《指数函数与对数函数》第10课时 函数的零点与方程的解.docx

4.5,1函数的零点与方程的解池州一中祖向阳一、内容和内容解析1 .内容函数的零点与方程的解2 .内容解析函数的零点是高中新教材人教A版必修1第三章3.1.1的内容.在上一章中学了几种基本初等函数，f（x）的零点是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使得函数值为。的x；从方程的角度看，即为相应方程f（x）=O的实数根；从函数的图像的角度看，函数的零点就是函数的图像与X轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度将函数与方程，数与形有机地联系在一起，体现的是函数知识的应用.学习函数零点的存在性定理可为二次函数实根的分布问题打下基础，并为下一节内容二分法求方程近似解提供理论支持.因此本节课是本章的重点内容,有着承上启下的作用.教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用.在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程的思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.3 .教学重点函数零点的两种理解，如何探究函数零点存在定理.二、目标和目标解析1 .目标（1）理解函数零点存在定理，能初步运用函数零点存在定理及推论判断具体函数是否存在零点及零点个数.（2）经历由需殊到一般、由直观到抽象的数学思维过程，体会数形结合、化归与转化的思想，提升数学抽象、直观想象和逻辑推理素养.2 .目标解析达成上述目标的标志是：（1）能结合二次函数了解函数零点的概念，理解方程的根、函数的零点、函数图象与X轴的交点三者之间的关系.（2）能通过数形结合、函数与方程的思想方法理解函数零点存在定理，了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件.（3）能结合例题运用用函数零点存在定理及其推论判断具体函数的零点个数.三、教学问题诊断分析1 .问题诊断函数的零点是中学数学的一个重要概念.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点.它为下面二分法、不等式、导数等内容的学习奠定了坚实的理论基础.本节课从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起.体现数形结合、转化与化归、函数与方程、特殊到一般的数学思想方法.学生在初中已经学习了函数与方程，并会对函数与方程进行转化，而学习函数时，初中重点讲解的就是二次函数及其图像，学生也具备了一定的通过图象去研究函数性质的能力，这些都为学生理解函数的零点提供了知识储备.问题是课堂教学的灵魂，本节课采用“提出问题一一引导探究一一得出结论一一实际应用”的教学模式让学生亲历知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主学习和探究的基础上.让他们在学习探索过程中体会怎样发现问题，分析问题，解决问题。同时提升学生归纳总结能力和语言组织能力，达到传授知识与培养能力融为一-体.2 .教学难点如何理解函数零点存在定理中的三个关键词：“连续不断”、和“至少有一个”四、单元教学条件支持分析研究函数的零点问题的一种主要的思想方法就是数形结合，探究途径是特殊到一般，在教学过程中需要利用GeoGebra,Excel,图形计算器等统计软件来处理数据，画出函数图像.五、教学过程设计环节一问题情景，双重引入问题1:对于一元二次方程我们可以利用求根公式来求解，那么对于一元三次方程我们又该如何求解呢？比如方程3Y+x-1=0的解，求根公式吗？甚至对于超越方程ln%+2x-6=0的解的情况我们又该如何考虑呢？实际上，在人类历史的发展中，方程求解问题经历了一段相当漫长的时期，公元9世纪，阿拉伯数学家给出了一元一次和一元二次方程的一般解法（求根公式），16世纪，意大利的两位数学家相继地给出了一元三次和一元四次方程的一般解法（求根公式），在而后的200年时间内数学家们继续探寻着更高次方程的求根公式，但都没有成功，此时，法国数学大师拉格朗日打破现状，提出猜想：一元五次以及以上的高次方程没有根式解（没有求根公式），这给数学家们指明了探究方向，在接下来的IOO年内，数学家们相继地给出了其猜想的证明.这就是数学大师的风范！敢于挑战，勇于创新.师生活动：教师结合PPT的演示,介绍人类历史中方程求解问题的研究历程，学生从中熏陶人类的探究的艰辛与困难，体会数学文化.【设计意图】先由熟悉的一元二次引出三次方程的求解问题，进而高次方程，甚至超越方程的一般解法，从而引出高次方程的数学文化背景问题.环节二函数思想，零点理解问题2：显然,超越方程没有求根公式，那么我们又该如何考虑方程lnx+2x-6=0的解的情况呢？（板书：4.5.1函数的零点与方程的解）在前面的学习中，我们已经学习过用二次函数的观点来认识一元二次方程，类似的，我们也可以用函数的思想来认识方程InX+2x-6=0的解.也就是说我们可以利用函数图象的形来认识方程的解这一数的特点.（右板书：研究思想：数学结合）为了研究方便，我们再类比一元二次函数零点的定义，给出一般函数零点的定义：对于函数y=（）,我们把使/（X）=O的实数X叫做函数y=（）的零点.（左板书：方程的根o函数的零点o函数图象与X轴交点的横坐标）那么基于函数零点的这两种理解，函数零点的数与形之间到底存在着怎样的内在联系呢？下面我们一起来探究这一问题.为了便于研究，我们选取一个特殊的函数模型为载体，不妨以一次(二)次函数为例(右板书：研究途径：有特殊到一般)师生活动：引导学生会用函数的思想认识方程；师生共同指出函数零点的两种理解：一个是从数的角度去理解，一个是从形的角度去理解，从而指明研究的对象都是函数零点，只不过是两种形态而已.【设计意图】由函数零点的数的特点(方程的解)与函数零点的形的特点(函数图象与X轴交点的横坐标)引出数与形的内在联系，环节三探究定理理解定理对于二次函数/(x)=-2x-3,观察它的图象：探究1:F(X)在零点X=T处附近的图象有什么特点？师生活动：(预设如下)同学L图象自上而下穿过X轴追问：这是形的方向特点，反应到数的方向的特点又该怎么表述呢？同学1：函数值由正变负追问：很好，进而引入数学符号语言：在零点的左侧和右侧分别引入数。和数匕，则有：同学1：f(a)>O,f(b)<O.追问：刚才的探究是从形的方向到数的方向得到的一个结论，那么反过来，从数的方向端点的函数值由正变负/()>O,0)<O,能否得到函数图象的形的特点呢？也就是自上而下穿过X轴呢？同学们：对于二次函数而言成立追问：二次函数的图象是连续不断的同学们：端点的函数值由正变负，在函数连续不断的前提下，等价于函数图象自上而下穿过X轴.【设计意图】由特殊的函数模型探寻自上而下穿过X轴形的特点与端点的函数值由正变负数的特点的内在联系，为后续探究函数零点存在定理做好铺垫.探究2：/(x)在零点x=3处附近的图象有什么特点？师生活动：(预设如下)同学们：图象自下而上穿过X轴追问：同样的，反应到数的方向的特点，如何表述？同学们：函数值由负变正追问：类似的，引入数学符号语言：同学们：在零点的左侧和右侧分别引入数。和数匕，则有f()<O,0)>O.追问：反过来成立吗？同学们：成立.追问：端点的函数值由负变正，在函数连续不断的前提下，等价于函数图象自下而上穿过X轴.合二为一，上述两个结论如何表述？同学们：端点的函数值异号/(4)0)<O,在函数连续不断的前提下，等价于函数图象穿过X轴.【设计意图】类比之下，考虑另一种形与数的特点，为后续探究函数零点存在定理做好铺垫.探究3：如果函数)，=(x)在区间a,。上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)<O,尝试画出函数/(x)在区间卜上的可能图象.师生活动：学生自主探究尝试作尽可能多的图，教师PPT展示成果.从作图的情况，师生共同得出归纳处结论：函数y=f()在区间(内至少有一个零点.教师给出所得结论的完整表述(函数零点存在定理)：如果函数y=/(x)在区间卜上的图象是一条连续不断的曲线，且/()0)<O,那么，函数y=(x)在区间(a,b)内至少有一个零点.(左板书：函数零点存在定理)追问1：在函数零点存在定理中，其关键词有咖些？师生活动：学生回答：有“连续不断”、与“至少有一个”如何理解这些关键词呢？下面我们一个个来击破：追问2：首先来看第一个关键词“连续不断”，如果函数图象在区间LU内不是一条“连续不断”的曲线，函数y=(x)在区间(,b)内还有没有根呢？师生活动：(预设如下)学生2：可能没有！教师：为什么呢？你能描述一下函数/(x)在区间卜上的可能图象.学生2：口头描述，教师PPT演示教师：追问：是否存在函数图象在区间L,司内不是一条“连续不断”的曲线，但是函数y=(x)在区间(。力)内还是有根的情况呢？学生2：继续口头描述，教师PPT辅助演示教师：函数凡。在区间L内不连续二函数/在区间(。力)内不一定有零占、追问3：接着来看第二个关键词“f(a)/0)<O"，如果函数图象在区间IU内是一条“连续不断”的曲线，且f()0)>O,函数y=(x)在区间(4内还有没有根呢？(预设如下)学生3：可能没有！教师：为什么呢？你能描述一下函数f(x)在区间卜上的可能图象.学生3：口头描述，然后叫学生上黑板画图(右侧画图)教师：追问：是否存在函数图象在区间a,。内是一条“连续不断”的曲线,且f(a)f(b)>0,但是函数y=/(x)在区间(。力)内还是有根的情况呢？学生3：口头描述，然后再叫该生上黑板画图(右侧画图)教师：函数f(x)在区间LU内连续，且/()0)>O=函数/(x)在区间(。内可能有零点.归纳：若函数F(X)在区间内连续不断的前提下，/()0)<O=函数f(x)在区间(。,口内有零点.反之不成立.(左板书：函数零点存在定理是探寻函数有零点的充分性)追问4：接着来看第三个关键词“至少有一个”.请问函数在区间(。g)内到底有几个零点呢？(预设如下)学生们：有回答1个、3个等等教师：PPT展示探究定理的时同学们的所画的函数图象，确实有1个、3个的情况.追问：有没有2个的情况呢？学生4：口头回答有，并请该同学上黑板画图(右侧画图)教师：教师PPT展示同样的效果图(但是要跟学生的作图刚好反过来图象).借此追问：这两个幅图中(学生所做的图中的根与教师PPT中所展示的根)，各自对应的这类零点，在形的角度上有怎样的特点呢？学生们：没有穿过X轴.教师：我们来看前两幅图，在形的角度上来看是穿过X轴的，我们称之为“穿根”的零点；而在后两幅图中，发现这类零点在形的角度上来看没有穿过X轴，我们就称之为“不穿根”的零点.此外，在后两幅图中，除了有“不穿根”的零点以外，还有“穿根”的零点.教师追问：这是从形的篇度得到的零点的差异(“穿”与“不穿”)，转化到数的角度零点的差异该如何表述呢？学生们：“穿根”O“异号根”；“不穿根”O“同号根”.师生归纳：显然，根据上面图象的分析，在零点存在定理的两个前提条件下,也就是函数在区间LU内连续，且f()F0)<O这两个限制条件下，若有且仅有一个零点，该零点为“穿根”零点；若有且仅有两个零点，这两个零点恰好有一个是“穿根”零点，恰好有一个是“不穿根”零点.课后思考：若有且仅有三个零点，这三个零点的差异情况是怎样的？【设计意图】引导学生发现定理的关键词，教师再帮助学生一个个击破关键词的理解,从条件中的两个关键词出发,发现定理中“连续不断”和“f(a)f(b)<O,f缺一不可，进而还了发现函数零点存在定理是探寻函数有零点的一个充分条件，而非充要条件；从结论中的一个关键词出发，发现“至少有一个零点”中各种情况都有可能会出现，同时还辨别出“穿根”(“异号根”)零点与“不穿根”(“同号根”)零点的差异.帮助学生抓住重点信息问题的能力.环节四应用定理应用推论利用函数零点存在定理，重新考虑方程lnx+2x-6=0的解的情况.师生活动：借助信息技术工具不难得函数/(»=111工+2工-6在(2,3)内只有一个零点.追问1：函数/(6=批工+2尸6在(2,3)内有几个零点呢？追问2：函数f(x)=lnx+2x-6在(0,2)U(3,yo)内有零点吗？师生活动：学生不难发现函数/(x)=lnx+2x-6在定义域范围内单调增，可得答案.师生归纳：函数零点存在定理的推论：如果函数y=/(x)在区间卜力上的图象是一条连续不断的单调曲线，且f(a)f(b)<Ot那么，函数y=f(x)在区间(内有且仅有一个零点.(左板书：推论)追问3：在连续和f()0)<O的前提下，单调必有唯一零点，有唯一零点单调吗？师生活动：学生们回答，教师PPT在此展示.【设计意图】由具体的例题分析处函数零点存在定理的一个推论，再结合同学们的作图情况，得其推论是探寻有唯一零点的一个充分条件，而非充要条件.帮助学生发现和分析问题的能力，提升逻辑素养.例L求函数/(只=2/+工-3的零点的个数.师生活动：学生们回答，教师PPT在此展示.例2.求函数/(x)=2XIn(X-2)-3的零点的个数.师生活动：(预设如下)学生们：计算/(3)=T<O,A4)=812-3>0,可得函数/(x)=2xln(x-2)-3在区间(3,4)内至少有一个零点.教师：能否判断具体的零点个数呢？学生们：就函数f(x)现有的状态无法断定！教师：无法断定的原因是什么？学生们：函数模型不清楚！教师：但函数/(x)=2Xln(X-2)-3中确实是含有一次函数模型和对数型函数模型的，那我们应该要考虑一下变形了！怎样变形呢？学生们：将这两个函数模型分开处理教师：考虑到/(x)=2Xln(X-2)-3的零点就是方程2xln(x-2)-3=0的根，变形一下得：2ln(x-2)-3=0.变形后，该方程中含有那些函数模型了？X学生们：对数型函数模型和反比例函数模型.教师：这两个函数模型的单调性如何？学生们：在定义域内都是单调递增的.教师：令g(x)=21n(x-2)-°,显然函数且(工)=210(入一2)-3在(2,+00)内单调XX递增，再结合g(3)=T<0,g=21n2-±>0得g(x)=21n(x-2)-±有唯一零点.4X教师：另外，再变形后的方程21n(x-2)-3=0中继续移项得方程X21n(x-2)=-,这样移项变形的目的是什么？X学生们：将对数型函数模型和反比例函数模型分开处理教师：在同一个直角坐标系中，再画出这两个函数模型对应的函数图象，不难从形的方向去体会图象确实只有一个交点，即方程有唯一根，即函数/(x)有唯一零点.归纳：显然方法二是从形的角度去体会函数零点的个数的，而方法一则是从数的角度定量计确定函数零点的个数的.两个方法各自的侧重点不尽相同！各有优势，同学们在做题时，应该要做到灵活应用，切换自如！【设计意图】为推论的应用举例说明，把握好函数模型的状态，为代数变形打好基础；此外，也为函数/(x)与g(x)图象有公共点O方程7-g(X)=O有根O函数y=/(x)-g(x)有零打好基础，也是函数零点的两种理解的升级版，当然了，这里不展开说明，具体化处理，让学生慢慢过渡到抽象化上来.培养学生数与形双角度看待问题的能力.环节五课堂小结概括归纳方程的根数二次函数零点函数零点函数与X轴交点的横坐标如果函数y= (x)在区间。回上的 图象是一条连续不断的曲线，且/()(Z>)<O,那么，函数y = () 爆区间(。 内至?有一个零点.零点存在定理且/U)单调零点存在定理的推论【设计意图】了解本节课的探究过程和思路，以及思想方法，帮助学生有序思考，提升发现和分析问题的能力.环节六课后作业检验效果改编例2：求函数/(x)=2XIn(X-2)-3的零点的个数.变式1：判断函数/(x)=2XIn(X+2)-3的零点的个数，并尝试证明.变式2：判断函数/(x)=2XIn(X-2)+3的零点的个数，并尝试证明.【设计意图】巩固本节课的学习内容，采取的是在例2的基础上改编变式而来，让学生体会这样改编的用意是什么？为什么可以这样改编？以达到一个培养学生平时独立思考，尝试自行改编试题，看透题目本质的想法.