传统型各奖项概率计算由表一可知，传统型彩票采用10选6+1方案，基本号码和特别号码分开考虑，当6个基本号码和特别号码全部选中时中一等奖；只选中6个基本号码时中二等奖；当基本号码只选中少于6个时将不再考虑特别号码选中与否，按序选中5、4、3、2个连续的基本号码分别中三、四、五、六等奖。以三等奖为例计算概率值：根据古典概率的定义知，各奖项中奖概率计算公式为，由方案规则知传统型的基本号码从09十个号码中选择6个，特别号码从04五个号码中选择1个，因而所有选号方案数等于106乘以5；三等奖中奖状态为选中5个连续的基本号码，中奖的5个号码有两种情况，前面连续5个选中或后面连续5个选中，未选中的1个号码则为除中奖号码外的其余9个数字，由于一等奖之后将不再考虑特别号码是否中奖，因此特别号码仍然有5种选择，最终得到三等奖的中奖概率为.同理可得，传统型各奖项中奖概率计算公式如下： 2 乐透型（m/n）各奖项概率计算由表二知这种类型的彩票基本号码与特别号码不分别考虑，若所选的m个号码全中，则获得一等奖；若m个号码不全中，则前m-1个号码作为基本号码，第m个号码作为特别号码，选中m-1+特别号码获得二等奖；选中m-1个基本号码获得三等奖；以此类推，选中m-2+特别号码、m-2、m-3+特别号码、m-3分别获得四等奖、五等奖、六等奖、七等奖（选中号码与顺序无关）。我们选择33选7的方式讨论，同样以三等奖为例，由于乐透型彩票中奖号码与顺序无关，因此我们以组合的方式计算选号方案数与中奖方案数，从133号码中选择7个号码作为一注，总的选择方案有种，三等奖中奖状态为选择的7个号码中任意的6个号码选中，即中奖情况有，所以三等奖的中奖概率计算式为.将形式推广到n选m时各奖项概率计算公式为： 3 乐透型（m+1/n）各奖项概率计算该种类型的彩票选号方式与传统型类似，基本号码与特殊号码分别考虑，若m个基本号码与一个特别号码都选中，则中一等奖；若只选中m个基本号码则获得二等奖；相应的，选中m-1+特别号码中三等奖，未选中特别号码则中四等奖；选中m-2+特别号码中五等奖，未选中特别号码则获得六等奖；最后，若只选中m-3个基本号码加特别号码则获得七等奖。该类型彩票我们以36选6+1的方式讨论，投注者从136个号码中选择7个号码，其中6个号码作为基本号，1个作为特别号码，因而总的选号方案数有种，三等奖中奖状态为选中5个任意的基本号码，并且选中特别号码，则中奖方案数为种，这样就得到三等奖的中奖概率计算式为.同样推广到n选m+1的形式时各种奖项概率计算公式如下： 通过以上计算公式得到各种类型彩票各奖项中奖概率值见附件（表1）。5.3 对彩民的分类“彩民”指购买彩票的每一个人，彩民购买彩票不仅能为社会公益事业做出贡献，也能得到一定的个人利益，因此彩民的队伍也越来越壮大，根据彩民对购买彩票获得利益大小的不同追求，我们将彩民分为三类集中人群：风险型：为一些有野心、力争上游与地位意识很重的人，他们想干大事业。这种人买彩票时中奖欲望极高，因此他们买彩票通常希望中大奖，这就导致此类彩民在选择彩票方案时比较偏爱一等奖金额高的彩票方案，一等奖金额越高对他们的吸引力越大，即影响彩票方案对风险型彩民吸引力的因素为一等奖金额数。保守型：为一些传统的、怀旧的与不愿尝试的人，他们宁可迎合现状而不愿改变现状。他们是彩票市场最大的潜在市场人群，他们会时断时续地购买彩票，中奖欲望不是很高且较容易满足，即使中最低等奖他们也会很高兴。因此该人群会整体考虑彩票方案的中奖面（总的中奖概率），只要是中奖面大的方案都在他们的选择之中。普通型：为介于以上两种类型之间的人群，这类人群不仅希望中奖且抱有中大奖的期望，因此他们会综合考虑一等奖金额和中奖面两个因素。5.4 各奖项奖金额的无量纲化处理在计算各方案的合理度之前，由于一些影响因素往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些因素之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难。所以我们需要对数据进行无量纲化处理（也称数据标准化），如果不对这些影响因素作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出现“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。当确定影响对彩民的吸引力因素时，我们发现大多数人并不关注二、三等奖的中奖概率和金额，因为对想中高项奖的人群来说，都存在一种挑战心理，既然要中高项奖就不如中一等奖，而对于保守的人群，他们的愿望仅仅只是能中奖，至于高项奖还是低项奖对他们来说影响并不大，甚至有些彩民买彩票的次数极少，他们并不抱有一夜暴富的期望，买彩票仅仅只是娱乐，能中低项奖也会让他们很满足。因此，我们将影响吸引力的因素确定为一等奖金额、中奖面和低项奖总额。在某次彩票发行的过程中，我们假设当期销售总额为5000万，则根据题中所给公式：，可计算出各高项奖的奖金额；各低项奖的奖金额计算公式为：，计算结果见附表2计算出所有奖项的奖金额后，我们开始对奖金额进行无量纲化处理，本文采用极值差方法对数据进行无量纲化，假设需要量化的值为，则对量化的公式为：<1>其中，这样就使，利用这个公式量化影响吸引力的三个因素：<2>最终得到标准化后的指标观测值，结果如附表3所示。5.5 各方案合理度的计算1 吸引力函数1) 由彩民分类可知，风险型彩民偏重于一等奖奖金额，则他们对各方案一等奖奖金额的无量纲指标观测值的期望值更高，对中奖面指标观测值和低项奖总额指标观测值的期望相对较低，由数据的无量纲化处理，我们得到各奖项奖金额与中奖概率都是01之间的数，因此为了减小与对吸引力函数的影响，文章在构造函数时将这两者相乘，使他们的乘积为一个足够小的数，以达到减小这两个因素对函数影响力的效果。最终得到风险型彩民的吸引力函数如下，函数值最大，即最具吸引力的方案为27号：<3>2) 保守型彩民则对中奖面的指标观测值的期望较高，即我们要减小与对吸引力函数的影响力，由此得到保守型彩民吸引力函数表达式如下，吸引力最大的方案序号为23：<4>3) 对于普通型彩民，三个影响因素都在他们的考虑范围之类，此类彩民的吸引力函数为，对该类彩民最具吸引力的方案序号为24号：<5>该函数表达式没有偏重于任何一个影响因素，因为每个因素对该类彩民的吸引力都同样大，因此，当考虑单个因素的影响时，将另两个因素极小化，最后再综合到一起得到上述普通型彩民的吸引力函数，乘以系数1/3是为了使函数的取值范围与前两个函数统一。2 合理度函数对于三种类型的彩民，根据经济景气监测中心的数据可知，目前在所有彩民中风险型彩民、保守型彩民、普通型彩民所占比例各为37%、32%、31%，用表示，则、，各种方案的合理度为对各类型彩民的吸引力函数与各类型彩民所占比例乘积之和，即：<6>由上述函数模型，我们求出各方案的合理度，用合理度大小来评价该方案的合理性。5.6 结果分析方案1到方案4为传统型(6+1/10)彩票，由计算结果可知：这四种方案对风险型、保守型和普通型这三种不同类型的彩民得吸引度都成正增长，所以在传统型(6+1/10)彩票中，方案4对整体彩民的吸引力更大，显然彩票的销售总额取决于对彩票方案对彩民的吸引力，吸引力越大，彩票公司将获得更大的利润，从而方案四能使得彩民和公司获得双赢，方案更加合理。通过对四种方案的比较可知：一等奖单注奖金更高，低项奖总概率越大，奖项设置越完全，越有利于对方案的合理度。方案6、24、25为乐透型（m+1/n）彩票，由计算结果可知：方案6对各类彩民的吸引力较方案24、25低的50%左右，显然合理度更低，其主要原因为一等奖单注奖金更低。方案24与25相比，合理度略高1.57%，通过专业软件对比分析可知主要原因是奖项设置更为完全。方案23为乐透无特别号型（m+1/n）彩票，由计算结果可知：此方案对普通型、保守彩民有着极高的吸引力，由于其方案极宽的中获面也使得整体吸引力及合理度较高。由此方案可知中奖面对方案的吸引力、合理度有着较大的印象。除去上述八种方案，其余21类方案均为乐透型（m/n）彩票，由计算结果通过专业软件进行数据统计和图形（见图1）分析可知：方案10、22、26、27更为合理。主要原因为：一等奖单注奖金较高，中奖面处于中间水平，奖项设置较为完全。图1 乐透型彩票吸引力图2 各方案合理度针对所有方案，各类型彩民对所有方案的吸引度及合理度见附表4,其相对变化规律见图2，通过综合分析可知：各种类型的彩票方案中都包含较为合理的方案。统计得到方案4、10、22、23、24、26、27较为合理。六、 改进的合理度非线性规划模型（问题二）本题要求设计一种更好的彩票发行方案，由问题一的结果知，27号方案为有特别号码时的最合理方案，为使该题求解的结果具有一般性，我们将27号方案作为最合理方案，只要找到一种方案的合理度大于27号，那么该方案就是优于它的彩票发行方案。因此我们建立一个非线性规划模型来寻找这样一种方案，模型建立过程如下：1 约束条件与目标函数概率约束：由表三可知高项奖中一等奖、二等奖、三等奖所占比例之和为1，因此可得约束条件：<7>一等奖金额约束：对于每种方案的一等奖金额，题目中要求单注保底金额为60万元，封顶金额500万元，因此有约束：<8>吸引力与合理度约束：由模型一中求得的吸引力函数与合理度函数作为模型二的约束条件，定性要求所求方案之吸引力与合理度与现有最佳结果的计算方法相同。目标函数：本题的最终目标是求得一种优于27号的方案，因此，目标函数为求合理度的最大值，即：.2 模型建立与求解由以上分析，建立非线性规划模型如下：求得合理度为0.488958，该结果大于方案27的合理度值0.447266，因此这种方案即为我们所求的更好的方案，该方案的奖项和奖金额设置为：一等奖比例为80%、二等奖比例9%、三等奖比例11%、四等奖金额为1000元、五等奖金额50元、六等奖金额20元、七等奖金额5元。3 给彩票管理部门的建议根据模型求解结果与其他方案的比较，我们得出一些结论，并给彩票管理部门提出以下几点建议：（1） 在高项奖中增加一等奖所占比例，对于三种类型的彩民而言，一等奖金额对风险型彩民的吸引力最大，而这类彩民在购买彩票时野心勃勃，总想中大奖。因此他们往往会在一次购买中买多注号码，他们是彩民中的主力军，只要提高一等奖金额，吸引了这类人群购买彩票，那么当期销售总额定会有所增加。（2） 增加奖项设置，当奖项等级数增加时中奖面也随之增大，这就意味着购买此类型彩票更容易中奖，这对保守型的彩民吸引力极大。七、 给彩民的建议近几年来，彩票已风靡全球，但对于大多数彩民来说，他们对彩票的了解并不深刻。首先就彩票中奖概率来说，一般彩民只知道其总的中奖概率，但对具体各奖项的中奖概率并不了解，我们从问题一计算的概率值可以得出，如果平均每天买100注号码，则需要1000年的时间才会中头奖，由此可看出中彩票头奖的概率是微乎其微的。其次就彩票设置的奖项金额来说，髙项奖数额是非常诱人的，但低项奖数额却无法吸引住彩民的眼球，于是彩民为了追求高项奖就陷入了无尽的彩票生涯中。可见买彩票对大多数彩民而言，投资越大，损失越大，所以把彩票作为一种投资获利的手段是不明智的。对于社会上的选号预测等更是荒谬，按概率理论，任何一期的号码都是独立的，与历史号码完全无关。因而用预测号码是没有多大意义的，正如一个著名数学教授所说:"彩票的号码是随机产生的，是不可预测的,如果可以预测,那就是有人作弊!"既然彩票中奖的概率如此之低，且不可预测，那彩民们为什么还如此热衷于买彩票呢，其中的一点原因是他们能在获得巨额奖金的可能性中得道消遣和娱乐。虽然个体中奖概率小，但参与的人多中大奖是必然发生的。也就有了一不小心成为百万富翁的传奇故事，这大概就是每个彩民心中的目标吧。因此，我们买彩票时要时刻怀着一种平和心态，知道彩票对社会的公益作用，中与不中都为公共事业出一分力，当你知道自己购买彩票的行为能使需要的人得到帮助，这又何尝不是一种心灵上的满足呢？八、 模型的评价本文将彩民划分为风险型、保守型和普通型三种类型，并将各种方案针对不同类型的彩民进行了吸引度的量化，具有极强的针对性。同时又根据检测中心的数据做了各方案对整体彩民的合理度分析，又保证了模型的统一性。对于彩票各方案的合理度，本文利用一个非线性函数进行评价，通过对数据的处理以一组具体的数值作为影响合理度的因子，极大程度减少了主观因素的影响，因此我们的评价结果是比较客观、准确、科学的结果。本文对各种数据及其结果做了详尽的分析，并利用相应的分析结果及其算法，综合考虑彩民和彩票中心双方面的利益，设计上文所述方案。方案在大量数据的基础上得到，合理可靠，对整体彩民都有较大的吸引力。本文的模型是在固定销售点的基础上对数据进行处理之后建立的，并没有考虑销售量及其销售规则的影响，忽略了不同方案对销售注数的影响。本文在采用非线性函数对各方案的合理度进行评价时，对奖项和奖金设置因素直接由低奖项总额进行量化，并不十分精确，我们可进一步低奖项总额进行分化，重新量化，建立更为准确的模型。九、 参考文献1 茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计M等教育出版社，2010.2 姜启源，谢金星，叶峻,数学模型M，北京：高等教育出版社，2006.3 于秀林，任雪松，多元统计分析M，北京：中国统计出版社,1999.4 国家统计局中国景气监测中心：
