导数的概念与导数运算考点及题型全归纳.doc

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1导数的概念一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .f(x)与f(x0)的区别与联系f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，所以f(x0)0.2导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线是指以P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线.3函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数4导数的运算(1)几种常见函数的导数(C)0(C为常数)；(xn)nxn1(nQ*)；(sin x)cos_x；(cos x)sin_x；(ex)ex；(ax)axln_a(a>0，a1)；(ln x)；(logax)(a>0，a1)(2)导数的四则运算法则u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)熟记以下结论：(1)；(2)(f(x)0)；(3)af(x)±bg(x)af(x)±bg(x)；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数典例求下列函数的导数(1)yln x；(2)y(2x1)·ex；(3)y；(4)yxsincos.解(1)y(ln x).(2)y(2x1)·ex(2x1)·ex(2x1)·(ex)2ex(2x1)·ex(2x3)·ex.(3)xx，y(x)(x)xx.(4)yxsincosxsin x，y1cos x.题组训练1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()AeB1C1 De解析：选B由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).所以f(1)2f(1)1，则f(1)1.2求下列函数的导数(1)ycos xsin x；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y.解：(1)y(cos x)(sin x)sin xcos x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y.考法(一)求曲线的切线方程典例(2018·全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.答案D解题技法若已知曲线yf(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)·(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过点P(x1，f(x1)的切线方程yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程考法(二)求切点坐标典例曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.答案C解题技法求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标考法(三)求参数的值(范围) 典例函数f(x)ln xax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)ln xax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解，而f(x)a，即a2在(0，)上有解，a2在(0，)上有解，因为x>0，所以2<2，所以a的取值范围是(，2)答案(，2)解题技法1利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围2求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上 题组训练1.曲线yex在点A处的切线与直线xy30平行，则点A的坐标为()A(1，e1) B(0,1)C(1，e) D(0,2)解析：选Byex，令ex1，得x0.当x0时，y1，点A的坐标为(0,1)2.设曲线ya(x1)ln x在点(1,0)处的切线方程为y2x2，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dya(x1)ln x，ya，y|x1a1.又曲线在点(1,0)处的切线方程为y2x2，a12，解得a3.3.已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选B因为点(0，1)不在曲线yf(x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)又因为f(x)1ln x，所以解得所以切点坐标为(1,0)，所以f(1)1ln 11，所以直线l的方程为yx1，即xy10.A级1设f(x)xex的导函数为f(x)，则f(1)的值为()AeBe1C2e De2解析：选C由题意知f(x)xex，所以f(x)exxex，所以f(1)ee2e.2曲线ysin xex在x0处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10 D3xy10解析：选Cycos xex，当x0时，y2.又当x0时，y1，所求切线方程为y12x，即2xy10.3设f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0等于()Ae2 B1Cln 2 De解析：选Bf(x)2 019ln x12 020ln x，由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，则ln x00，解得x01.4已知函数f(x)aln xbx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线xy10垂直，则a的值为()A1 B1C3 D3解析：选D由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)1，即aln 1b×121，解得b1，所以f(x)aln xx2，故f(x)2x.则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率kf(1)a2，因为切线与直线xy10垂直，所以a21，即a3.5(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()A. B1C2 De解析：选B由题意知yaex1，令aex12，则a>0，xln a，代入曲线方程得y1ln a，所以切线方程为y(1ln a)2(xln a)，即y2xln a12x1a1.6设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)解析：选D因为f(x)3x22ax，所以f(x0)3x2ax01.又因为切点P的坐标为(x0，x0)，所以xaxx0.联立两式得解得或所以点P的坐标为(1,1)或(1，1)7已知直线yx1是函数f(x)·ex图象的切线，则实数a_.解析：设切点为(x0，y0)，则f(x0)·e1，ea，又·ex01，x02，ae2.答案：e28(2019·安徽名校联考)已知函数f(x)ax的图象在点(1，f(1)处的切线斜率是1，则此切线方程是_解析：因为f(x)a，所以f(1)2a1，所以a3，所以f(x)3x，所以f(1)5，则所求切线的方程为y5x1，即xy40.答案：xy409设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a_.解析：因为y，所以y1，由条件知1，所以a1.答案：110若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析：由yx2ln x，得y2x(x0)，设点P0(x0，y0)是曲线yx2ln x上到直线yx2的距离最小的点，则y|xx02x01，解得x01或x0(舍去)点P0的坐标为(1,1)所求的最小距离为.答案：11求下列函数的导数(1)y(1)；(2)yx·tan x；(3)y.解：(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y(x·tan x)xtan xx(tan x)tan xx·tan xx·tan x.(3)y.12已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小时的切点为，斜率k1，切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范围为.B级1.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1B0C2 D4解析：选B由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线yf(x)在x3处的切线的斜率为，即f(3)，又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，所以g(3)13×0.2已知曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则a的值为_解析：由f(x)x3ax，得f(x)3x2a，f(0)a，f(0)，曲线yf(x)在x0处的切线方程为yax.设直线yax与曲线g(x)ln x相切于点(x0，ln x0)，g(x)，将代入得ln x0，x0e，ae.答案：e3已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.