导数在解决实际问题中的应用.doc
导数在解决实际问题中的应用学习要求 能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。 学习重点难点 用导数方法解决实际生活中的问题 例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，从而h=2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例4. 如图，海岛城市A离海岸120千米，海滨城市B离C点160千米，已知陆上汽车速度是海上轮船速度的2倍，要使A、B两城市之间运输时间最少，转运码头D建在何处最佳?分析 根据题设，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出函数的最小值解 设CD=x，则，BD=160-x，又设海上轮船速度为V千米/小时，则所用总时间令y=0得 (舍去)，在(0，160)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数y在时取得最小值，即转运码头D建在离C为千米处，所用时间最少反思 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，把具体实际抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解本题也可以设ADC=，把运输时间表示为的三角函数，然后再利用导数或其他方法求最小值4知识点小结 解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 5.课外练习 基础题1.如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为_cm时，盒子容积最大 解：（1）正方形边长为x,则V=（82x)·(52x)x=2(2x313x2+20x)(0<x<)V=4(3x213x+10)(0<x<),V=0得x=1根据实际情况，小盒容积最大是存在的，当x=1时，容积V取最大值为18.2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b. 解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=bAD=h+b, S= CD=,AB=CD.l=×2+b由得b=h,代入,l=l=0,h=, 当h<时，l<0,h>时，l>0.h=时，l取最小值，此时b=3某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？解 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短如右图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，因此新墙总长度L=2x+(x>0), L=2-令L=2-=0,得x=16或x=-16 x>0,x=16 L在(0,+)上只有一个极值点,它必是最小值点x=16,=32 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省4某厂生产某种产品件的总成本（万元），又知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品的单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？解：设产品单价为，则，所以总利润满足：因此令时，总利润最小。历年过往真题5.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：，已知甲、乙两地相距100千米.（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 能力提高题 6. 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
