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人教版八年级数学下册 教案第十六章二次根式161二次根式第1课时二次根式(一)1了解二次根式的概念，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围2能用二次根式表示实际问题中的数量关系二次根式的概念二次根式有意义的条件一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标1如图面积为5的正方形的边长是；2棕榈岛的外围是一个面积为S的圆形，则它的半径是以上两个填空的结果有什么共同特点？请大家思考一下二、自主学习指向目标自学教材第2至3页练习思考下列问题：见学生用书三、合作探究达成目标二次根式的定义活动1：读教材第2页“思考”栏目下面的三段话，思考下列问题：(1)二次根式都必须用什么符号表示？()(2)二次根式中被开方数a的取值范围是什么？(非负数)展示点评：从表面上看，二次根式必须含有二次根号“”二次根式中被开方数a即可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提必须是保证有意义小组讨论：判断一个式子是否是二次根式的标准是什么？请举例说明什么是二次根式？反思小结：二次根式必须满足两个条件，一是根指数是2，二是被开方数为非负数针对训练1对式子的说法正确的是( C )A.是二次根式B.不是二次根式C当x0时，是二次根式；当x0时，不是二次根式D以上说法都不对2式子是二次根式，则有x_3_二次根式概念的应用活动2：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？2读教材第2页例1，思考下列问题：(1)表示的意义是什么？被开方数是什么？(2)它若是二次根式已经具有什么条件？还需要什么条件？(已具备根指数是2，还需要被开方数0)(3)要求出x的取值范围需要列的不等式是什么？(x20)展示点评：表示x2的算术平方根，因此x20.小组讨论：二次根式在什么条件下有意义？反思小结：要使带二次根号的式子有意义，实质就是让它成为一个二次根式，所以只需要看根指数是否为2，被开方数是否为非负数即可两个条件缺一不可针对训练3当a满足_a1_时，在实数范围内有意义4当x满足_时，在实数范围内有意义( D )Ax0Bx0Cx0Dx为全体实数5指出在实数范围内有意义的条件是_x0_6使有意义的x的取值范围是( D )Ax>3 Bx3 Cx>4 Dx3且x4四、总结梳理内化目标1本节课学到了一个核心概念二次根式，它具有两个本质特征：根指数为2；被开方数为非负数2二次根式的被开方数必须是非负数，否则它就无意义五、达标检测反思目标1下列各式一定是二次根式的是( C )A. B. C. D.2若|a2|(c4)20，则ab1_，c_4_3已知a为实数，那么等于( D )Aa Ba C1 D04若(xy)2，求xy的值答案：x1，y1，xy2.5函数y自变量x的取值范围是_x3_作业练习深化目标上交作业：教材第3页练习第1，2题课后作业：见学生用书部分1教师创设情境，给出实例学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动体现教师的组织者、引导者与合作者地位2注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解第2课时二次根式(二)1理解二次根式的双重非负性，即a0，0.2探索并掌握二次根式的性质()2a(a0)，a(a0)，并能运用性质进行化简和计算二次根式的性质及其运用二次根式成立的条件一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标比一比，看谁大(1)_0，_0，_0，_0，_0(x0)；(2)()2_4，()2_，()2_0，()2_x(x0)；(3)_2, _，_0，_x(x0)通过以上各组题目的解答你发现了什么规律？二、自主学习指向目标自学教材第3至4页练习思考下列问题：1一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数就叫做a的_算术平方根_，a的算术平方根记为_，此时正数x_2当a0时，表示a的_算术平方根_，由此感悟：的平方等于_a_；(a0)是一个_非负数_3二次根式的性质：()2_a(a0)_，_a(a0)_三、合作探究达成目标二次根式的双重非负性活动1：读教材第3页小练习下面一段话，思考下面的问题：(1)在什么条件下有意义？(a0)(2)有意义时表示什么意义？(非负数a的算术平方根)(3)若有意义，则是一个什么数？(非负数)展示点评：小组讨论：如何理解(a0)是一个非负数？反思小结：二次根式(a0)第一重非负性是被开方数必须是非负数；第二重非负性是指它本身的结果是一个非负数初中涉及非负性的情形有三种：绝对值、二次根式和实数的偶次幂，通常如果它们三个当中的某两个相加，和是0，则说明每个式子的值都是0针对训练1若|b5|0，则a_3_，b_5_.2若x、y为实数，且|x1|0，则的值是( C )A0B1C1D2013二次根式的性质()2a(a0)活动2：阅读解决课本第3页探究中的四个填空(直接填在课本上)归纳：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数本身即展示点评：(a0)表示非负数a的算术平方根，将非负数a的算术平方根平方后，就等于它本身a，因此可得3阅读课本第3页例2，计算：(1)()2；(2)(3)2.答案：(1)3；(2)18.小组讨论：上题运算中，除了运用二次根式的性质外，还应用了哪些性质？反思小结：整式的运算性质在实数范围内都适用，上面计算题中就用到了(ab)2a2b2这条性质针对训练3计算：(1)()2()2；(2).解：(1)2(2)4把10写成一个非负数平方的形式是_()2_5计算：(1)()225；(2).答案：(1)18；(2)6.二次根式的性质：a(a0)活动3：阅读解决课本第4页探究中的四个填空(直接填在课本上)展示点评：一般地，根据算术平方根的意义，可知一个非负数的平方的算术平方根等于它本身即小组讨论：在上面的归纳中，可否去掉“a0”？若去掉“a0”，结论将会发生怎样的变化？反思小结：(不可去掉“a0”，若去掉，结论将会出现多种情况)针对训练6写出下列各式的值：(1)_；(2)_；(3)_0.1_7计算2的结果是( B )A1 B1 C7 D58计算：_4_9化简：.答案：5.四、总结梳理内化目标1二次根式的双重非负性2()2与既有联系又有区别，()2是先开方后平方，a不能为_负_数；是先平方后开方，a能取任意实数，只有当a_0时，才有()2_a_.五、达标检测反思目标1下列各式中，正确的是( B )A.3 B3 C.±3 D.±32已知|a|5，3，且ab0，则ab的值为( C )A8 B2 C±8 D±23若实数a、b满足0，则a·b的值是( B )A1 B1 C. D4已知是正整数，则实数n的最大值为( B )A12 B11 C8 D35计算：(1)2(2)(2)2(3)()2解：(1)14(2)28(3)0.46化简：(1)(2)(3)解：(1)7(2)4(3)7在实数范围内分解因式：x22_(x)(x)_作业练习深化目标上交作业：教材第5页练习16.1第2题，第7题；课后作业：见学生用书部分1注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度2在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析过程，让学生在交流中体会成功162二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1探索二次根式乘法法则；2能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算二次根式的乘法法则及其应用利用积的算术平方根的性质化简二次根式一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标问题：一块长方形绿化带，长米，宽米，则它的面积是多少？为了解决此问题，需要列出算式×，怎样计算呢？从而引出新课二、自主学习指向目标自学教材6至7页，思考下列问题：1完成教材第6页探究中的填空，写出你发现的规律(1)6，6(2)20，20(3)30，30×(a0，b0)2二次根式乘以二次根式，被开方数怎样运算，结果还是二次根式吗？写出二次根式的乘法公式及成立的条件(二次根式乘以二次根式，被开方数相乘，结果还是二次根式的样子，若能化简，则需要化简)×(a0，b0)3二次根式乘法公式反过来有什么作用？你会用它解决例2吗？试一试(反过来可以化简二次根式)4二次根式乘法的结果应怎样处理？自学例3，看你有什么发现？(结果应该化成最简二次根式带系数的二次根式乘法类似于单项式乘以单项式)三、合作探究达成目标二次根式乘法法则活动1：请解答第6页中的“探究”问题，你可以发现一个规律用字母表示这个规律如下：展示点评：×(a0，b0)这就是二次根式的乘法公式请用语言叙述二次根式的乘法公式(法则)：两个非负数的_算术平方根_相乘，等于_这两个非负数的积的算术平方根_例1计算：(1)×；(2)×.解：(1)；(2)3.小组讨论：第一小题的计算依据是什么？第二小题的结果为什么不用表示？反思小结：这两小题直接套用公式即可解决，第(2)题的结果不能用表示，需要进行化简成最简针对训练1计算：(1)×；(2)×.答案：(1)；(2)2.2估计×的运算结果应在( A )A1到2之间B2到3之间C3到4之间D4到5之间积的算术平方根活动2：将×(a0，b0)反过来可以得到×(a0，b0)这个性质用文字怎样叙述？它有什么作用？展示点评：两个非负数的积的算术平方根等于每个非负数的算术平方根的积利用它可以将二次根式化简例2化简：(1)；(2).解：(1)36；(2)2ab.注意：第二小题中的字母没有特别说明，在教材中表示非负数这两题的解答实质是对二次根式进行化简，说明二次根式中如果被开方数中含有开得尽方的因数或因式时，还可以像例2这样化简小组讨论：这两题的化简依据是什么？(×(a0，b0)反思小结：第(1)小题可以直接用第二个公式解决化简；第(2)小题需要转化成第(1)小题的形式，再用公式解决即可被开放数中含有开得尽方的因数或因式的二次根式不是最简二次根式针对训练3化简：(1)(2)(3)(4)解：(1)15；(2)2；(3)2；(4)4a2.二次根式乘法公式和积的算术平方根的性质的综合应用活动3：计算：(1)×(2)3×2(3)·解：(1)7；(2)30；(3)x.展示点评：(1)第一小题各步的计算依据是什么？你还有什么算法？(依据分别是二次根式乘法公式、二次根式的性质等其他算法：原式××××()27.)(2)第二小题与第一小题的区别是什么？(第二小题每个二次根式前面带有系数)系数部分怎样计算？(这可以类比单项式的乘法法则)(3)比较这三小题的结果，你发现被开方数中若有开得尽方的因数或因式时，应该怎么办？(把开的尽方的因数或因式用它的算术平方根表示写在根号的前面作为系数的一个因式)小组讨论：二次根式乘法与整式乘法有什么联系？反思小结：第(1)(3)小题可以用乘法公式变形成例2形式后再用例2的化简思路解决；第(2)小题是两个带有系数的二次根式相乘，可以运用单项式乘以单项式的法则处理系数，根号部分相乘同第(1)小题一样针对训练4计算：(1)×(2)5×2(3)·解：(1)6；(2)60；(3)m.四、总结梳理内化目标1二次根式的乘法法则2被开方数不含分母的二次根式只有把开得尽方的因式或因数移到根号外面后二次根式才是最简的形式3整式的运算法则和运算律在二次根式的计算中同样适用五、达标检测反思目标1已知是正整数，则实数n的最大值为( C )A12B11C8D32.化简的结果是( B )A2 B2 C2 D±23已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1a|的结果为( A )A1 B1 C12a D2a146化简的结果是( C )A12 B24 C24 D245化简：×_12_6化简：3×5的结果为_240_7化简_10_8化简_5_作业练习深化目标上交作业：教材第7页练习第1题，第2题课后作业：见学生用书部分1创设情境，给出实例学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度2二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功第2课时二次根式的除法1探索二次根式的除法法则，会用法则进行除法运算2理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为最简二次根式二次根式的除法法则的探究和应用二次根式的除法法则的双向使用一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标1二次根式的乘法法则是什么？完成下列填空：(1)_0.15_；2×3_6_(2)若b，则a_1_，b_0_(填取值范围)2一个矩形的面积是cm2，一个正方形的面积是矩形面积的倍这个正方形的面积是多少？这个矩形的面积是正方形面积的几分之几？相信你能列出代数式来，但是怎样化简这两个式子呢？这就是我们这节课学习的主要内容二、自主学习指向目标自学教材第8页至第10页的内容，思考下列问题：1二次根式的除法法则是什么？(a0，b0)(1)你能用文字语言叙述这一法则吗？(一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根等于这个非负数与这个正数的商的算术平方根)(2)二次根式的乘法与除法法则中b的取值范围不同，你知道为什么吗？(当b0时，式子无意义)2商的算术平方根的性质是什么？(a0，b0)该性质与二次根式的除法法则有什么关系？(互逆关系)3最简二次根式的特点是：(被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式)三、合作探究达成目标二次根式的除法法则活动1：阅读教材第8页探究，完成探究题中的填空，思考下列问题：(1)你发现什么规律？(每组两个计算结果相等)(2)你能用字母表示你发现的规律吗？(3)这个规律的左边表示两个二次根式之间进行什么运算？右边表示它们之间的什么结果？(左边是两个二次根式相除，右边表示它们的商的结果)展示点评：一般地，对二次根式的除法法则是(a0，b0)小组讨论：二次根式除法法则中为什么强调a0，b0?反思小结：二次根式的除法公式必须要求公式中的每个二次根式都必须满足二次根式的定义中的条件，对于分母中的二次根式还要让分母不能等于0这是该公式的重要条件，是今后解决有关计算的理论依据针对训练1._2_，÷_；2.成立的条件是a_0，b_0.二次根式除法法则的应用活动2：阅读教材第8页例4，思考下列问题：(1)第(1)小题各步计算的依据是什么？你还有别的算法吗？展示点评：依据分别是二次根式除法法则、积的算术平方根的性质小组讨论：第(2)小题与第(1)小题形式上有什么区别？各步的依据是什么？计算结果都有什么要求？反思小结：两个二次根式相除，把被开方数相除，再把结果化简针对训练3计算：(1)÷；(2).答案：(1)3(2)2.商的算术平方根的性质活动3：把二次根式的除法公式反过来，就可以得到(a0，b0)这就是商的算术平方根的性质，用文字如何叙述这个性质？展示点评：一个非负数a与正数b的商的商的算术平方根等于非负数a的算术平方根与正数b的算术平方根的商小组讨论：(1)第(1)小题中的每一步化简依据是什么？(2)第(2)小题与第(1)小题的区别在哪里？反思小结：当二次根式的被开方数中含有分母时，二次根式不是最简形式，因此要用商的算术平方根的性质进行化简针对训练4化简：(1)(请用两种方法化简)；(2).解：(1)(2).最简二次根式活动4：观察比较例4、例5、例6的计算结果思考：它们是最简二次根式吗？这些结果有什么共同特点？展示点评：满足(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式叫做最简二次根式小组讨论：如何化去分母中的根号？反思小结：可用二次根式的性质，乘除法运算法则及分数基本性质化去分母中的根号针对训练6下列二次根式是最简二次根式的是( A )A.B.C.D.7把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)(4)解：(1)4；(2)2；(3)；(4).四、总结梳理内化目标(1)二次根式除法公式是：(a0，b0)；将它反过来得到公式：(a0，b0)，可以用它化简被开方数含有分母的二次根式；(2)二次根式的计算方法多样，结果一定要化成最简二次根式或整式；(3)最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开的尽方的因数或因式五、达标检测反思目标1等式成立的条件是( C )Aa1 Ba2 Ca1 Da22下列二次根式中，最简二次根式是( C )A. B. C. D.3已知菱形的面积为cm2，其中一条对角线长2cm，则另一条对角线的长为_3cm_(菱形的面积等于两条对角线的积的一半)4计算与化简：解：5计算：÷3×.解：.作业练习深化目标上交作业：教材第10页习题16.2第2、4题，第11页第8题课后作业：见学生用书部分1创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣2二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功163二次根式的加减第1课时二次根式的加减运算1探索二次根式加减运算的步骤和方法2二次根式的加减运算二次根式的加减法则及其应用二次根式加减的各步依据一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标木工李师傅要在一张长7.5dm，宽5dm的木板上，采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板，李师傅能做到吗？1这两个正方形的边长分别是多少？(dm，dm)2这块木板够宽吗？这块木板够长吗？你是怎么考虑的？(够，估计得出结论)如何计算形如23这类算式呢？二、自主学习指向目标自学教材第12页至13页的内容，思考下列问题：1如何进行二次根式的加减运算？(先把每个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并)2二次根式能合并的前提条件是什么？(化简后被开方数相同)3阅读例1、例2，填空：(1)合并二次根式之前，必须先把二次根式化成_最简二次根式_(2)合并二次根式时，只有被开方数_相同_的二次根式才能合并，合并的依据是_合并同类项法则_(3)合并被开方数相同的二次整式，就等同于整式加减的_合并同类项_，把被开方数相同的二次根式看成各项的字母部分，合并时根指数及被开方数_不变_，只把系数_合并_三、合作探究达成目标二次根式加减运算法则活动1：阅读教材第12页，思考下列问题：(1)问题中的列式计算应该如何计算？(先化简各个二次根式，若被开方数相同，再把系数相加，根号部分不变)(2)在计算时每一步的理论依据是什么？能够合并的二次根式有什么特征？答案：依据是二次根式的性质、分配律能够合并的二次根式化简后被开方数相同展示点评：计算时第一步依据：_·(a0，b0)_；第二步依据：_分配律_二次根式的合并类似于合并同类项，只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，且合并前一定要先化简成最简二次根式小组讨论：二次根式加减运算的一般步骤反思小结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最简二次根式_，再将被开方数相同的二次根式进行_合并_针对训练1二次根式与可以合并，那么a的值可以是( B )A5B6C7D82下列计算是否正确？为什么？(1)；(2)；(3)32.解：(1)错题目中的与不能合并(2)错正确答案为5.(3)正确符合二次根式加减法则二次根式加减法则的应用活动2：阅读教材第13页例1和例2，思考下列问题：(1)例1两小题中的二次根式是最简二次根式吗？化简后能合并吗？(答案：不是，能)(2)请指出例1每一步计算的依据是什么？(答案：二次根式的性质、二次根式加减法则)(3)例2与例1的区别是什么？(答案：例2含有加法、减法和括号，属于加减混合运算)(4)含有括号的应该先算什么？答案：先算括号里面的(5)例2第(2)小题中的3与能合并吗？(答案：不能合并)展示点评：学生自主计算，注重运算步骤强调a，6是错误的小组讨论：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？反思小结：二次根式的加减的实质是先化简每个二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并建立二次根式加减模型解决实际问题，同建立实数的加减模型一样，先列式再计算，后作答针对训练3计算：(1)26_4_；(2)_4_2_4计算：(1)()；(2)().解：(1)原式103；(2)原式3.5如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56cm2和25.12cm2，求圆环的宽度d.(3.14，结果保留小数点后两位)解：由圆的面积公式可得：d0.83(cm)四、总结梳理内化目标(1)这节课我学会了：二次根式的加减运算(2)本节课所涉及的数学思想方法是类比五、达标检测反思目标1以下二次根式：；中，能与是合并的是( C )A和 B和 C和 D和2下列各式336；1；2；2，其中错误的有( A )A3个 B2个 C1个 D0个3在、3、2中，与能合并的二次根式的有_、_4计算二次根式5379的最后结果是_26_5计算题(1)393；(2)()()解：(1)15(2)66先化简，再求值.，其中x，y27.解：原式.作业练习深化目标上交作业：教材第13页练习第1题和第2题课后作业：见学生用书部分创设情境，给出实例由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则；二次根式的加减运算，要按照两个步骤进行计算，培养学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神第2课时二次根式的混合运算1能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算2会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正确性综合运用运算律和运算法则进行二次根式的运算二次根式混合运算中方法的选择一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标学生活动：请同学们完成下列各题：1计算：(1)(2xy)·zx；(2)(2x2y3xy2)÷xy2计算：(1)(2x3y)(2x3y)；(2)(2x1)2(2x1)2点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有(1)单项式×单项式；(2)单项式×多项式；(3)多项式÷单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用问题：模仿上面的整式运算计算()×，你会吗？试一试二、自主学习指向目标自学教材第14页，完成下列问题：1分配律：(ab)·c_acbc_.2乘法公式：(1)(ab)(ab)_a2b2_；(2)(ab)2_a22abb2_；(ab)2_a22abb2_.3计算：(1)(xa)(xb)_x2(ab)xab_；(2)(mambmc)÷m_abc_.三、合作探究达成目标运算律在二次根式混合运算中的应用活动1：阅读教材第14页例3，思考下列问题：(1)第(1)小题第一步的依据是什么？第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并？展示点评：分配律；二次根式乘法法则；不是能合并的二次根式只能照写(2)第(2)小题第一步根据整式除法中的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么运算法则？展示点评：多项式除以单项式的法则；单项式除以单项式的法则小组讨论：二次根式的混合运算与整式的混合运算有什么关系？反思小结：二次根式的混合运算如同整式的混合运算，运算律和多项式除以单项式法则、单项式除以单项式的法则都照样适用针对训练1计算：(1)()_；(2)()÷_42_多项式乘法法则及公式在二次根式混合运算中的应用活动2：阅读教材第14页例4，思考下列问题：(1)第(1)小题的第一步的计算依据是什么？(多项式乘以多项式的法则)(2)第(2)小题的第一步的计算根据是什么？(平方差公式)展示点评：学生自主解答题目，综合运用了多项式乘多项式法则，二次根式化简、分配律、合并同类项、平方差、完全平方公式等小组讨论：为什么二次根式的运算可以用运算律和乘法分式？反思小结：二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和公式仍然适用针对训练2计算：(1)(3)(2)；(2)()(3)解：(1)115(2)3ab23计算下列各题，并指出各步的依据：(1)(4)(4)(2)(2)2.解：(1)9；(2)74四、总结梳理内化目标1一种数学思想：类比(二次根式的混合运算可以类比整式的混合运算)；2进行二次根式的混合运算时，先算(乘除)，后算(加减)，若有括号应先算(括号里面的)五、达标检测反思目标1.×的值是( A )A.3B3C2D.2计算()()的值是( D )A2 B3 C4 D13.的计算结果(用最简根式表示)是_1_4(12)(12)(21)2的计算结果(用最简二次根式表示)是_424_5若x1，则x22x1_2_6已知a32，b32，求代数式a2bab2的值解：ab4，ab1，原式ab(ab)4.作业练习深化目标上交作业：教材第15页习题16.3第4题课后作业：见学生用书部分本节课首先引导学生回顾整式的乘除运算法则，进而类比得到二次根式混合运算的计算法则，在练习和作业中都增加了难度，旨在提高学生的运算速度第十七章勾股定理171勾股定理第1课时勾股定理(一)1经历勾股定理的探究过程，了解勾股定理的文化历史背景2能用勾股定理解决一些简单问题探索并证明勾股定理勾股定理的探究和证明一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景明确目标目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的这个事实可以说明勾股定理的重大意义尤其是在两千年前，是非常了不起的成就请同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的长你是否发现3242与52的关系，52122和132的关系，即324252，52122132，那么就有勾2股2弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、自主学习指向目标阅读教材第2224页思考下列问题：1毕达哥拉斯发现了等腰直角三角形中三边a、b、c(ab)之间的数量关系为_a2b2c2_任意直角三角形_有_(填有或无)此结论2赵爽弦图证明勾股定理的方法是根据图形的面积关系得到数量关系，体现_数形结合_的思想方法3直角边为3、4的直角三角形的斜边为_5_三、合作探究达成目标勾股定理的发现活动1：读教材第22页“思考”栏目，思考下列问题：(1)图17.12中的三个正方形的面积之间有什么关系？(两个蓝色正方形的面积之和等于大红正方形的面积)(2)这三个正方形的边长所组成的等腰直角三角形的三边有什么数量关系？(两直角边的平方和等于斜边的平方)展示点评：等腰直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和活动2：读教材第23页“探究”栏目，思考下列问题：(1)在图17.13的上图和下图中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流(A中有4个小方格，B中有9个小方格，C中有13个小方格(可以用一个大正方形的面积减去4个直角三角形的面积等)(2)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？A的面积B的面积C的面积上图4913下图92534(3)在正方形A、B、C所围成的直角三角形中，三条边之间有什么样的数量关系？(两直角边的平方和等于斜边的平方)展示点评：一般直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和得出猜想：命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么_a2b2c2_小组讨论：上述探究过程中，应用到了哪些数学思想反思小结：利用数形结合研究几何问题是常用的数学思想方法，在发现勾股定理的过程中还渗透了分类思想和由特殊到一般的思想针对训练1以一个直角三角形的三边为边向形外作三个正方形，最大的正方形的面积为25，则两个较小的正方形的面积之和为_25_2正方形A、B、C的面积分别为10、15、S，假设这三个正方形的边长恰好组成一个直角三角形，则S的值是( C )A25B5C5或25D不确定勾股定理的证明活动3：阅读教材第23页至24页，思考下列问题：(1)利用“赵爽弦图”，大正方形的面积是_c2_，四个红色全等直角三角形和小黄正方形的面积之和可以列出式子_4×ab(ab)2_，化简后为_a2b2_，根据面积关系可以知道直角三角形三边a、b、c之间满足的数量关系是_a2b2c2_(2)阅读教材第30页中的阅读与思考，了解勾股定理的其他证法展示点评：用“割、补”的方法利用图形的面积，探索出a2b2c2，勾股定理的证明方法很多，可以课后继续探索小组讨论：证明勾股定理的过程中，如何寻找等量关系的？反思小结：勾股定理的证明体现了数形结合的数学思想，利用图形的面积寻找等量关系是数学中常用的方法针对训练3请选择自己最喜欢的图形证明勾股定理答案提示：根据面积关系证明，即整体的面积各部分面积之和四、总结梳理内化目标1本节课我们学习了直角三角形三边之间的一个重要性质，即勾股定理：直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则_a2b2c2_；2我们以前还学了直角三角形的有关知识，回顾并填空：(1)直角三角形的两锐角_互余_；(2)在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的_一半_；(3)根据直角三角形的面积公式可以得到一个关于三边a、b、c和斜边c上的高h之间的常用等量关系：_abch_3在学习勾股定理时注意体会的数学思想方法有：_数形结合、分类、由特殊到一般、转化_五、达标检测反思目标1求出下列直角三角形中未知边的长度答案：左图中，AC8；右图中，AB17.2一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前有多高？答案：16m.3如图，一个圆锥的高AO2.4cm，底面半径OB0.7cm，则AB的长是多少？答案：2.5cm.4在ABC中，C90°，AB10.(1)A30°，求BC，AC的长(结果可