《数字信号处理》课程设计说明书数字信号处理DFT对称性验证及应用.doc
1.DFT的对称性原理分析1.1共轭对称序列 长度为的有限长序列,若满足 , （1.1）称序列为共轭对称序列，一般用来表示。若满足 , （1.2）称序列为共轭反对称序列，一般用来表示把 代入式（1.1）与式（1.2），得 , （1.3）, （1.4） 式（1.3）与式（1.4）说明共轭对称序列与其共轭序列以成偶对称，共轭反对称序列与其共轭序列成奇对称设一长度为的有限长序列，令 （1.5） （1.6）则有 （1.7）说明任一有限长序列，都表示成一个共轭对称序列与共轭反对称序列的和，称为的共轭对称分量，称为的共轭反对称分量。在频域下同样有类似结论 （1.8）式中 （1.9） （1.10）1.2有限长序列的对称分量分解及其DFT表示 （1）当x(n)为长度N的复数序列时,有 = = （1.11） 同理可得 (1.12)式（1.11）和（1.12）说明复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量；复序列虚数部分的离散傅立叶变换的共轭反对称分量。 另一方面，由式（1.7）知有限长序列可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量，可得其离散傅立叶变换 = （1.13）同理可得 = （1.14）上面两式说明复序列共轭对称分量序列的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分；复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。 离散傅立叶变换的对称性，在求实序列的离散傅立叶变换中有重要作用。例如，有两个实数序列和，为求其离散傅立叶变换，可以分别用和作为虚部和实部构造一个复数序列x(n)，求出x(n)的离散傅立叶变换，然后根据式（1.9）和（1.10）得到的共轭对称分量和，分别对应和，从而实现一次DFT的计算可得到两个序列DFT的高效算法。而DFT可以通过一次快速FFT变换来实现。（2）当x(n)为长度N的实数序列或纯虚数序列时,有当x(n)为实序列时，则 又据)的对称性：当x(n)为纯虚序列时，则 又据)的对称性： 2.对称性分析及流程图本次课设分两个部分，一个是要验证11点的DFT的对称性，另一个是要用一次快速傅立叶变换FFT实现两个序列的DFT由于函数ezplot只能画出既存在Symbolic Math Toolbox中又存在于总MATLAB工具箱中的函数，而 circevod（实信号分解为循环偶分量和循环奇分量）和dft(计算离散付利叶变换)仅存在Symbolic Math Toolbox中，因此需要在自己的工作目录work下创建。此后可以直接调用这些函数。11点的DFT的对称性流程图2.1和一次快速傅立叶变换FFT实现两个序列的DFT流程图2.2开始开始图2.2 一次FFT变换实现两序列的DFT结束得到和调用fft函数输入x=+jn=0:10;x=input('请输入序列x=')调用circevod，求对称分量画出对称分量图形调用dft函数，求X（k）, Xep,Xop画出real(X)，imag(X),Xep,Xop图形Xep结束图2.1 验证对称性流程图3.程序设计3.1 验证对称性程序在目录work下创建circevod的M文件，circevod的M文件是计算对称分量的，程序如下：function xec,xoc=circevod(x);N=length(x); n=0:(N-1); xec=0.5*(x + x(mod(-n,N)+1); xoc=0.5*(x - x(mod(-n,N)+1);在目录work下创建dft的M文件,dft为离散傅立叶变换，程序如下：function Xk=dft(xn,N);n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;主程序：figure(1)n=0:10;x=input('请输入序列x=');xep,xop=circevod(x);subplot(2,1,1);stem(n,xep);title('共轭对称分量')xlabel('n');ylabel('xep(n)');axis(-0.5,10.5,-1,11);subplot(2,1,2);stem(n,xop);title('共轭反对称分量');xlabel('n');ylabel('xop(n)');axis(-0.5,10.5,-6,4);figure(2)X=dft(x,11); Xep=dft(xep,11);Xop=dft(xop,11);subplot(2,2,1);stem(n,real(X);axis(-0.5,10.5,-5,50);title('ReDFTx(n)');xlabel('k');subplot(2,2,2);stem(n,imag(X);axis(-0.5,10.5,-20,20);title('ImDFTx(n)');xlabel('k');subplot(2,2,3);stem(n,Xep);axis(-0.5,10.5,-5,50);title('DFTxep(n)');xlabel('k');subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xop);axis(-0.5,10.5,-20,20);title('DFTxop(n)');xlabel('k');3.2 用一次FFT实现两个序列的DFT x1=input('请输入序列x1=');x2=input('请输入序列x2=');N=input('请输入N=');x=x1+j*x2;X=fft(x,N);k=0:N-1;c=conj(X);Xep=0.5*(X+ c(mod(-k,N)+1);Xop=-j*0.5*(X- c(mod(-k,N)+1);X1=XepX2=Xopsubplot(2,1,1);stem(k,X1);xlabel('k');ylabel('X1');axis(-0.5,7.5,-10,40);subplot(2,1,2);stem(k,X2);xlabel('k');ylabel('X2');axis(-0.5,7.5,-10,40);4.运行结果和总结4.1验证对称性当输入的序列x=10*(0.8).n时，11点共轭对称分量和共轭反对称分量如图4.1，图4.2为验证对称性。图4.1 共轭对称和反对称分量图4.2 验证对称性分析：从图4.2可以看出复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量；复序列虚数部分的离散傅立叶变换的共轭反对称分量。复序列共轭对称分量序列的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分；复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。从而验证了DFT的对称性。4.2用一次FFT实现两个序列的DFT当运行程序（2）时，会出现提示，按提示输入x1=1 2 3 4 5 6 7 8，x2=2 4 6 8 1 3 4 5，N=8,程序运行结果如下：请输入序列x1=1 2 3 4 5 6 7 8请输入序列x2=2 4 6 8 1 3 4 5请输入序列N=8按回车键，程序运行：X1 = Columns 1 through 7 36.0000 -4.0000+9.6569i -4.0000+4.0000i -4.0000+1.6569i -4.0000 -4.0000-1.6569i -4.0000-4.0000i Column 8 -4.0000-9.6569iX2 = Columns 1 through 7 33.0000 -0.4142-4.8284i -7.0000+6.0000i 2.4142-0.8284i -7.0000 2.4142+0.8284i -7.0000-6.0000i Column 8 -0.4142+4.8284i X1和X2分别为x1,x2的离散傅立叶变换，X1和X2的图形如图4.3所示： 图4.3 x1的离散傅立叶变换当直接调用dft时,程序运行结果和上面的是相同的，从而实现了用一次FFT实现了两个序列的DFT。 5.心得体会从本次课设可以看出，利用MATLAB软件可以大大的简化计算，可以直观迅速的得到所需要的结果。MATLAB软件功能强大，通过本次强化训练更一步了解和掌握该软件的使用方法，更好的利用该软件解决一些比较复杂的问题。本次课设与信号与系统该门知识有关，所以必须掌握该课的基本知识，还要学会怎样利用MATLAB软件和实际结合起来，解决信号与系统中的问题。通过理论与实际的结合，可以更好的掌握该门学科知识，为后一阶段的进一步学习打下好的基础，同时，通过本次强化训练看出自己运用该软件的不熟练，可以及时的调整自己，认真学号怎样使用该软件以及掌握该门学科。通过本次课程设计我学到了很多新的东西，极大地拓宽了我的知识面,锻炼了能力，综合素质也得到较大提高，我感到收获不小。但在设计中也发现了大量问题，有些在设计过程中已经解决，有些还需要在今后慢慢学习，只要学习就会有更多的问题，有更多的难点，但也会有更多的收获。从这次的课程设计中，我真真正正的意识到，在以后的学习中，要理论联系实际，把我们所学的理论知识用到实际当中，由于此次课设我们用到了单片机的相关知识，虽然我们还未学过相关课程。但我们通过此次课设积极主动去查阅相关资料并向其他同学和学长请教，学到了不少东西，在这个过程中与其他同学积极探讨，培养了我的团队协作精神。这就是我在这次课程设计中的最大收获。参考文献1.郑君里，杨万理编. 信号与系统（第二版）（上、下册）.北京：高等教育出版社，2000.2.刘泉，江雪梅编.信号与系统. 北京：高等教育出版社，2006.3 .范世贵编.信号与系统常见题型解析及模拟题.西安：西北工业大学出版社，1999.4.赵红怡，张常年编著. 数字信号处理及其MATLAB实现.化学工业出版社.5.薛定宇，陈阳泉编.基于 MATLAB/Simulink 的系统仿真技术与应用 .北京：清华大学出版社，2002.6.梁虹，普园媛，梁洁编.信号与线性系统分析基于MATLAB的方法与实现 北京：高等教育出版社，2006.
