数值分析典型习题汇总.doc

题型一:有效数字1,确定的首位数字x1,要使的近似值x*的相对误差不超过0.5×10-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)2，要使的相对误差不超过0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010)3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在0，2内的近似根x*.(2010-2011)2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f(0)=3, f(1)=7;(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H3(x);(2) ,x-1,1, 确定用H3(x)代替f(x)的误差界（已知|f(4)(x)|M4，x-1,1).(2010-2011)3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010)4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f(1)=3, f(3)=9;(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2) 计算f(1.6)的近似值；若M4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f(4)(x)|M4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)xi-1023f(xi)-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f(1)=1, f(2)=9,(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2) ,计算f(1.8)的近似值：若M4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f(4)(x)|M4).(2007-2008)8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f(2)=5, f(3)=8,(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2) ,计算f(2.5)的近似值：若M4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f(4)(x)|M4).(2006-2007）9,已知f(x)的如下函数值表xi0.10.20.30.4f(xi)1.122.652.811.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006)10,已知f(x)=sinx的如下函数值表xi1.01.52.0sinxi0.84150.99750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L2(x);(2) ,若同时已知：f(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H3(x)；(3) ,当时，x不取节点，求的上界.(2011-2012)题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：x-2-1012y01210用二次多项式y=C0+C1X+C2X2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）2,求在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去权函数(x)=x).(2009-2010)3,通过实验获得以下数据：xi0123yi13610请用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式.(2008-2009)4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式,有下列公式：其中：(1) ,求0,1上首项系数为1的正交多项式（权函数(x)=1),g0(x),g1(x),g2(x)(2) ,以上述正交多项式为基，求sinx在区间0,1上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)5,以正交多项式为基，求函数在区间0,1上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数(x)=x,(2011-2012)6,通过实验获得以下数据：ui01916vi11/21/31/4请用最小二乘法求形如的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)题型四：代数精确度1,确定参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)2,确定参数A1，A2，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010)3,建立高斯型求积公式.(2009-2010)4,确定求积公式中的参数A,B,C，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B)5,确定求积公式的代数精确度.(2006-2007B)6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度.(2004-2005)8,已知h>0，建立高斯型求积公式：.(2011-2012)题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)2,设定积分，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？（2009-2010）3,给定积分，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（注：）(2008-2009B)4,给定积分，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008）5，给定积分，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（已知：）（2006-2007）6,用积分计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）7，用积分计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005）8,对于定积分，当M2=1/8,M4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I的截断误差为Rsf,用n个节点的复化梯形求积公式求I的截断误差为RTf,要使RTfRsf，n至少是多少？（M2=max|f”(x)|,M4=max|f(4)(x)|,).(2011-2012)题型六：Doolittle分解及方程组求解1,求矩阵的Doolittle分解.(2010-2011)2,求矩阵的Doolittle分解.(2009-2010)3,设线性方程组(1) ,对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2) ,用所得的Doolittle分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)4,设线性方程组(1),对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2),用所得的Doolittle分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组：(1) ,对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2) ,利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：.(2010-2011)7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:.(2009-2010)题型七：条件数及范数1,求线性方程组的系数矩阵A的条件数cond1(A),并说明其含义.（2010-2011）2,设矩阵，求cond(A).（2009-2010）3,设三阶对称矩阵A的特征值分别为：-2,1,3，求|A|2及cond2(A).(2007-2008)4,若n元线性方程组Ax=b为病态的，可以得到关于系数矩阵A的什么性质.(2006-2007)5,若,求cond1(A).（2005-2006）求cond(A).(2004-2005)6,设,求.(2007-2008)7,若,求谱半径.(2005-2006)题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1，写出求解方程组的雅可比迭代公式，并说明其收敛性.(2010-2011)2，设有方程组：，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)3,写出求解方程组：的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组：(1) ,证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛；(2) ,取，用雅可比迭代法进行求解，要求.(2007-2008)7,设线性方程组:(1) ,写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性；(2) ,取，用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b的系数矩阵，其中t<0，问t取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)9,1),设线性方程组：写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；2) ,设线性方程组：写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组：(1) ,用三角分解法解此方程组；(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x0=(0,0,0)T,当时，求其解.(2011-2012)11,设，求.(2007-2008)12,若.(2004-2005)题型九：非线性迭代1,设计一个算法求的值.(2008-2009B)2,给出用牛顿法求的近似值的迭代公式，并确定初值的取值范围.(2010-2011)3,给出用牛顿法求近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答：方法同上.4,设(x)=x+c(x2-5),当c为何值时，xk+1=(xk)，(k=0,1,2)产生的序列xk收敛于；又c为何值时收敛最快？(2010-2011)5,设，应如何选取常数c才能使迭代具有局部收敛性？C取何值时，这个迭代收敛最快？取x0=2,计算的不动点，要求当时结束迭代.(2004-2005)6,方程x3-3x-1=0在x=2附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2009-2010)7,已知方程有一个两重根,请以初值x0=1.5,用m重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求.(2008-2009B)(P204例7.7）8,(1),已知方程在0.6附近有一根x，迭代法是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2) ,取x0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x5.(3) ,给出牛顿法求的近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2007-2008)9,给定方程x2+x-2=0,采用迭代公式xk+1=xk+c(xk2+xk-2),(k=0,1,2)求其根，问当c为何值时，迭代法收敛？又当c为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)10,给定方程，(1) ,构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）；(2) ,构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)11,方程x3-x2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)12,(1),已知方程在0.09附近有一根x,迭代法是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由；(2) ,取x0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x5；(3) ,用牛顿法求的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)13,设方程x3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间1.5,2.5内有唯一根x*;2),确定迭代函数(x).当初始值x0在何区间取值时，迭代公式xk+1=(xk),(k=0,1,2)收敛到x*,并说明理由.3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值x0在何区间取值时，牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)题型十:稳定算法1,对给定的x，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算式：（1），x很大；（2），|x|很小.(2010-2011)2,为了提高计算精度，当正数x很大时，计算时应转化成什么形式.（2005-2006）3,给出计算积分的递推稳定算法和初值.(2010-2011)4,设计一种求（n为非负整数）稳定的递推算法，包括递推公式，初值的确定；当初值时，利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6g(n)(n+1)22n+32g(n+1)(n+2)22n+52g(n+2)(n+3)22n+7g(n+3)(n+4)2g(n+4)函数g(n)的三阶差分是与n无关的非零常数，故g(n)是n的三次多项式：2,证明：n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)3,若是关于互异节点的拉格朗日插值基函数组，函数，证明：f(x)x.（2009-2010）4,证明：，其中h=x1-x0,.(2009-2010)5,证明：关于互异节点的拉格朗日插值基函数满足恒等式.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)6,证明求积公式的截断误差：.(2007-2008)7,设矩阵A为可逆上三角阵，证明A-1仍为上三角阵，并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设xk=a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续，证明：.(2011-2012)