数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案.doc

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度（参考数值：sin20°0.34，cos20°0.94，tan20°0.36）【答案】6.4米【解析】解：底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°DC=BCcos30°=米，CF=1米，DC=9+1=10米，GE=10米，AEG=45°，AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GFtan20°=10×0.36=3.6米，AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°（1）求BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）备用数据：，【答案】（1）BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角APE和直角BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米在直角APE中，A=45°，则AE=PE=x米；PBE=60°BPE=30°在直角BPE中，BE=PE=x米，AB=AE-BE=6米，则x-x=6，解得：x=9+3则BE=（3+3）米在直角BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+29（米）答：电线杆PQ的高度约9米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题3问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用： 如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A 在O 上，ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 （2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程【答案】解：（1）（2）如图，在斜边AC上截取AB=AB，连接BBAD平分BAC，点B与点B关于直线AD对称过点B作BFAB,垂足为F，交AD于E，连接BE则线段BF的长即为所求 (点到直线的距离最短) 在RtAFB/中，BAC=450, AB/="AB=" 10，BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A作直径AC，连接CE，根据垂径定理得弧BD=弧DEACD=30°，AOD=60°，DOE=30°AOE=90°CAE=45°又AC为圆的直径，AEC=90°C=CAE=45°CE=AE=AC=AP+BP的最小值是（2）首先在斜边AC上截取AB=AB，连接BB，再过点B作BFAB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段BF的长即为所求4如图，抛物线y=x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3（1）求tanDBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且DBP=45°，求点P的坐标【答案】（1）tanDBC=；（2）P（，）【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DEBC于点E利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD/AB，OB=OC，所以BCO=BCD=ABC=45°由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BCDE=由此可知tanDBC=；（2）过点P作PFx轴于点F由DBP=45°及ABC=45°可得PBF=DBC，利用（1）中的结果得到：tanPBF=设P（x，x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（，）试题解析：（1）令y=0，则x2+3x+4=（x+1）（x4）=0，解得 x1=1，x2=4A（1，0），B（4，0）当x=3时，y=32+3×3+4=4，D（3，4）如图，连接CD，过点D作DEBC于点EC（0，4），CD/AB，BCD=ABC=45°在直角OBC中，OC=OB=4，BC=4在直角CDE中，CD=3CE=ED=，BE=BCDE=tanDBC=；（2）过点P作PFx轴于点FCBF=DBP=45°，PBF=DBC，tanPBF=设P（x，x2+3x+4），则=，解得 x1=，x2=4（舍去），P（，）考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5如图，在ABC中，A=90°，ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）（1）若BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若BDE为直角三角形，求t的值；（3）当SBCE时，所有满足条件的t的取值范围 （所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=2）【答案】（1）；（2）秒或3秒；（3）63t3【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由AB=3，可得t的值；（2）分两种情况：当DEB=90°时，如图2，连接AE，根据AB=3t=3，可得t的值；当EDB=90°时，如图3，根据AGCEGD，得AC=DE，由ACED，得四边形CAED是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，当BCE在BC的下方时，当BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，CAB=90°，CBA=30°，BC=2AC=6，AB=3，点A、E关于直线CD的对称，CD垂直平分AE，AD=DE，BDE是以BE为底的等腰三角形，DE=BD，AD=BD，t=AD=；（2）BDE为直角三角形时，分两种情况：当DEB=90°时，如图2，连接AE，CD垂直平分AE，AD=DE=t，B=30°，BD=2DE=2t，AB=3t=3，t=；当EDB=90°时，如图3，连接CE，CD垂直平分AE，CE=CA=3，CAD=EDB=90°，ACED，CAG=GED，AG=EG，CGA=EGD，AGCEGD，AC=DE，ACED，四边形CAED是平行四边形，AD=CE=3，即t=3；综上所述，BDE为直角三角形时，t的值为秒或3秒；（3）BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，当BCE在BC的下方时，过B作BHCE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时SBCE=AEBH=×3×3=，易得ACGHBG，CG=BG，ABC=BCG=30°，ACE=60°30°=30°，AC=CE，AD=DE，DC=DC，ACDECD，ACD=DCE=15°，tanACD=tan15°=2，t=63，由图形可知：0t63时，BCE的BH越来越小，则面积越来越小，当BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CEED，此时SBCE=CEDE=×3×3=，此时t=3，综上所述，当SBCE时，t的取值范围是63t3【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题6抛物线y=ax²+bx+4（a0）过点A(1, 1)，B(5, 1)，与y轴交于点C（1）求抛物线表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P坐标; 过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+最小时,求点G坐标.（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值【答案】（1）y=x²6x+4（2）P(2, -4)或P(3, -5) G(0, -2)（3）【解析】【分析】（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；（2）如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为CBPQ的面积为30，所以SPBC= ×(t+4t2+6t4)×515，解得t的值，即可得出点P的坐标；当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），GOR=45°，因为GB+ GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；（3）先用面积法求出sinACB=，tanACB=，在RtABE中，求得圆的直径，因为MBNB，可得N=AEB=ACB，因为tanN=，所以BN=MB，当MB为直径时，BN的长度最大【详解】(1) 解：（1）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，-1），B（5，-1）， 解得 抛物线表达式为y=x²6x+4(2)如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，设直线BC的解析式为y=kx+m，B（5，-1），C（0，4）， ，解得 直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），CBPQ的面积为30，SPBC= ×(t+4t2+6t4)×515，解得t=2或t=3，当t=2时，y=-4当t=3时，y=-5，点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；当点P为（2，-4）时，直线BC解析式为：y=-x+4， QPBC，设直线QP的解析式为：y=-x+n，将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，直线QP的解析式为：y=-x-2，F（0，-2），GOR=45°，GB+GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，同理可得点G的坐标为（0，-2）， (3) ）A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），AC= ，BC=5，SABC=AC×BCsinACBAB×5，sinACB=，tanACB=，AE为直径，AB=4，ABE=90°，sinAEB=sinACB=，AE=2，MBNB，NMB=EAB，N=AEB=ACB，tanN=，BN=MB，当MB为直径时，BN的长度最大，为3【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系7在RtABC中，ACB90°，CD是AB边的中线，DEBC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果A30°，如图1，DCB等于多少度；如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且A（0°90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）DCB60°结论：CPBF理由见解析；（2）结论：BFBP2DEtan理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质，结合A30°，只要证明CDB是等边三角形即可；根据全等三角形的判定推出DCPDBF，根据全等的性质得出CPBF，（2）求出DCDBAD，DEAC，求出FDBCDP2+PDB，DPDF，根据全等三角形的判定得出DCPDBF，求出CPBF，推出BFBPBC，解直角三角形求出CEDEtan即可【详解】（1）A30°，ACB90°，B60°，ADDB，CDADDB，CDB是等边三角形，DCB60°如图1，结论：CPBF理由如下：ACB90°，D是AB的中点，DEBC，DCB60°，CDB为等边三角形.CDB60°线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，PDF60°，DPDF，FDBCDP，在DCP和DBF中，DCPDBF，CPBF.（2）结论：BFBP2DEtan理由：ACB90°，D是AB的中点，DEBC，A，DCDBAD，DEAC，AACD，EDBA，BC2CE，BDCA+ACD2，PDF2，FDBCDP2+PDB，线段DP绕点D逆时针旋转2得到线段DF，DPDF，在DCP和DBF中，DCPDBF，CPBF，而 CPBC+BP，BFBPBC，在RtCDE中，DEC90°，tanCDE，CEDEtan，BC2CE2DEtan，即BFBP2DEtan【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出DCPDBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似8如图，正方形ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：ABFACE；（2）求tanBAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值【答案】（1）证明见解析；（2）tanEAB1；（3）PE+PF的最小值为【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EHAC于H首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ACEABFCAB45°，AE平分CAB，EACBAF22.5°，ABFACE（2）解：如图1中，作EHAC于HEA平分CAB，EHAC，EBAB，BEEB，HCE45°，CHE90°，HCEHEC45°，HCEH，BEEHHC，设BEHEHCx，则ECx，BC+1，x+x+1，x1，在RtABE中，ABE90°，tanEAB1（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小作EMBD于MBMEM，AC2+，OAOCOBAC ，OHOFOAtanOAFOAtanEAB （1），HMOH+OM，在RtEHM中，EH PE+PF的最小值为【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型9如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处求这艘轮船的航行路程CE的长度（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，sin74°0.96，cos74°0.28，tan74°3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在RtBDF中，DBF=60°，BD=4km，BF=8km，AB=20km，AF=12km，AEB=BDF，AFE=BFD，AEFBDF，AE=6km，在RtAEF中，CE=AEtan74°20.9km故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.10如图以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作O的切线交AC边于点F.（1）求证：DFAC；（2）若ABC=30°，求tanBCO的值.【答案】(1)证明见解析; (2) tanBCO=.【解析】试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出ODAC，根据切线的性质可证明DEOD，进而得证（2）过O作OFBD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解试题解析：证明:连接ODDE为O的切线, ODDE O为AB中点, D为BC的中点ODAC DEAC (2)过O作OFBD,则BF=FD 在RtBFO中，ABC=30°OF=, BF= BD=DC, BF=FD，FC=3BF= 在RtOFC中，tanBCO=.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=OB，BF=OB，FC=3BF=OB是解题关键