随机过程(汪荣鑫版)第一、二、四章习题答案pdf.doc
第一章随机过程的基本概念1设随机过程 X (t) = X cosw0 t,-¥ < t < +¥ ，其中w0 是正常数，而 X 是标准正态变量。试求 X （t）的一维概率分布解： 当 cosw0 t = 0即w0 t = (k +1)p即 t =1(k +1)p 时2w02px(t) = 0= 1若c o ws0 t ¹ 0即t ¹1(k +1)p 时2w0F (x, t) = PX (x) £ x= PX cosw0t £ x当c o ws0 t > 0 时此时若 c o ws0 t同理有ìxü1x-x 22F (x, t) =PíX£ý=cosw0t edxîcosw0tþ2p ò0¶F (x, t )1-x21f (x, t) =e2 c o 2sw0t׶xc o sw0 t2p< 0 时ìxüìxüF (x, t) =PíX ³ý= 1 - Píx <ýîcosw0t þîcosw0t þ1xe-x 2= 1 -cosw0t2 dx2pò01-x21f (x, t) = -e2 c o 2swt×0c ows0 t2p综上当： cosw0 t ¹ 0即t ¹1(k +1)p 时w0211-x2f (x, t) =e2 cos2w0t| cosw0 t |2p2利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为1ìcospt, 出现正面X (t) = íî 2t, 出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1 2 。试确定 X (t) 的一维分布函数 F (x, 2)和 F (x,1) ，以及二维分布函数 F (x1 , x2 ; 12 ,1)解：（1）先求 F (x,1)2ìp出现正面 ì0æ1 öïcos2,出现正面显然 X ç÷ = í= í1出现反面è2 øï2 -,出现反面 î12îæ1 ö随机变量 X ç÷ 的可能取值只有 0，1 两种可能，于是è2 øìæ1 öü1ìæ1 öü1PíX ç÷= 0ý=PíX ç÷= 1ý=îè2 øþ2îè2 øþ2所以ì0x < 0æ1 öï1F ç x,÷=í0 £ x < 1è2 ø2ï1x ³ 1î再求 F（x,1）ìcosp出现正面ì-1出现正面显然 X (1) = í= íî2出现反面 î2出现反面pX (1) = -1= pX (1) = 2=12所以ì0x < -1ï1F (x,1) =ï-1 £ x < 2í2ïï1x ³ 2î1(2)计算 F (x1 , x2 ; 2 ,1)10出现正面-1出现正面ììX () = í出现反面, X (1) = í出现反面2î1î2于是2æ1öìæ1 öüFx ç x1, x2;,1÷=píX ç÷ £ x1 ; X (1) £ x2 ýè2øîè2 øþì0x1 < 0- ¥ < x2 < +¥ï或 x1³ 0,x2 < -1ïï10 £ x1 < 1,2 £ x2= í2ï或 x1 > 1,ï-1 £ x2 < 2ïî1x1 > 1,x2³ 23设随机过程 X (t ),-¥ < t < +¥共有三条样本曲线X (t,v1 ) = 1,X (t,v 2 ) = sin t,X (t,v 3 ) = cos t且 p(v1 ) = p(v 2 ) = p(v 3 ) =1, 试求随机过程 X (t )数学期望 EX(t) 和相关函数3Rx(t1,t2)。解：数学期望mX (t) = EX (t) = 1×1+ sin t ×1+ cost ×1=1+1(sin t + cost)33333=1(1 + sin t + cost)3相关函数R(t , t) = F X (t ) X (t) = 1×1+ sin t ×sin t×1+1costcostX12123123312=11 + cos(t- t)3124设随机过程X (t) = e- Xt(t > 0)其中 X 是具有分布密度 f(x)的随机变量。试求 X(t)的一维分布密度。 解：对于任意 t>0 因为FX (x, t) = P(x(t) £ x) 当 x>0 时- Xtìln x üFX (x, t) = Pe£ x= P- Xt £ ln x= PíX ³ -ýît þìln x ü- ln x= 1 - píX < -ý= 1 -ò-¥ tf (x )dxît þ¶æln x ö1f X(x, t) =FX(x, t) =f ç-÷׶xxtèt ø3当 x £ 0 时 FX (x, t) = pe- Xt £ x= 0 随机过程 X (t) 的一维分布密度为1æln x öf X(x, t) =f ç-÷xtèt ø5在题 4 中，假定随机变量 X 具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数 字期望 EX (t) 和自相关函数 Rx (t1 , t2 )解： 随机变量 X 的概率密度函数为ì 1f X (x) =ïx Î (0,T )íT其它ï 0î因此：EX (t) =T e-xt f(x)dx = T e-xt ×1dx =1T e-xt dx =1(-1)e-xtTXò 0ò 0TT ò 0Tt0=11 - e-tT> 0tTtRX (t1 , t2 ) = EX (t1 ) X (t2 )= Ee- Xt1 e- Xt2 = Ee- X (t1 +t2 ) = ò 0T e -x(t1 +t2 ) f X(x)dx =1(1 - e -T (t1 +t2 ) )T (t1 + t2 )6设随机过程 X (t),-¥ < t < +¥在每一时刻 t 的状态只能取 0 或 1 的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的 t 有PX (t) = 1= pPX (t) = 0= 1 - p其中 0<p<1。试求 X(t)的一维和二维分布，并求 x(t)的数学期望和自相关函数解：一维分布Px(t) = 1= pPx(t) = 0= 1 - p二维分布：PX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1= p 2pX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 0= p(1 - p) pX (t1 ) = 0, X (t2 ) = 1= (1 - p) p pX (t1 ) = 0, X (t2 ) = 0= (1 - p)2X(t)的数字期望4mX (t) = EX (t) = 1× pX (t) = 1+ 0 × pX (t) = 0= p随机过程 X (t)的自相关函数为RX (t1 , t2 ) = EX (t1 ) X (t2 )= 1× pX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1+0 × PX (t1 ) = 1且 X (t2 ) = 0 ； X (t1 ) = 0 且 X (t2 ) = 1 ； X (t1 ) = 0 且 X (t2 ) = 0= PX (t1 ) = 1 × PX (t2 ) = 1= p 27设 X n , n ³ 1是独立同分布的随机序列，其中 X j 的分布列为Xj1-1J=1，2，1-1P22n定义Yn = å X j 。试对随机序列Yn , n ³ 1求j =1（1）Y1 的概率分布列；（2）Y2 的概率分布列；（3）Yn 的数字期望；（4）Yn 的相关函数 RY（n, m）。解：（1） Y1=X1故概率分布则为 PY = 1=1PY = -1=11212（2） Y2 = X 1 + X 2Y2 可能的取值为 0 或 2，-2PY2 = 0= PX1 + X 2 = 0= PX1 = 1, X 2 = -1+ PX1 = -1, X 2 = 1= PX1 = 1PX 2 = -1+ PX1 = -1PX 2 = 1=1+1=1442PY = 2= PX+ X= 2= PX= 1, X= 1=1212214PY = -2= PX+ X= -2= PX= -1, X= -1=1212214n（3）Yn = å X j的数字期望为j =1EYn（4）自样关函数æån= Eçç X è j =1RY (m, n)ön÷= åEX jj ÷øj =1= EY (m)Y (næ11ö= åç1×+(-1)÷= 022j =1èøn)=émmùEêå X j å X kúë j =1k =1û当 mn 时énæåR (m, n) = EêçXYçjêj =1ëèm+ å Xj =n+1nùén2mnùöæöåååj å÷Xk ú= EêçX÷+XXúj ÷çj ÷kûøk =1ûëøj =n+1k =1úêè j =1ú5
