《高等数学基础(原“微积分”)》考试大纲.doc

高等数学基础（原“微积分”）考试大纲考试目的本考试为北京大学医学网络教育学院医学信息、药学等专业专科、本科层次学生20112012学年高等数学基础-微积分课程考试，旨在认定其学习是否达到了预期的课程要求，同时为北医网络学院下一步教学的实施及评估提供依据。考试总要求考生应重点掌握极限、导数或微分、积分的基本计算，理解微分学与积分学的联系-牛顿莱布尼兹公式，能够运用微积分基本计算，求函数曲线在某点的切线方程,会求一般曲边梯形的面积,及特殊封闭曲线所围图形的面积如: 计算圆面积,椭圆面积,掌握旋转体体积的定积分计算方法如:圆球体积，圆锥体体积的计算公式的推导,并具有求出简单函数最值的能力。至少掌握一种判定驻点是否是极值点的方法。了解微积分在医药行业中的基本应用。考试内容 试卷结构一览表部 分名 称题 号题 量分 值一函数概念题单选题3题12分二极限计算题单选题4题16分三函数连续性单选题2题8分四导数计算题单选题2题8分五罗必达法则单选题1题4分六导数应用题单选题3题12分七不定积分计算单选题2题8分八定积分计算单选题3题12分九定积分应用单选题3题12分十重要结论题单选题2题8分试卷形式试卷总分：100分考试时间：90分钟答题方式：试卷分为试题册、答题卡，所有题型均为客观题,答案涂在答题卡上试卷题型比例： 客观题：100% 单选或多选（本期考试为单选）总成绩构成 网上作业百题得分*30%+期末成绩*70%单选题25题 每题得分4分 共100分 每题四个选项 择最佳选项题型说明与题型示例一. 函数 （12分）l 会求简单函数的定义域 如的定义域为。题型示例 函数的定义域为：. 题型示例 函数的定义域为:1,2 曲线图形为半圆。注意与前题的区别。l 会判定基本初等函数的单调性: 是单调增加函数（图像）。题型示例 非单调增加函数的是：。l 会判定简单函数的有界性: 均有界。题型示例 ( ) 函数是无界的 （单调函数的最大值最小值在端点达到）。l 会判定函数是否是初等函数 知道分段函数是非初等函数如取整函数，符号函数。 ,为非初等函数l 知道基本初等函数的具体内容:常数-指数-幂-对数-三角-反三角及图像特点。l 知道多项式函数,有理函数,等是初等函数。题型示例 ( ) 函数是初等函数 A取整函数 B多项式函数题型示例 ( ) 函数是非初等函数 A符号函数 B多项式函数l 给定两个初等函数会求它们的复合函数如l 会计算复合函数的函数值.，则=1，练习思考题 与的图像有什么联系？l 会判定函数的奇偶性 , 均是奇函数; ,均是偶函数l 定义域关于原点对称（1） 则函数为奇函数； （2） 则函数为偶函数 如，（通分整理）题型示例 ( )是奇函数 l 一般定义域对称的函数可作奇偶分解 试试对多项式函数作奇偶分解如： l 会判定两个函数是否相同.函数的定义域不同故不同.l 基础知识掌握 基本初等函数图像（重点 单调 有界 奇偶 周期）l 一次函数 二次函数 绝对值函数 园与椭圆方程及图像 建议考生常用EXCEL去画复杂函数曲线，以帮助对抽象函数概念直观理解。y=(x-1)(3-x)的函数图象（二次抛物线）如图二 极限 （16分） l 基本极限 多种极限过程下有理函数的极限（四则运算法则）（！）数列 题型示例 （2）函数极限 分子分母约去公共“零因子”知道题型示例 注意“零因子”趋于0但不等于0.l 极限与无穷小的关系：函数以A为极限，则函数减去A为无穷小。（同一极限过程）l 有界变量乘无穷小仍为无穷小. l 重要极限熟记五个重要等价无穷小并会用此求不定式的极限; ; l 会区分用重要极限公式求极限与无穷小性质求极限的易混淆之处重点需要考察 此部分是否趋于0看： （1）趋于0： 均为利用重要极限； （2）不趋于0：；均为利用无穷小性质。题型示例 计算不正确的是（ ）A, B. ,C. , D. .l 用补充极限公式 请看例题体会公式简便性; 建议：借助EXCEL求函数或数列极限，帮你消除对计算的恐惧，引领你对数学问题的探索。 k n=kn(1+1/n)n1102.59374221002.704814310002.7169244100002.71814651000002.718268610000002.718287100000002.71828281E+082.71828291E+092.718282101E+102.718282111E+112.718282三 连续（8分） l 掌握函数连续点的两种定义，极限定义与无穷小定义函数增量为无穷小及意义。l 意义：自变量微小的改变只能引起因变量微小的改变或函数曲线在连续点连续。l 知道基本初等函数在其定义域内的连续性及定义域题型示例 指数函数在上连续. (A:正确 B:不正确) 余弦函数在上连续. (A.正确 B:不正确) l 知道初等函数在其定义域内连续.（基本初等函数在函数运算下保持连续性）l 知道多项式函数是初等函数,知道多项式函数的定义域是全体实数. 由此可知：多项式函数在上连续. (正确) 在上连续. (不正确) 点评:虽然函数是初等函数,但定义域为。l 知道连续函数的介值定理和最值定理的内容.l 会利用最值定理判定初等函数在某个连续区间上有界。l 会利用介值定理或零点定理判定多项式等简单代数方程是否有实根.l 利用函数的连续性求极限 ； ；（代入法）l 结论为初等函数，则 方程 必有实根 (正确)方程 必有实根 (正确)l 知道函数连续的应用范围 方程实根数目的判定（单调性结合导数） 初等函数连续性 求极限（最简单的一大类极限求法） 垂直渐近线（无穷型间断点） 连续曲边梯形面积的一个精确估计（微分与积分建立联系重要内容）建议：用EXCEL 可近似求出方程实根。将方程左端的部分定义为函数，求函数曲线与X轴的交点即为原方程的解。（解不一定唯一）。函数通常是初等函数，在定义域内连续。 解方程 即解，设 ，直观判断唯一解在0，1内。X COSX-X010.50.3025250.550.2253360.60.1460840.650.0648420.7-0.018310.75-0.103290.8-0.19002方程的根在0.65,0.7之间。自变量取值再细些可进一步得到方程的精度更高的解。介值定理。 示意图（见光盘） 导数概念由此引出，函数如果连续我们才讨论可导性。四.导数微分 （8分）l （！）速度（2）变化率（3）切线斜率（4）变动面积函数增量的精确估计（见上）1熟练掌握基本求导公式 基本初等函数的导数公式 （反三角求导不作要求）2. 四则求导法则题型示例 3. 复合求导法则 ; 题型示例 l 导数的极限定义 会利用导数的定义求函数在某点处的导数值. 题型示例 注意: 导数定义加连续性，故选B.l 会求多项式函数的导数l 知道导数值的几何意义是:函数曲线在相应点处的切线斜率.会求切线方程。题型示例 曲线在(1,1)点处切线的斜率是 l 会求简单函数的微分 知道导数与微分的关系 题型示例 五 罗必达法则求极限 （4分）l 无穷小比无穷小的极限题型示例 . A: ; B:;C:0; D: l 会结合等价无穷小替换用罗必达法则求极限题型示例 A: 0 B:1;C:;D: 因为l 知道等价无穷小替换的条件是乘除关系中使用.题型示例 A: 0; B:1;C:0;D: 计算过程:l 无穷大比无穷大的极限; 或 六. 导数应用 （12分）l 利用函数的导函数会求函数的驻点; ，l 掌握驻点是否是函数极值点判别法（左右导数符号变更的驻点是极值点） 则:. 所以该函数的驻点是 的解x=-1 题型示例 函数 的极小值点 A:;B:;C: ;D: l 利用二阶导数会求函数的凹凸区间. 所以拐点的横坐标是的解x=-2. 上二阶导数的符号为正数,故函数为凹.故有题型示例. 凹凸区间是: A:; B:C: D:l 会求三次多项式函数的拐点,知道三次多项数式函数一定存在拐点（曲线上的点）题型示例 的拐点坐标是 A:; B:C: D: l 会求简单函数特别是三次多项式曲线的极值点，并能判断极大值点还是极小值点。l 求曲线的切线方程 (点斜式) 知道切线的斜率的求法!题型示例 在点处的切线方程为。l 知道函数可微与连续的关系：可微一定连续，连续不一定可微。l 知道可微与可导的等价性l 知道导数运算与不定积分互为逆运算.题型示例 已知则l 会判定驻点是否是函数的极值点-什么性质的极值点.l 两种判定法1. 看导数在驻点左右是否变号. （见辅导）2. 看驻点处二阶导数值是否不为零. （见辅导）l 驻点未必是极值点 （见辅导）l 极值点未必是驻点 （可能是不可导点如绝对值函数在尖点）l 最值点未必是极值点（可能是边界点）l 会求简单函数的垂直渐近线,与水平渐近线. 导数与微分的关系.建议：EXCEL计算机辅助你求出函数的最大值的近似值。七.不定积分计算 （8分）l 重点掌握不定积分的基本公式,注意区分不定积分运算与导数运算的关系.（见导数部分）换元法 凑微分法 分部积分法l 不定积分的微分性质 : 需重点掌握l 凑微分: 需重点掌握l 熟练掌握不定积分的基本公式,扩展的基本公式的使用方法. l 换元练习 分部练习 l 变限积分的微分性质 变限积分-变动面积函数八 定积分计算 （12分）牛顿莱布尼兹公式求定积分l 定积分的概念 定积分的性质 （见教材）l 牛顿-莱布尼兹公式 题型示例 l f(x)是奇函数则;f(x)是偶函数则.l 会利用函数的奇偶分解简化定积分的计算 - 偶函数部分的积分题型示例 A:B: C: D: （参考函数奇偶分解）l 分部积分法求定积分 题型示例 A:0;B:1;C:2;D:3. l 换元法求定积分 题型示例 A:0；B:1；C:2；D:3；l 几何意义计算 (直接利用几何意义求定积分值有时较其他方法简单多)l 半园的面积,l 半园的面积九.定积分应用 （12分）l 掌握曲边梯形面积的积分表示题型示例与x轴及直线围成图形面积的积分表示是：（ ） A:; B:; C: ; D:l 掌握两条曲线所围封闭图形的面积如题型示例 所围图形面积的积分表示是（ ）结果是（ ）。 (弄清那条曲线在上?那条在下?及交点坐标?) 练习题 求与所围图形的面积及积分表示。l 掌握常用封闭曲线所围图形 （圆，椭圆的面积）圆的面积计算公式 公式推导方法很多 除经典的极限方法外，积分法。(了解公式的推导方法 一般中学课本均有介绍,简单地说，过圆心作射线将圆分成多块小扇形，然后拼成近似的矩形，长为 宽为R)圆面积分的积分表示自然其结果为。l 掌握椭圆的面积计算公式及推导过程,(最后一步用几何意义求简单)题型示例 椭圆的面积为可用定积分表示 A:;B:; ; C:; ; D: l 掌握常见旋转体体积公式的内容及推导曲边梯形绕X轴旋转的旋转体体积公式圆锥的体积公式l 圆锥体体积 l 圆球体积公式 思考题： 用EXCEL如何求出定积分的近似值。（精度可以很高）十重要结论 8分l 初等函数在其定义域内连续l 闭区间上的连续函数一定有界l 有界变量乘无穷小是无穷小l 可导函数就是可微函数，反之亦然。l 函数在其可微点处连续。l 函数在其连续点处未必可微。即连续未必可微。l 函数的单调性可以通过导函数的符号加以判定。l 闭区间上连续函数的最大值点未必是函数的极值点。l 函数可微的极值点一定是驻点。（导数为零的点）l 微积分的基本定理是牛顿莱布尼兹公式。l 球冠的面积公式是圆球的表面积是l 微元法是微积分应用的核心。l 椭圆的面积是l 理解闭区间上连续函数的有界性与介值性定理的重要意义。l 牛顿莱布尼兹公式条件结论及其证明思路。