导数与函数的单调性练习题.doc

导数练习（三）导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=在区间（-2，+）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ）<a< <-1或a> > >-22已知函数f(x)x22xalnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba<4 Ca0或a4 Da>0或a<43函数f(x)x的单调区间为_4 函数的单调增区间为 ，单调减区间为_ 5确定下列函数的单调区间:(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx36函数yln(x2x2)的单调递减区间为_7已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的范围为_8.已知xR,求证：exx+19已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函数，求b的取值范围;12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+）上是增函数，试确定实数a的取值范围.13已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。15已知函数f(x)，求导函数f (x)，并确定f(x)的单调区间强化提高题：16设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当a<x<b时，有()Af(x)g(b)>f(b)g(x) Bf(x)g(a)>f(a)g(x) Cf(x)g(x)>f(b)g(b) Df(x)g(x)>f(b)g(a)17若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_18已知函数f(x)axlnx，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，实数a的取值范围为_.19函数yx2ex的单调递增区间是_20 若在增函数，则的关系式为是_ 21若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_22.定义在R上的奇函数f(x)在-a,-b(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=f(x)2在b,a上的单调性并证明你的结论.23设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性24若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围25.设函数f(x)=x+(a>0).(1)求函数在（0，+）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在a-2,+上递增，求a的取值范围.26已知函数yax与y在(0，)上都是减函数，试确定函数yax3bx25的单调区间27 设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）证明在（0，+）上是增函数。28求证：方程xsinx0只有一个根x0.29已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问：是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数.课外延伸题：30方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根31若函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_32.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：对于任意的x0，1，总有f(x)0;f(1)=1;若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值.33.已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为m,n)且1m<n2.(1)讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：对任意x1、x2m,n,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.高考链接题：34(2009·广东文，8)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)35(2010·新课标全国文)设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围36.（2009江西）设函数（1） 求函数的单调区间；（2） 若，求不等式的解集;'导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=在区间（-2，+）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ）<a< <-1或a> > >-2答案：C 解析：f(x)=a+在(-2,+)递增，1-2a<0,即a>.2已知函数f(x)x22xalnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba<4 Ca0或a4 Da>0或a<4答案：C解析：f(x)2x2，f(x)在(0,1)上单调， f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立，即2x22xa0或2x22xa0在(0,1)上恒成立， 所以a(2x22x)或a(2x22x)在(0,1)上恒成立记g(x)(2x22x),0<x<1，可知4<g(x)<0， a0或a4，故选C.3函数f(x)x的单调区间为_答案：(3,0)，(0,3) 解析：f(x)1，令f(x)<0，解得3<x<0或0<x<3，故单调减区间为(3,0)和(0,3)4 函数的单调增区间为 ，单调减区间为_ 答案： ； 解析： 5确定下列函数的单调区间:(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是(，1)和(1，+)6函数yln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1) 解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f(x)2x1<0，得x<，函数yln(x2x2)的单调减区间为(，1)7已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的范围为_答案b<1或b>2 解析若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，1b2，由题意b1或b2.8.已知xR,求证：exx+1证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1当x=0时，f（x）=0,f（x）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数f（x）f（0）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=09已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11·x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间;是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1. y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)10已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间解：（）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以 由在M(-1,f(-1)处的切线方程是， 知故所求的解析式是 （） 解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函数，求b的取值范围;解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-，+）上是增函数，则0.即3x2-x+b0,bx-3x2在（-，+）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,b.12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+）上是增函数，试确定实数a的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax=3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+）上满足0即可. =3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,a的取值应满足：或解得:a.a的取值范围是a.13已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。解：（1）由的图象经过P（0，2），知，所以， 由在点M（）处的切线方程为 即 解得故所求的解析式是（2） 令，解得当或时，当时，故在内是增函数，在内是减函数在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力15已知函数f(x)，求导函数f (x)，并确定f(x)的单调区间解析：f (x)令f (x)0，得xb1且x1.当b11，即b2时，f (x)的变化情况如下表：x(，b1)b1(b1,1)(1，)f (x)0当b11，即b2时，f (x)的变化情况如下表：x(，1)(1，b1)b1(b1，)f (x)0所以，当b2时，函数f(x)在(，b1)上单调递减，在(b1,1)上单调递增，在(1，)上单调递减当b2时，函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，b1)上单调递增，在(b1，)上单调递减当b11，即b2时，f(x)，所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递减强化提高题：16设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当a<x<b时，有()Af(x)g(b)>f(b)g(x) Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(x)>f(b)g(b) Df(x)g(x)>f(b)g(a)答案：C解析：令yf(x)·g(x)，则yf(x)·g(x)f(x)·g(x)，由于f(x)g(x)f(x)g(x)<0，所以y在R上单调递减，又x<b，故f(x)g(x)>f(b)g(b)17若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_答案3，)解析y3x22ax，由题意知3x22ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，a3.18已知函数f(x)axlnx，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，实数a的取值范围为_答案a1解析由已知a在区间(1，)内恒成立设g(x)，则g(x)0(x1)，g(x)在区间(1，)内单调递减，g(x)g(1)， g(1)1， 1在区间(1，)内恒成立， a1.19函数yx2ex的单调递增区间是_答案：(0,2)解析：y(2xx2)ex00x2，故选填(0,2)20 若在增函数，则的关系式为是_ 答案： 解析： 恒成立，则21若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_答案：b>0 解析： y=4x2+b，若y值有正、有负，则b>022.定义在R上的奇函数f(x)在-a,-b(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=f(x)2在b,a上的单调性并证明你的结论.解析：设bx1<x2a,则-b-x1>-x2-a.f(x)在-a,-b上是减函数,0<f(-b)f(-x1)<f(-x2)f(-a),f(x)是奇函数,0<-f(x1)<-f(x2)，则f(x2)<f(x1)<0,f(x1)2<f(x2)2,即F(x1)<F(x2).F(x)在b,a上为增函数.23设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)求导得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1，11)，所以f(1)11，f(1)12，即，解得a1，b3.(2)由a1，b3 得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)>0，解得x<1或x>3；又令f(x)<0，解得1<x<3.所以当x(，1)时，f(x)是增函数；当x(3，)时，f(x)也是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数24若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围解：，令得或，当时，当时，25.设函数f(x)=x+(a>0).(1)求函数在（0，+）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在a-2,+上递增，求a的取值范围.解析：（1）f(x)在(0,+)上的增区间为,+，减区间为（0，）.证明：f(x)=1-,当x,+时，f(x)>0,当x（0，）时，f(x)<0.即f(x)在+上单调递增，在（0，）上单调递减.（或者用定义证）（2）a-2,+为，+的子区间，所以a-2a-20(+1)( -2)0-20a4.26已知函数yax与y在(0，)上都是减函数，试确定函数yax3bx25的单调区间解析：可先由函数yax与y的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定yax3bx25的单调区间解函数yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0.由yax3bx25得y3ax22bx.令y0，得3ax22bx0，x0.当x时，函数为增函数令y0，即3ax22bx0，x，或x0.在，(0，)上时，函数为减函数27 设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）证明在（0，+）上是增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即即，所以对一切恒成立由于不恒为0，所以，即，又因为，所以（2）证明：由，得当时，有，此时 ，所以在（0，+）内是增函数28求证：方程xsinx0只有一个根x0.证明设f(x)xsinx，x(，)，则f(x)1cosx0，f(x)在(，)上是单调递增函数而当x0时，f(x)0，方程xsinx0有唯一的根x0.29已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问：是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数.解：(1)由题意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2)x函数(x)在(,1)上是减函数，当x1时，(x)0即4x3+2(2)x0对于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函数(x)在(1,0)上是增函数当1x0时，(x)0即4x2+2(2)x0对于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故当=4时，(x)在(,1)上是减函数，在(1,0)上是增函数，即满足条件的存在.课外延伸题：30方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根答案：1 解析设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）<0恒成立f（x）在（0，1）上单调递减f（x）的图象与x轴最多有一个交点因此方程x33x+c=0在0，1）上至多有一实根31若函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案：2<a<2 解析：f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.f(x)在(，1)和(1，)上递增，在(1,1)上递减，2<a<2.32.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：对于任意的x0，1，总有f(x)0;f(1)=1;若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于条件，令x1=x2=0得f(0)0，又由条件知f(0)0，故f(0)=0.(2)设0x1<x21,则x2-x1(0,1)，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0.即f(x2)f(x1),故f(x)在0，1上是单调递增，从而f(x)的最大值是f(1)=1.33.已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为m,n)且1m<n2.(1)讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：对任意x1、x2m,n,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.（1）解析：解法一：f(x)=(-1)2+(-1)2=+2,f(x)=·(x4-m2n2-mx3+m2nx)=(x2-mx+mn)(x+)(x-).1mx<n2,>0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+>0.令f(x)=0,得x=，当xm,时，f(x)<0;当x，n时，f(x)>0.f(x)在m,内为减函数，在，n）为内增函数.解法二：由题设可得f(x)=（-1）2-+1.令t=.1m<n2,且xm,n,t=2,>2.令t=0,得x=.当xm,t<0;当x(,n)时，t>0.t=在m,内是减函数，在，n内是增函数.函数y=(t-1)2-+1在1，+上是增函数，函数f(x)在m, 内是减函数，在，n内是增函数.（2）证明：由（1）可知，f(x)在m,n上的最小值为f()=2(-1)2,最大值为f(m)=(-1)2.对任意x1、x2m,n,|f(x1)-f(x2)|(-1)2-2(-1)2=()2-4·+4-1.令u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.1m<n2,1<2,即1<u.h(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u-)(u+)>0,h(u)在(1,)上是增函数.h(u)h()=4-8+4-1=4-5<1.不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.高考链接题：34(2009·广东文，8)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)答案D 解析考查导数的简单应用f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)>0，解得x>2，故选D.35(2010·新课标全国文)设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解析(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)>0；当x(1,0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x)在(，1，0，)上单调递增，在1,0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.当a>1，则当x(0，lna)时，g(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(，136.（2009江西）设函数（3） 求函数的单调区间；（4） 若，求不等式的解集解： (1) , 由,得 因为 当时,； 当时,； 当时,；所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .(2) 由 ,得：.故：当 时, 解集是：；当 时，解集是： ；当 时, 解集是：