人教版文科数学椭圆讲义.doc

2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系a2b2c2例题1（椭圆定义理解）已知椭圆1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求ABF2的周长解：|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合PM|MF1|MF2|2a(其中|F1F2|2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当ac时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P为空集在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆案例11已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a>0，为常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a>0，为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件综上可知，甲是乙的必要不充分条件2已知定点F1，F2，且|F1F2|8，动点P满足|PF1|PF2|8，则动点P的轨迹是()A椭圆B圆C直线D线段解析：选D因为|PF1|PF2|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.例题2（求椭圆的标准方程）(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程解：(1) 椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(a>b>0)由椭圆的定义知2a 2，a.又c2，b2a2c21046.所求椭圆的标准方程为1.(2) 设椭圆方程为mx2ny21(m>0，n>0，mn)椭圆过(2，0)和(0，1)两点，综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.案例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(a>b>0)因为2a10，2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(a>b>0)因为2a26，2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为1.例题3（与椭圆有关的轨迹问题）已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程尝试解答由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法案例3 如图，圆C：(x1)2y216及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程解：由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|4.又|AC|2，M点的轨迹为椭圆由椭圆的定义知，a2，c1，b2a2c23.所求轨迹方程为1.例题4 （与焦点有关的三角形问题）如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且PF1F2120°，求PF1F2的面积思考点拨由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解尝试解答由已知a2，b，得c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×.即PF1F2的面积是.第2课时椭圆的简单几何性质1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P37P40“探究”的内容，回答下列问题观察教材P38图2.17，思考以下问题：(1)椭圆1(a>b>0)中x，y的取值范围各是什么？提示：axa，byb(2)椭圆1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x轴和y轴，对称中心为坐标原点(0，0)(3)椭圆1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x轴的交点坐标为(±a，0)，与y轴的交点坐标为(0，±b)(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？提示：长轴为A1A2，短轴为B1B2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？提示：离心率e；0<e<1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a不变，改变椭圆的短半轴长b的值，你发现b的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b越大，椭圆越圆；b越小，椭圆越扁(7)根据离心率的定义及椭圆中a，b，c的关系可知，e，所以e越接近于1，则c越接近于a，从而b就越小；e越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆2归纳总结，核心必记椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程问题思考(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？提示：点(a，0)，(a，0)与焦点F1(c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为ac和ac(3)如何用a，b表示离心率？提示：由e得e2，e .e .续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e(0<e<1)例题1 （由椭圆的标准方程研究几何性质）求椭圆4x29y236的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率尝试解答将椭圆方程变形为1，a3，b2.c.椭圆的长轴长和焦距分别为2a6，2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，离心率e.案例1 求椭圆m2x24m2y21(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解：椭圆的方程m2x24m2y21(m>0)，可转化为1.m2<4m2，>，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距长c.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，.离心率e.例题2 （由椭圆的几何性质求方程）求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；(2)离心率e，焦距为12.尝试解答(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦点在y轴上，设其标准方程为1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1.(2)由e，2c12，得a10，c6，b2a2c264.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为1或1.案例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设标准方程为1(b>0)，椭圆过点A(2，3)，1，b210.方程为1.若椭圆的焦点在y轴上设椭圆方程为1(b>0)，椭圆过点A(2，3)，1，b2.方程为1.综上所述，椭圆的标准方程为1或1.(2)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.例题3（求椭圆的离心率）已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为F1(c，0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.尝试解答由A(a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c，0)，由点到直线的距离公式可得d，·(ac).又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即81450.8e214e50.解得e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e求解若已知a，b或b，c，可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解 (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围案例3 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1F1A，POAB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率解：由已知可设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，则由题意可知P.PF1OBOA，.，即bc，a22c2，e.第3课时直线与椭圆的位置关系(习题课)1、直线与椭圆的位置关系（重要）思考1判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，dr相切；d>r相离；d<r相交(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断思考2能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系思考3已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则>0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；<0直线与椭圆相离例题1 已知椭圆4x2y21及直线yxm.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离尝试解答将yxm代入4x2y21，消去y整理得5x22mxm210.4m220(m21)2016m2.当0时，得m±，直线与椭圆相切；当>0时，得<m<，直线与椭圆相交；当<0时，得m<或m>，直线与椭圆相离判断直线与椭圆的位置关系的方法案例1 若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 1总有公共点，求m的取值范围解：由消去y，整理得(m5k2)x210kx5(1m)0，所以100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1)，因为直线与椭圆总有公共点，所以0对任意kR都成立，因为m>0，所以5k21m恒成立，所以1m0，即m1.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0<m<5，综上，1m<5，2、直线与椭圆的相交弦问题思考1若直线l与圆C相交于点A，B，如何求弦长|AB|?名师指津：(1)利用r2d2求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB|x1x2|求解思考2若直线l：ykxm与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如何求|AB|的值？名师指津：|AB|x1x2|例题2 已知椭圆1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； (2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程尝试解答(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是|AB|×63.所以线段AB的长度为3.(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以4，解得k，且满足>0.这时直线的方程为y2(x4)，即yx4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4，2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即yx4.(1)弦长公式设直线方程为ykxm(k0)，椭圆方程为1(a>b>0)或1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|，所以|AB|··，或|AB|··.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得··，即kAB.案例2 （1）直线yx1被椭圆1所截得线段的中点的坐标是()A.B.C. D.解析：选C联立方程组消去y得3x24x20.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，x1x2，x0，y0x01.所求中点的坐标为.（2）椭圆1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x2y80相交于P，Q，且|PQ|，求椭圆方程解：e，b2a2.椭圆方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由>0得a2>32，由弦长公式得10×642(64a2)a236，b29.椭圆方程为1.例题3（与椭圆有关的最值问题）已知椭圆1的离心率e.(1)若3，求椭圆方程；(2)直线l过点C(1，0)交椭圆于A、B两点，且满足：，试求OAB面积的最大值尝试解答(1)由题意知解得a，c.所以a23，b21，所以椭圆方程为y21.(2)由e，及a2b2c2，得a23b2，可设椭圆的方程为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2), 由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为yk(x1)，由得(3k21)x26k2x3k23b20，且12(3b21)k212b2，因为直线l交椭圆于A、B两点，且，所以点C在椭圆内部，所以a>1，所以3b2>1，所以>0.所以x1x2.因为，所以(x11，y1)3(1x2，y2)，所以x143x2，所以x21，所以|x1x2|.又O到直线l的距离为d，所以SABO|AB|d|x1x2|·d，所以当且仅当3|k|，即k±时，SABO取得最大值.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件案例3 在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短，并求出最短距离解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m216(m27)0m216m±4，故两切线方程为yx4和yx4，显然yx4距l最近，d，切点为P.