自考 概率论与数理统计串讲讲义 第四章随机变量的数字特征.doc

第四章 随机变量的数字特征1 单个随机变量的期望例1 设 ，则例2 设X的分布密度为，则2 单个随机变量函数的期望设X为随机变量，是普通函数，则是随机变量，且 *例3 设X的分布如例1，求的期望解：例4 设X的分布密度如例2，求的期望解：当（其中）时，即为X的方差例4 设则 ，（方差大者，取值分散）注：是重要常用公式例5 设随机变量X具有概率密度，求DX解：因是分段函数，故求时也要随之分段积分于是3函数的期望设是普通函数，则是随机变量，其数学期望EZ等于例6 设分布律为 ，则例 设的分布密度，则 当时，其中，则是X，Y的协方差，即 （重点）当时，其中 *为X，Y的相关系数期望的重要性质（1） （常数）（2）（3） 推广：（4）若X，Y相互独立，则方差的重要性质（1），其中c为常数（2）特别（3）若X，Y相互独立，则 （4）例 设X，Y相互独立，且，则待添加的隐藏文字内容3协方差的运算性质：（1）（2），其中a，b为常数（3）（4）若X，Y相互独立，则，从而，即X与Y不相关注：一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关（即）；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y独立。重要特例是：若为正态分布，则X，Y独立等价于X，Y不相关（即）例 设的分布律为 ，求解：易知 故，, ， *例 设，则 *例 设为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_（选择题）（A）X，Y独立 （B） （C）（D）解法1（排除法）：排除（A），因X，Y独立不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由服从正态分布及知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选（C）解法2（直接证明）：当时，故X，Y不相关；反之亦然。