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专升本高等数学讲义,函数、极限与连续,一,1、函数,函数的概念（1）定义：（2）三要素：定义域、对应法则、值域（3）表示方法：图像法、表格法、公式法函数的性质（1）奇偶性：偶；奇（2）有界性：（3）周期性：（4）单调性：判断 的符号反函数：复合函数初等函数：常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数,2、极限,极限的概念（1）（2）极限的四则运算两个重要极限（1）（2）,2、极限,无穷小与无穷大（1）定义：倒数关系（2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小 无穷小乘以有界函数是无穷小（3）无穷小的比较：同阶、等价、高阶（4）等价无穷小的替换：当 时,3、连续性,连续的定义：间断点及其分类（1）第一类间断点：左右极限都存在的间断点，包括可去间断点（左右极限相等）、跳跃间断点（左右极限不相等）（2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点、振荡间断点等。闭区间上连续函数的性质（1）最值定理（2）介值定理（3）零点定理（方程根的存在性定理）：若 在 上连续，且 则至少存在一个，使得。（是方程 的一个根）,4、典型例题,例1：求 的定义域。例2：设，求 的定义域。例3：设，求。例4：设，求。例5：求 的奇偶性。例6：设 是以3为周期的奇函数，且，求。例7：若，求。,4、典型例题,例8：求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例9：若，求。,4、典型例题,例10：设，求 使 在 连续。例11：求下列函数的间断点并判断间断点的类型。（1）（2）例12：证明方程 在区间 上有唯一实根。例13：设 在 上连续，证明：至少存在一点，使得。,一元函数的微分学,二,1、导数,导数的概念（1）定义：（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解）（2）左、右导数：（3）几何意义：曲线 过点 的切线方程：法线方程：,1、导数,导数的计算（1）基本求导公式（熟记）（2）四则运算法则：（3）复合函数链式求导法则（4）隐函数求导法（5）参数方程求导法：（6）对数求导法：幂指函数，连乘、除高阶导数：,2、微分,微分的概念（1）定义：若 在点 处的增量可表示成，则称 在点 处可微，微分记作：（2）可微与可导的关系：可微 可导 连续 有极限 微分的计算（1）（2）,3、应用,中值定理（1）罗尔定理：若 满足：在 连续；可导；则至少存在一点，使得。（2）拉格朗日中值定理：洛必达法则（1）型（2）型（3）型，型，型，型，型（化成 型或 型）,3、应用,导数的应用（1）单调性：根据 符号（2）极值和最值（3）凹凸性：根据 符号（4）拐点（5）渐近线：水平渐近线 铅直渐近线（6）经济应用：边际和弹性问题微分的应用（1）近似值公式：（2）泰勒公式：,4、典型例题,例1：设（1）求a,b,使 在 处连续（2）求a,b，使 在 处可导例2：求曲线 在点 处的切线和法线方程。例3：过点 作曲线 的切线，求切线方程。例4：若 是可导的偶函数，证明：是奇函数。例5：设，求。例6：设，求。,4、典型例题,例7：设，求。例8：求 的微分。例9：求 的导数。例10：设函数 在 上连续，在 可导，且，证明至少存 在一点，使得。例11：求下列极限（1）（2）,4、典型例题,（3）（4）（5）例12：求 的单调性与极值。例13：证明：当 时，。例14：求 的凹凸区间与拐点。例15：求 的渐近线。例16：求 的近似值。,一元函数的积分学,三,1、不定积分,原函数：若 是 的一个原函数。不定积分的概念：的全体原函数，不定积分记作：不定积分的性质（导数和积分互逆）（1）（2）基本积分公式（熟记）不定积分的积分方法（1）直接积分法（加项减项、拆项、三角恒等变形等）如：,1、不定积分,（2）第一换元积分法（凑微分法）（3）第二换元积分法（根式代换，三角换元）如：令 令，其中 是 的最小公倍数 令 令 令（4）分部积分法（按照对、反、幂、三、指选择u）,2、定积分,定积分的概念（1）定义：，为常数。其中：（2）几何意义：曲边梯形的面积定积分的性质（1）（2）若，则,2、定积分,变限积分（1）变上限积分的概念：是关于上限 的函数。（2）变限积分求导定理：,2、定积分,牛顿-莱布尼茨定理设 在区间 上连续，是它的任一个原函数，则定积分的积分方法（1）直接积分法（2）换元积分法（换元必换限）（3）分部积分法：反常（广义）积分定积分的应用（1）求平面图形的面积（2）求旋转体的体积,3、典型例题,例题1：已知 的一个原函数为，求。例题2：求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）,3、典型例题,（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）,3、典型例题,（19）例3：求下列定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）,3、典型例题,例4：设 是连续的奇函数，且证明：是偶函数。例5：设 连续，且，令，证明：（1）（2）在 内有唯一的根。例6：设 是连续函数，且，求。若改成：呢？例7：求极限。,3、典型例题,例8：求 的极值。例9：设，求。例10：求由抛物线 与直线 围成的图形面积。例11：求由抛物线、直线 及 轴围成的平面图形分别绕 轴、轴旋转所得立体的体积。,常微分方程,四,1、微分方程的基本概念,微分方程的定义含有未知函数的导数（或微分）的方程。形如：微分方程的分类（按照阶、线性性）微分方程的解若把函数 代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则称该函数为该微分方程的解。解的分类（1）通解若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解。（2）特解与初始条件初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件。如：等。特解：满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。,2、一阶微分方程,可分离变量的微分方程（1）定义：形如 的微分方程。（2）解法：分离变量，得，两边积分。一阶线性微分方程（1）定义：形如 的微分方程。（2）解法：常数变易法 公式法：,3、二阶常系数线性微分方程,二阶线性微分方程解的结构（1）齐次线性微分方程解的叠加原理若 和 是齐次方程 的两个解，则 也是该方程的解；且当 和 线性无关时，就是方程的通解。（2）非齐次线性微分方程解的叠加原理 若 是非齐次方程 的一个特解，是该方程所对应的齐次方程 的通解，则 就是该非齐次方程的通解。（3）非齐次线性微分方程解的分离定理若 是 的解，是 的解，则 是非齐次方程 的解。,3、二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性齐次微分方程（1）定义：形如 的微分方程。（2）解法,3、二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程（1）定义：形如 的方程。（2）解法：对应齐次方程的通解 加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的通解，即：（3）特解的形式,4、高阶微分方程,型降阶法方程左右两端连续积分n次，可得到一个含有n个任意常数的通解。型降阶法（方程中不显含）设 化成，为一阶微分方程，可解出；再积分一次，可得到原方程的通解。,5、典型例题,例1：求下列微分方程的通解（1）（2）（3）（用常数变易法和公式法）（4）（5）（6）（7）,5、典型例题,（8）（9）（10）（11）（12）（13）例2：下列非齐次方程应如何设特解（1）（2）（3）（4）,5、典型例题,（5）（6）例3：求 满足 的特解。例4：已知可导函数 满足，求。例5：求过点 且切线斜率处处为 的曲线方程。,向量代数与空间解析几何,五,1、空间直角坐标系,坐标轴在空间，使三条数轴互相垂直相交于一点，这三条数轴分别称为（横）、（纵）轴、（竖）轴，三条坐标轴成右手系。坐标平面每两轴所确定的平面称为坐标平面，如 面，面，面。坐标空间中的一点 与一组有序数 一一对应，有序数组 称为点 的坐标，分别为横坐标，纵坐标，竖坐标。卦限坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，其中第一卦限的坐标全正。空间两点的距离空间两点 之间的距离：,2、向量,向量的基本概念（1）向量：既有大小，又有方向的量称为向量，用有向线段 或 表示。（2）模：向量的大小或有向线段的长度称为向量的模，记作：或。（3）单位向量：模为1的向量，记作。（4）零向量：模为0的向量，方向任意，记作：。（5）自由向量：在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。向量的坐标表示（1）以原点 为始点，为终点的向量：（2）模：（3）方向余弦：向量与 轴，轴，轴的正向夹角分别为，则 且。,2、向量,向量的运算设，则（1）加、减法：（2）数乘：（3）数量积：，是常数。其中：（4）向量积：，是向量。其中：以 为邻边的平行四边形的面积；方向：既垂直于，又垂直于，且 依次成右手系。,2、向量,向量的关系（1）垂直：（2）平行：（若，则约定）（3）两向量的夹角：（4）向量 在向量 上的投影：（5）与 同向的单位向量：（6）与 平行的单位向量：,3、平面和直线,平面方程（1）点法式方程：过点，且垂直于向量 的平面：，称为法线向量。（2）一般式方程：以 为法向量的平面：。（3）截距式方程：，分别为平面在 轴上的截距。（4）点 到平面 的距离：,3、平面和直线,空间直线方程（1）点向式（标准式）方程：过点，且平行于向量的直线：，称为方向向量。（2）一般式方程：两张不平行平面的交线表示的直线：，其中方向向量为。（3）参数式方程：，其中 为参数。,3、平面和直线,平面、直线的位置关系（1）平面和平面的夹角：其中：（2）直线和直线的夹角：其中：（3）平面和直线的夹角：其中：落在 内 且 既在 上，又在 内。,4、二次曲面,5、典型例题,例1：已知空间中的三点，求：（1）在 轴上的投影以及在 轴上的分向量；（2）的方向余弦；（3）与 同向的单位向量；（4）；（5）；（6）在 上的投影；,5、典型例题,（7）；（8）以 为顶点的三角形的面积；（9）与 和 都垂直的单位向量；（10）通过三点 的平面方程。例2：求下列平面方程（1）过点，且平行于平面；（2）平行于 轴，且过点；,5、典型例题,（3）过点，且垂直于直线；（4）过点 和直线。例3：求下列空间直线方程（1）过点 和；（2）过点 且与直线 和 都垂直；,5、典型例题,（3）过点，且与直线 垂直相交。例4：设，求。例5：求两平行平面 和 之间的距离。例6：判断平面 和直线 的位置关系。,多元函数的微积分,六,1、多元函数的基本概念,多元函数的定义（二元函数），其中：定义域 是个平面点集，通常要写成集合的形式，如：满足的条件 二元函数的极限 表明点 沿任何路径（方式）趋向于点 时，均无限接近于常数。二元函数的连续性，二元函数可能有间断线。,2、多元函数的微分学,偏导数（1）偏导数的定义：（对于分段函数在分段点处的偏导数要用偏导数的定义来求解）（2）多元复合函数的链式求导法则（3）多元隐函数的求导法则：设方程 确定了隐函数，则隐函数 的偏导数：,2、多元函数的微分学,（4）二阶偏导数全微分（1）全微分的定义：偏导数存在（2）可微的条件：偏导数连续 可微 连续 有极限（3）全微分的求法：,2、多元函数的微分学,多元函数的极值（1）极值存在的必要条件：设 在点 处取得极值，且该点的偏导数存在，则。称使 同时成立的点 为 的驻点。（2）极值存在的充分条件：设 的一、二阶可导，且点 是驻点。设，则：当 时，点 是极值点。且当 时，点 是极大值点；当 时，点 是极小值点。当 时，点 不是极值点。当 时，点 可能是极值点也可能不是极值点。,2、多元函数的微分学,条件极值（1）定义：求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值。（2）拉格朗日乘数法：求函数 在满足约束条件 下的条件极值，步骤如下：构造拉格朗日函数，其中 为拉格朗日乘数。求 的驻点，即方程组 的解，则驻点 有可能是极值点。在实际问题中，若驻点唯一，则该点就是最值点。,3、多元函数的积分学,二重积分的定义 其中：为积分区域，为面积元素。在直角坐标系下计算时；在极坐标系下计算时。二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积 二重积分的性质（1）（2）其中：。,3、多元函数的积分学,二重积分在直角坐标下的计算（1）X-型积分区域若则（2）Y-型积分区域若则,3、多元函数的积分学,二重积分在极坐标下的计算（1）极点在积分区域外若则（2）极点在积分区域边界上若则,3、多元函数的积分学,（3）极点在积分区域内若则（4）适用范围：积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域，或被积函数为、形式，利用极坐标计算二重积分更简便。交换积分次序（1）画出积分区域的形状，按照新的次序确定积分区域的积分限，写出结果；（2）交换二次积分次序有时需要合并积分区域，有时需要分割积分区域。,4、典型例题,例1：求下列函数的定义域并画出定义域的图形（1）（2）例2：已知，求。例3：求极限。例4：求下列函数的偏导数（1）在点 处（2）例5：求 的二阶偏导数。,4、典型例题,例6：求下列函数的全微分（1）在点 处（2）（3）确定的隐函数例7：设，其中 有连续的偏导数，证明：。例8：求 的极值。例9：要造一个体积为 的有盖长方体水箱，水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？,4、典型例题,例10：求下列二重积分（1）（2）（3）由 围成（4）由 围成（5）围成的第一象限内的区域（6）求半球体 在圆柱 内那部分的体积,4、典型例题,（7）例11：交换积分次序（1）（2）,无穷级数,七,1、数项级数,数项级数的基本概念（1）定义：称为常数项级数，为通项。（2）部分和：前n项和 称为部分和。若 存在，称 收敛于；若 不存在，称 发散。数项级数的性质（级数收敛的必要条件）若 收敛，则；若，则 发散。,1、数项级数,正项级数（1）定义：若（不全为零），则称 为正项级数。（2）比较判别法设 和 都是正项级数，且，则若 收敛，则 收敛；若 发散，则 发散。（3）比较判别法的极限形式设 和 都是正项级数，且（的常数），则两个级数具有相同的敛散性。,1、数项级数,（4）比值判别法设 是正项级数，且，则若，则级数收敛；若，则级数发散；若，则级数可能收敛，也可能发散。任意项级数（1）定义：若 为任意实数，则称 为任意项级数。若，则称 为交错级数。,1、数项级数,（2）莱布尼茨判别法若交错级数 满足条件：；，则该级数收敛。（3）绝对收敛和条件收敛设 为任意项级数，则若 收敛，则 绝对收敛；若 发散，而 收敛，则 条件收敛。,1、数项级数,几个重要级数（1）等比（几何）级数：当 时，级数收敛于；当 时，级数发散。（2）P-级数：当 时，级数收敛；当 时，级数发散。特别地，当 时，为调和级数，是发散的。（3）莱布尼茨级数：是收敛的。,2、幂级数,函数项级数的基本概念（1）定义：称为函数项级数，为通项。（2）收敛点和收敛域：当 时，得到的常数项级数 收敛，则称是函数项级数 的一个收敛点；所有收敛点组成的集合称为收敛域。（3）发散点和发散域：当 时，得到的常数项级数 发散，则称是函数项级数 的一个发散点；所有发散点组成的集合称为发散域。（4）和函数：对于收敛域内的任意一个，函数项级数都有一个确定的和称 为函数项级数的和函数，即。,2、幂级数,幂级数的定义形如 的函数项级数称为 的幂级数，其中 为幂级数的第 项系数。特别地，当 时，称为 的幂级数。幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域若幂级数 的系数满足，则（1）收敛半径为，收敛区间为；（2）把 代回幂级数中，判断常数项级数的敛散性后，可得到收敛域。,2、幂级数,和函数的性质：设，则（1）（逐项求导公式）（2）（逐项积分公式）泰勒展开式 称为 在 处的泰勒展开式。麦克劳林展开式 称为 的麦克劳林展开式。,2、幂级数,常用初等函数的麦克劳林展开式（1）（2）（3）（4）（5）（6）,3、典型例题,例1：已知 的前 项和，求。例2：判断下列级数的敛散性（1）（2）（3）（4）（5）（6）,3、典型例题,例3：判断下列任意项级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）（2）（3）（4）（5）例4：求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（1）（2）,3、典型例题,（3）（4）例5：求 的收敛域。例6：求下列幂级数的和函数（1）（2）例7：将 展开成 的幂级数。,