中考最值问题大全.docx

中考最值问题大全垂线段最短在最值问题中的应用模型一 点到直线的所有线段中，垂线段最短点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”1、如图，O的半径为5，弦AB6，M是AB上任意一点，则线段OM的取值范围是_。2、如图，在锐角ABC中，BC4，ABC45°，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CMMN的最小值是_3. 如图，在RtAOB中，OAOB3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为_模型二 “胡不归”问题基本模型：两定一动，动点在定直线上问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使APBP最小解决：过点A作NAP45°，过点P作PEAN，在直角三角形中将AP转化为PE，使得APBPPEBP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”找到最小值的位置4. 如图，菱形ABCD中，ABC60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则BPPC的最小值是( ) A. B. C. 3 D.5. 如图，在ACE中，CACE，CAE30°，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CDOD的最小值为6时，求O的直径AB的长6、如图624，二次函数yax22ax4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tanCBO2此二次函数的解析式为：_;动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针方向旋转，到与直线AB重合时终止运动，直线l与线段BC交于点D，P是线段AD的中点 直接写出点P所经过的路线长_.点D与B、C不重合时，过点D作DEAC， DFAB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，EPF的大小是否发生变化？若不变，求EPF的度数；若变化，请说明理由在的条件下，连接EF，求EF的最小值7如图625，等边ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿ABC的方向运动，到达点C时停止设点M运动的路程为x，MN2y，则y与x的函数图象大致是（）8如图626，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A、B是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OAOB则A、B两点的坐标分别为_、_；画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留）9如图627和627，在ABC中，AB13，BC14，cosABC探究：如图627，AHBC于点H，AH_,AC_，ABC的面积SABC_拓展如图627，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F设BDx，AEm，CFn（当点D与A重合时，我们认为SABD0）用x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；求（mn）与x的函数关系式，并求（mn）的最大值及最小值；对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围对称性质在最值问题中的应用模型一 两点一线类型1 异侧和最小值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PAPB值最小问题解决：结论：根据两点之间线段最短，PAPB的最小值即为线段AB长类型2 同侧和最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PAPB值最小问题解决：结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PAPB最小值为AB类型3 同侧差最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最小问题解决：结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PAPB时，|PAPB|0. 类型4 同侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大问题解决：结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PAPB|AB，则|PAPB|的最大值为线段AB的长类型5 异侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大问题解决：结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PAPB|的最大值为AB. 1.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM2，点N是对角线AC上一动点，则线段DNMN的最小值为_2.如图，点C的坐标为(3，y)，当ABC的周长最小时，则y的值为_3.如图，已知ABC为等腰直角三角形，ACBC4，BCD15°，P为射线CD上的动点，则|PAPB|的最大值为_4、如图611，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PMPN的最小值 .5、如图611，在RtABC中，C90°，B60°，点D是BC边上的点，CD，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是 .6.（1）如图612，在等边ABC中，AB6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PBPE的值最小，最小值为 .（2）如图612，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC60°，P是OB上一动点，则PAPC的最小值是 ；图6-1-2图6-1-2图6-1-2 （3）如图612，点D、E分别是ABC的AC、AB边的中点，BC6，BC边上的高为4，P在BC边上，则PDE周长的最小值为 .7.（1）如图613，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），点P 为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为 .（2）如图613 ，菱形ABCD中AB2，A120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为 .（3）如图613，锐角ABC中，AB4，BAC45°，AD平分BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是 .8.（1）如图614，AOB45°，P是AOB内一点，PO10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则PQR周长的最小值是 .（2）如图614，点A（a，1）、B（1，b）都在双曲线y(x<0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（ ）.A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx39. 如图615已知，直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AMMNNB的长度和最短，则此时AMNB（ ）A.6 B.8 C.10 D.1210、如图6113，一次函数y2x4的图象与x、y轴分别交于点A，B，D 为AB的中点，C、A关于原点对称P为OB上一动点，请直接写出PCPD的范围：_11如图6114，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是_12在O所在的平面上有一点A，它到O的最近距离是3，最远距离是7，则O的半径为_13在A、B均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6115，若P是x轴上使得PAPB的值最大的点，OP_.14如图6116，抛物线yax2bx4a经过A(1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B抛物线及对称轴分别为_;点D所在抛物线的对称轴上，求DBDC的最大值模型二 一点两线类型1 一定点与两条直线上两动点问题问题：点P在AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得PCD周长最小问题解决：结论：要使PCD周长最小，即PCPDCD值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则PCD周长最小为线段的长类型2 两定点与两条直线上两动点问题问题：点P、Q在AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小问题解决：结论：将问题转化为类型1即可，PCCDDQ的最小值为线段PQ长，则四边形PQDC的周长的最小值为PQPQ的值1.如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC，CD上分别找一点M，N使AMN的周长最小，则AMNANM的度数为_2.如图，在直角坐标系中，已知A(3，1)，B(1，3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是_模块四 “小虫爬行问题”例612（1）如图616，已知长方体的长为AC2cm，宽BC1cm，高AA4cm，一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B点的最短路径是多少？【规律】“小小相加凑一边时路径最短.” （2）如图616，圆柱形杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm?【规律】“一点内一点外要用轴对称.”练习：1.（1）如图617，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，最短距离是（ ）A.5 B.25 C.105 D.35图6-1-7图6-1-7 图6-1-7（2）617，底面半径为3cm的圆锥的主视图是个正三角形，C是母线OB的中点，则从圆锥表面从A到C的最短距离等于 cm.（3）617,圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行的最短路程（取3）是（ ）cm.A.20 B.10 C.14 D.无法确定（4）如图617，ABCDEFGH是个无上底长方体容器，M在容器内侧，位于侧棱BF上，已知AB5，BF9，FM3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于 .2.如图618，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？ 图618模块五 折叠最值【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力.方法是：（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.1、如图619，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N分别在AB、BC上（含端点），且AB6，BC10，设AEx，则x的取值范围是 .图619【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，不合题意，向下移动N到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，得到满足条件的x最大值；图61112.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB3，AD5，如图6111，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 .模块六 圆中最长弦是直径解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它1、如图631，等腰直角ABC斜边长为4，D为是斜边AB的中点，直角FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小值是_2如图632，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交点G、H两点，若O的半径为6，则GEFH的最大值为_模块七、求两正数和的最小值9解法：由（ab）20得a2b22ab，当且仅当ab时成立；对任意正数m,n可设ma2、nb2(a、b为正数)，则有mna2b22ab2，即mn2，当且仅当mn时等号成立这是高中两个最重要的不等式求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值1、阅读理解：对任意实数a，b，（）20，a2b0，ab2，只有当ab时，等号成立根据上述内容，回答下列问题：若m0，只有m_时m有最小值_；若n0，只有n_时n有最小值_；若x0，只有x_时，8x2有最小值_;2、如图641，AB为半圆O的直径，C为半圆上与点A、B不重合的任意一点，过点C作CDAB，垂足为D，ADa，DBb请用本题图验证ab2,并指出等号成立时的条件3、如图642，已知A（3，0），B（0，4），P为双曲线y(x0)上任意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D，求四边形ABCD的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状4、公式：对于任意正数a、b，总有ab2，并且只有当ab时，等号成立直接应用或变形应用已经y1x（x0），y2（x0），则当x_时，y1 y2取得最小值_.已知函数yx(a0，x0)，当x_时，该函数有最小值_已知函数y1x1与函数y2(x1)24，当x1时，求的最小值，并指出相应的x的值实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001设汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？模块八 二次函数最值解法归一：“二次整数ax2bxc最值”完全可以借助二次函数yax2bxc最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法（注：a,b,c为常数，且a0）1、 x22x6的最小值是_;二次函数yx26x的最大值是_2、如图661，在矩形ABCD中，AB2，AD3，P是BC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作APPE交CD于点设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？3、如图662，已知抛物线yax2bx4经过点B（1，0），C（5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标;在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.4、如图663，把一张边长为4的正方形ABCD折叠，使B点落在AD上的E处，折痕为MN，设AEx，问x为何值时，折起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值模块九 几何探究最值类81、请阅读下列材料：问题：如图671，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图671侧面展开图中的线段AC）路线2：走圆柱高线与度面直径（即图671中的ABBC的长）设路线1的长度为l1，设路线2的长度为l2，则l12AC2AB2 l22(ABBC)2，将AB5，BC10，半圆弧长5代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：l12AC2 ；l22(ABBC)2 ；l12l22 .l12>l22 l1>l2 选择路线2较短. （1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm,高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l12AC2 ；路线2：l22(ABBC)2 ；l12 l22，l1 l2（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短.（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.2、在河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，ABakm(a>1)现计划在河岸上建一抽水站P向两个村庄供水.方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：图672是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，且d1PBBA(km)(其中PBl于P点)；图672是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2,且d2PAPB(km)(其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P).观察与计算（1）在方案一中，d1 km(用含a的式子表示)；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图672的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2 km(用含a的式子表示).探索归纳：（1）当a4时，比较大小：d1 d2（填“>”或“”或“<”）；当a6时比较大小：d1 d2（填“>”或“”或“<”）；（2）请你就a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？3、（1）如图673，把矩形AA B B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与 重合，点B与 重合.探究与发现 （2）如图673所示，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm；（丝线的粗细忽略不计）（3）若用丝线从图673圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处（如图673所示），则至少需要多长丝线？ 创新与应用：（4）如图673，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，如图673，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为，则sin . 4、如图674是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图674），然后用这条平行四边形纸带按如图674的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满. （1）请计算图674中裁剪的角度BAD；（2）计算按图674方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.