对数与对数函数知识点与题型归纳.doc

高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a>0，且a1)备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理名师一号P27注意：知识点一 对数及对数的运算性质1.对数的概念 一般地，对于指数式abN，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即blogaN(a>0，且a1)其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”注意：(补充)关注定义-指对互化的依据2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaNN；logaaNN (a>0，且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·logcdlogad.注意：(补充)特殊结论:知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） a>1 0<a<1图象2.反函数 指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称(补充)设yf(x)存在反函数，并记作yf1(x)， 1) 函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图象关于直线对称 2) 如果点P(x0，y0)在函数yf(x)的图象上， 则必有f1(y0)x0 ， 反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域 3) 函数yf(x)与其反函数yf1(x)的单调性相同二、例题分析：（一）对数式的运算例1.(1)名师一号P27 对点自测1 (2013·陕西文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()Alogab·logcblogcaBlogab·logcalogcbCloga(bc)logab·logacDloga(bc)logablogac解析由对数的运算性质：loga(bc)logablogac，可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，logab·logcblogca?·?lg2blg2a，此式不恒成立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，logab·logca·logcb，故恒成立答案B例1.(2) (补充) 计算下列各式的值(1) (2) 温故知新P22 第8题(3) 答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质 多练名师一号P28 高频考点 例1【规律方法】在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式例2.(1)名师一号P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a2，lgxa，则x_.解析4a2，alog42.由lgx， 得x10.例2.（2）名师一号P28 高频考点 例1(1)若xlog43，则(2x2x)2等于()A.B.C.D.解析:由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)22.注意：指数与对数的互化abN?b (a>0，a1，N>0)练习:(补充)已知求答案: 例3.名师一号P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A5B3C1D.因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为log3<0，所以f3131213.所以f(f(1)f235.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域 (1)y. (2)ylog(x1)(164x)解析：(1)由函数定义知： 即<x1.故原函数的定义域是x|<x1(2)由函数有意义知即1<x<2，且x0.故原函数的定义域为x|1<x<0，或0<x<2练习：已知集合 求实数a的取值范围解析：设f(x)x2axa，则ylog2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，a24a<04<a<0，即a的范围为(4,0)例2.名师一号P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)log2·log (2x)的最小值为_解析根据对数运算性质，f(x)log2·log (2x)log2x·2log2(2x)log2x(1log2x)(log2x)2log2x2，当x时，函数取得最小值.注意：换元后“新元”的取值范围练习：1、求下列函数的值域（1）ylog(x22x4) 答案1，)（2）f(x)logx3log2x22解析令tlog2x，x21t1.函数化为yt26t2(t3)271t1.当t1，即x时，ymax9.当t1，即x2时，ymin3，函数的值域为3,9.2、已知集合 求实数a的取值范围分析当且仅当f(x)x2axa的值能够取遍一切正实数时，ylog2(x2axa)的值域才为R.而当<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)正解要使函数ylog2(x2axa)的值域为R，应使f(x)x2axa能取遍一切正数，要使f(x)x2axa能取遍一切正实数，应有a24a0，a0或a4，所求a的取值范围为(，40，)例3. （1）名师一号P27 对点自测4已知a0且a1，则函数yloga(x2 015)2的图象恒过定点_解析令x2 0151，即x2 014时，y2，故其图象恒过定点(2 014,2)练习: 无论a取何正数(a1)，函数恒过定点 【答案】注意：对数函数图象都经过定点(1, 0) 例3. （2） (补充)如右下图是对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 ()Aa>b>1>c>d Bb>a>1>d>cC1>a>b>c>d Da>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y1，分别与、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充) 两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x1右侧的部分是“底大图低”.利用，图象都经过点，作直线， 则该直线与图象的交点的横坐标即为底数。例3.（3）名师一号P28 高频考点 例2(1)(2014·福建卷)若函数ylogax(a>0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案： B.例4.名师一号P28 高频考点 例3已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析:(1)f(1)1，log4(a5)1，因此a54，a1.这时f(x)log4(x22x3)由x22x3>0得1<x<3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.练习：温故知新P32 第5题三、比较大小例1.名师一号P29 特色专题 典例，则()Aa>b>c Bb>a>c Ca>c>b Dc>a>b【规范解答】方法1：在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x的图象，如图所示由图象知：log23.4>log3>log43.6.方法2：log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x为增函数，故a>c>b.注意：名师一号P28 问题探究 问题3比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习:1、若0<x<y<1，则()A3y<3x Blogx3<logy3Clog4x<log4y D. x<y解析：0<x<y<1，由y3u为增函数知3x<3y，排除A；log3u在(0,1)内单调递增，log3x<log3y<0，logx3>logy3，B错由ylog4u为增函数知log4x<log4y，C正确由yu为减函数知x>y，排除D.答案：C2、对于0<a<1，给出下列四个不等式loga(1a)<loga(1)；loga(1a)>loga(1)；a1a<a；a1a>a.其中成立的是()A与 B与C与 D与答案：D 解析：由于0<a<1?a<?1a<1，loga(1a)>loga(1)，a1a>a.选D.四、对数方程与不等式例1.(1)(补充)方程log3(x210)1log3x的解是_答案x5解析原方程化为log3(x210)log3(3x)，由于log3x在(0，)上严格单增，则x2103x，解之得x15，x22.要使log3x有意义，应有x>0，x5.注意： 依据对数函数恒单调求解。例1.(2) 温故知新P32 第9题 已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是 练习：温故知新P31 第5、6题 温故知新P29 第10题例2.（1） (补充)已知0<a<1，loga(1x)<logax则()A0<x<1 Bx< C0<x< D.x<1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数ylogax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析：0<a<1时，ylogax为减函数，原不等式化为，解得0<x<.例2.(2)(补充)设0<a<1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)<0的x取值范围是()A(，0) B(0，)C(，loga3) D(loga3，)解析：0<a<1loga(a2x2ax2)<0即a2x2ax2>1a2x2ax3>0ax>3或ax<1(舍)x<loga3，故选C.注意： 关于含对数式(或指数式)的不等式求解， 一般都是用单调性或换元法求解例2.（3）名师一号P28 高频考点 例2(2)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)解析：由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logax，即当0<x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，42，即函数y4x的图象过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需<a<1(如图所示)当a>1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案： B.练习:当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_。xy012y1=(x-1)2y2=logaxP (2,1)分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，, 观察图象得：只需即可。故，取值范围是。变式: 名师一号P28 变式思考2(2)不等式logax>(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()A， B， )C(1， D(1, 解析:不等式logax>(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解为2,3,4，则应满足得a<.答案:B五、反函数的概念例1. (补充)已知函数f(x)2x1(x0)，记f(x)的反函数为f1(x)，那么f1()()A. B4 C. D2分析：利用函数f(x)及其反函数f1(x)的关系求解解析：设f1()a，则f(a)，2a1，a2.注意：如果点(a，b)在反函数yf1(x)的图象上，则点(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称例2. (补充)函数ylg(x1)的反函数的图象为()解析：函数ylg(x1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.练习：如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“世博点”的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析指数函数与同底的对数函数的图象关于直线yx对称，故若它们有交点，则交点一定在直线yx上，而M(1,1)不适合题意，故只有点Q满足题意计时双基练P226 培优第1题六、指数、对数函数的综合问题第11周周练第13题设,则当与两个函数图像有且只有一个公共点时, 答案:-1第11周周练第10题课后作业一、 计时双基练P225基础1-9课本P28 变式思考1、2、3；二、 计时双基练P226基础10、11；培优1-4课本P29对应训练1、2预习 第二章 第五节 幂函数与二次函数补充练习1:已知函数的值域为，则的范围是（ ）A. B. C. D. 答案:D练习2: 已知方程9x2·3x3k10有两个实数解，试求实数k的取值范围解析令t3x，则t>0.原方程有两个实数解，即方程t22t3k10有两个正实数解，则，解得<k. 练习3:对任意的恒成立，求的范围.解： 由题意即对任意的恒成立 即对任意的恒成立练习4:已知函数的定义域为，（1）求 （2）当 时，求 的最小值.解 (1)(2) =,，, ，若，即时，=， 若，即时，所以当即时，=练习：1、不等式x2logax<0在x(0，)时恒成立，则a的取值范围是()A0<a<1B.a<1Ca>1 D0<a解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数yx2与ylogax的图象与性质，因此可在同一坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标系中画出yx2，x(0，)与ylogax的图象，由图象易得即a<1.故选B.