全国10月自考概率论与数理统计（经管类）试题解析.doc

全国2012年10月概率论与数理统计（经管类）真题解析选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.已知事件A，B，AB的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P（A）=A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.5【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.50.30.2，故选择B.快解 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：AB=BA,AB=BA；（ii）结合律：（AB）C=A（BC）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（AB）C=（AC）（BC）， （AB）C=（AC）（BC）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为AB，且P（AB）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2.设F（x）为随机变量X的分布函数，则有A.F（-）=0，F（+）=0 B.F（-）=1，F（+）=0C.F（-）=0，F（+）=1 D.F（-）=1，F（+）=1【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择C。【提示】分布函数的性质： 0F（x）1； 对任意x1，x2（x1<x2），都有Px1<Xx2=F（x2）-F（x1）； F（x）是单调非减函数； ，； F（x）右连续； 设x为f（x）的连续点，则F（x）存在，且F（x）=f（x）.3.设二维随机变量（X，Y）服从区域D：x2+y21上的均匀分布，则（X，Y）的概率密度为A.f（x，y）=1 B.C.f（x，y）=D.【答案】D【解析】由课本p68，定义36：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S>0. 如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为，则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布. 本题x2+y21为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=，故选择D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）.4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E（2X1）=A.0 B.1C.3 D.4【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即=2，所以；又根据数学期望的性质有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择A.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X01概率qpA. 两点分布 分布列 数学期望：E（X）=P 方差：D（X）=pq。B. 二项分布：XB（n,p） 分布列：，k=0，1，2，n； 数学期望：E（X）=np 方差：D（X）=npqC. 泊松分布：XP（） 分布列：，k=0，1，2， 数学期望：E（X）= 方差：D（X）（2） 常用连续型随机变量的分布 A.均匀分布：XUa,b 密度函数：, 分布函数：， 数学期望：E（X）, 方差：D（X）.指数分布：XE（） 密度函数：, 分布函数：， 数学期望：E（X）, 方差：D（X）.C.正态分布（A）正态分布：XN（,2） 密度函数：，<x< 分布函数： 数学期望：E（X）, 方差：D（X）2， 标准化代换： 若XN（,2），则YN（0,1）.（B）标准正态分布：XN（0,1） 密度函数：，<x< 分布函数：，<x< 数学期望：E（X）0, 方差：D（X）1.2. 数学期望的性质 E（c）=c，c为常数； E（aX）=aE（X），a为常数； E（X+b）=E（X）+b，b为常数； E（aX+b）=aE（X）+b，a，b为常数。5.设二维随机变量（X，Y）的分布律则D（3X）=A. B.2C.4 D.6【答案】B【解析】由已知的分布律，X的边缘分布律为X12P2/31/3则，；根据方差的性质有 D（3X）=9D（X）=2，故选择B.【提示】（1）离散型随机变量的方差：定义式: ；计算式：D（X）=E（X）2-E（X）2（2）方差的性质 D（c=0），c为常数； D（aX）=a2D（X），a为常数； D（X）+b）=D（X），b为常数； D（aX+b）=a2D（X），a，b为常数。6.设X1，X2，Xn为相互独立同分布的随机变量序列，且E（X1）=0，D（X1）=1，则A.0 B.0.25C.0.5 D.1【答案】C【解析】不等式等价于不等式，由独立同分布序列的中心极限定理，代入=0，=1，则故选择C.【提示】独立同分布序列的中心极限定理：（课本P120，定理54）：设X1，X2，Xn，是独立同分布的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差E（Xi）=，D（Xi）=2（i1，2，）.记随机变量的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有，其中（x）为标准正态分布的分布函数。应用：不论X1，X2，Xn，服从什么分布，当n充分大时，（1）近似服从正态分布；（2）近似服从正态分布，其中，D（Xi）=2（i1，2，）。（2）对于大数定律与中心极限定理，除了清楚条件和结论外，更重要的是理解它们所回答的问题，以及在实际中的应用。（课本P118，看书讲解）7.设x1,x2，xn为来自总体N（，2）的样本，2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是A.B.C.D.【答案】D【解析】根据统计量定义，选择D。【提示】课本p132，定义61：设x1,x2,xn为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2,xn）中包含任何未知参数，则称T为统计量. 8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是A.置信度越大，置信区间越长 B.置信度越大，置信区间越短C.置信度越小，置信区间越长 D.置信度大小与置信区间长度无关【答案】D【解析】选项A，B，C不正确，只能选择D。【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关，还与样本容量有关，其中的规律是：在样本容量固定的情况下，置信度增大，置信区间长度增大，区间估计的精度降低；置信度减小，置信区间长度减小，区间估计的精度提高。9.在假设检验中，H0为原假设，H1为备择假设，则第一类错误是A.H1成立，拒绝H0 B.H0成立，拒绝H0C.H1成立，拒绝H1 D.H0成立，拒绝H1【答案】B【解析】假设检验中可能犯的错误为：第一类错误，也称“拒真错误”；第二类错误，也称“取伪错误”。无论“拒真”还是“取伪”，均是针对原假设而言的。故选择B。【提示】（1）假设检验全称为“显著性水平为的显著性检验”，其显著性水平为犯第一类错误的概率；而对于犯第二类错误的概率没有给出求法；（2）当样本容量固定时，减小犯第一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率；如果同时减小犯两类错误的概率，只有增加样本容量。10.设一元线性回归模型：且各i相互独立.依据样本（xi,yi）（i=1,2,n）得到一元线性回归方程，由此得xi对应的回归值为，yi的平均值，则回归平方和S回为A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据回归平方和的定义，选择C。【提示】1. 根据回归方程的的求法，任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程；2.在回归方程的显著性检验的F检验法（课本p188）中，要检验所求回归方程是否有意义，必须分析yi随xi变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。为此，选择了一个不变值yi的平均值为基准，总偏差为此式称为平方和分解式。可知，S回反映了观察值yi受到随机因素影响而产生的波动，S回反映了观察值yi偏离回归直线的程度。所以，若回归方程有意义，则S回尽可能大，S剩尽可能小。非选择题部分二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为_.【答案】0.4【解析】设A，B分别表示甲、乙两人击中目标的两事件，已知A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.50.4故填写0.4.【提示】二事件的关系（1）包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且0P（C）1；（2）相等关系：若且，则事件A与B相等，记做AB，且P（A）=P（B）；（3） 互不相容关系：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为AB=，且P（AB）=0；（4）对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：；，.（5）二事件的相互独立性：若P（AB）=P（A）P（B）, 则称事件A, B相互独立；性质1：四对事件A、B，、A，A、，、其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：若A, B相互独立，且P（A）>0, 则P（B|A）=P（B）.12.设A，B为两事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，则P（|）=_.【答案】【解析】，由1题提示有，所以，所以，故填写.【提示】条件概率：事件B（P（B）>0）发生的条件下事件A发生的概率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件A，B满足P（AB）=P（），若P（A）=0.2，则P（B）=_.【答案】0.8【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填写0.8.【提示】本题给出一个结论：若，则有.X12345，P2a0.10.3a0.314.设随机变量X的分布律 则a=_.【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以 a=0.1，故填写0.1.【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，3，（1）pk0，k1，2，3，；（2）；（3）.15.设随机变量XN（1，22），则P-1X3=_.（附：（1）=0.8413）【答案】0.6826【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=2×0.8413-1=0.6826【提示】注意：正态分布标准化代换为必考内容.16.设随机变量X服从区间2，上的均匀分布，且概率密度f（x）=则=_.【答案】6【解析】根据均匀分布的定义，-2=4，所以=6，故填写6.17.设二维随机变量（X，Y）的分布律01200.10.15010.250.20.120.100.1则PX=Y=_.【答案】0.4【解析】PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填写0.4.18.设二维随机变量（X，Y）N（0，0，1，4，0），则X的概率密度fX （x）=_.【答案】，-<x<+【解析】根据二维正态分布的定义及已知条件，相关系数p=0，即X与Y不相关，而X与Y不相关的充要条件是X与Y相互独立，则有f（x,y）=fx（x）fy（y）；又已知（X,Y）N（0,0,1,4,0），所以XN（0,1），YN（0,4）。因此，.故填写，【提示】本题根据课本p76，【例318】改编.19.设随机变量XU（-1，3），则D（2X-3）=_.【答案】【解析】因为XU（-1，3），所以，根据方差的性质得故填写.【提示】见5题【提示】。20.设二维随机变量（X，Y）的分布律-11-10.250.2510.250.25则E（X2+Y2）=_.【答案】2【解析】（-1）2+（-1）2×0.25+（-1）2+12 ×0.25+12+（-1）2 ×0.25+（12+12） ×0.25=2故填写2.【提示】二维随机变量函数的期望（课本p92，定理44）：设g（X,Y）为连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数g（X,Y），（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数收敛，则；（2）若（X,Y）为连续型随机变量，积分收敛，则.21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数，有=_.【答案】1【解析】根据贝努利大数定律得1，故填写1.【提示】1. 贝努利大数定律（课本p118，定理52）：设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数，有1；2.认真理解贝努利大数定律的意义.22.设x1，x2，xn是来自总体P（）的样本，是样本均值，则D（）=_.【答案】【解析】已知总体XP（），所以D（X）=，由样本均值的抽样分布有故填写.【提示】样本均值的抽样分布：定理61（课本p134）设x1，x2，xn是来自某个总体X的样本，是样本均值， （1）若总体分布为N（,2），则的精确分布为；（2）若总体X分布未知（或不是正态分布），但E（X）=，D（X）=2，则当样本容量n充分大时，的近似分布为.23.设x1，x2，xn是来自总体B（20，p）的样本，则p的矩估计=_.【答案】【解析】因为总体XB（20,p），所以E（X）=20p，而矩估计，所以 p的矩估计，故填写。【提示】点估计的常用方法（1）矩法（数字特征法）：A.基本思想：用样本矩作为总体矩的估计值；用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。B.估计方法：同A。（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值。B.定义：设总体的概率函数为p（x;），其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1,x2, ,xn是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；若某统计量满足，则称为的极大似然估计。C.估计方法 利用偏导数求极大值i）对似然函数求对数ii）对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii）解方程或方程组得即为的极大似然估计。 对于似然方程（组）无解时，利用定义：见教材p150例710； 理论根据：若是的极大似然估计，则即为g（）的极大似然估计。方法：用矩法或极大似然估计方法得到g（）的估计，求出。24.设总体服从正态分布N（，1），从中抽取容量为16的样本，ua是标准正态分布的上侧分位数，则的置信度为0.96的置信区间长度是_.【答案】【解析】1-=0.96，=0.04，所以的置信度为0.96的置信区间长度是，故填写.【提示】1. 本题类型（单正态总体，方差已知，期望的估计）的置信区间为。2.记忆课本p162，表71，正态总体参数估计的区间估计表。25.设总体XN（，2），且2未知，x1，x2，xn为来自总体的样本，和分别是样本均值和样本方差，则检验假设H0: =0;H1:0采用的统计量表达式为_.【答案】【解析】【提示】1. 本题类型（单正态总体，方差未知，对均值的假设检验）使用t检验，统计量为。2.记忆课本p181，表84，各种假设检验（检验水平为a）表。三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06.（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.【分析】本题考查全概公式和贝叶斯公式。【解析】设A1、A2分别表示“第一、第二台车床加工的零件”的事件，B表示“合格品”，由已知有，（1）根据条件概率的意义，有，所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）。（2）。【提示】全概公式和贝叶斯公式：（1）全概公式：如果事件A1,A2,An满足 A1,A2,An互不相容且P（Ai）>0 （1,2,n）； A1A2An=，则对于内的任意事件B，都有；（2）贝叶斯公式：条件同A，则，I=1,2,n。（3）上述事件A1,A2,An构成空间的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实际意义来选择。27.已知二维随机变量（X，Y）的分布律-10100.30.20.110.10.30求：（1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）.【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。【解析】（1）根据二维随机变量（X,Y）的联合分布律，有X的边缘分布律为X01P0.60.4Y的边缘分布律为Y101P0.40.50.1（2）由（1）有E（X）=0×0.6+1×0.4=0.4，E（Y）=（-1）×0.4+0×0.5+1×0.1=-0.3又+1×（-1）×0.1+1×0×0.3+1×1×0=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4×（-0.3）=0.02。【提示】协方差：A）定义：称E（X-E（X）（Y=E（Y）为随机变量X与Y的协方差。记做Cov（X,Y）.B）协方差的计算 离散型二维随机变量：； 连续性二维随机变量：； 协方差计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）； 特例：cov（X,Y）=D（X）.C）协方差的性质：Cov（X,Y）Cov（Y,X）；Cov（aX,bY）abCov（X,Y），其中a，b为任意常数；Cov（X1+X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）；若X与Y相互独立，Cov（X,Y）0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件；四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布N（75，2），已知85分以上的考生数占考生总数的5%，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。【解析】设考生的数学成绩为随机变量X，已知XN（75,2），且其中 ZN0,1。所以。因此，考生成绩在65分至85分之间的概率约为0.9.29.设随机变量X服从区间0，1上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.求：（1）X及Y的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）PX>Y.【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。【解析】由已知 XU0,1，YE（1），（1）X的概率密度函数为，Y的概率密度函数为（2）因为X与Y相互独立，所以f（x,y）=f（x）f（y），则,（3）积分区域D如图所示，则有D：【提示】1. 1. 随机变量X，Y相互独立。2.二重积分化二次积分的方法。3.定积分的第一换元法。五、应用题（10分）30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量XN（500，22）（单位：g），生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常（=0.05）?（附：u0.025=1.96）【分析】本题考查单正态总体、方差已知、均值的假设检验。【解析】设假设检验的假设H0：=0=500；H1：0=500，已知XN（500,22），所以选择适合本题的统计量u统计量，由检验水平=0.05，本题是双侧检验，所以查表得临界值从而得到拒绝域 根据样本得到统计量的样本观察值因为，所以拒绝H0，即可以认为这台包装机的工作不正常。【提示】假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真。如对总体均值检验，原假设为H0：=0，备择假设为下列三种情况之一：H1：，其中i）为双侧检验，ii），iii）为单侧检验。2.选择适当的检验统计量，满足： 必须与假设检验中待检验的“量”有关； 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。3.求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W。4.求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域w内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0。