专题_基本不等式常见题型归纳(学生版).docx

专题：基本不等式基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号三个不等式关系： （1）a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时取等号 （2）a，bR，ab2，当且仅当ab时取等号 （3）a，bR，()2，当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者间的不等关系其中，基本不等式及其变形：a，bR，ab2(或ab()2)，当且仅当ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知且，则的最小值为 .练习：1若实数满足，且，则的最小值为 2.若实数满足，则的最小值为 3.已知，且，则的最小值为 .【典例2】已知x，y为正实数，则的最大值为 【典例3】若正数、满足,则的最小值为_.变式：1.若,且满足,则的最大值为_.2.设，则的最小值为_ 3.设，则的最大值为_ 4.已知正数，满足，则的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数满足，则的最小值为 练习1已知正数满足，则的最小值为 .2.已知正数满足，则的最小值为 3已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值为 .4己知a，b为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b的最小值为_5.常数a，b和正变量x，y满足ab16，.若x2y的最小值为64，则ab_.6.已知正实数满足，则的最大值为 【题型三】代入消元法【典例5】（市2016届高三调研测试·14）已知，则的最小值为 练习1设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是 2已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 3已知正实数满足，则的最小值为 4.若，且，则使得取得最小值的实数= 。5.设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值围是_6.已知，且，求的最大值为_【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)ax2xb(a，b均为正数)，不等式f(x)0的解集记为P，集合Qx|2tx2t若对于任意正数t，PQÆ，则的最大值是 2已知正数a，b，c满足b+ca，则+的最小值为练习1若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为 2设是正实数,且,则的最小值是_.3.若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为 4若实数满足，当取得最大值时，的值为 .【题型五】判别式法【典例7】已知正实数x，y满足，则xy的取值围为 练习1.若正实数满足，则的最大值为 2.设，则的最大值为_ 变式1在平面直角坐标系中，设点，若不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立2）对恒成立分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1）恒成立2）恒成立确定主元法：如果把已知取值围的变量作为主元，把要求取值围的变量看作参数，则可简化解题过程。2设二次函数（为常数）的导函数为对任意，不等式恒成立，则的最大值为 【题型六】分离参数法【典例8】已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为_ 练习1已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值围为 .2若不等式x22xya(x2y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为