高数下册总复习知识点.ppt
高数下册总复习知识点归纳,第八章 向量代数与空间解析几何总结,各章节知识点归纳,第十张：重积分，三重积分,第十一章：曲线积分与曲面积分,第十二章：无穷级数,第九章多元函数微分法,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,1、向量的坐标表示法,（一）向量代数,第八章 向量代数与空间解析几何总结,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,它们距离为,两点间距离公式:,2、数量积,(点积、内积),数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,3、向量积,(叉积、外积),向量积的坐标表达式,方程特点:,1.旋转曲面,（二）空间解析几何,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,旋转抛物面,旋转椭球面,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,2.柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 母线/轴,双曲柱面 母线/轴,抛物柱面 母线/轴,3.二次曲面,定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,（1）椭球面,（2）椭圆抛物面,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,（3）马鞍面,（4）单叶双曲面,（5）圆锥面,4.空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,C,C关于 的投影柱面,C在 上的投影曲线,设曲线,则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：,所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：,3 空间曲线在坐标面上的投影,5.平面,1 平面的点法式方程,2 平面的一般方程,3 平面的截距式方程,4 平面的夹角,5 两平面位置特征：,/,重合,1、偏导数概念,第九章多元函数微分法,2、全微分公式,用定义证明可微与不可微的方法,可微,不可微,多元函数连续、可导、可微的关系,有极限,3、关系,4、多元复合函数求导法则,定理1 若函数,在点 处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,中间变量均为一元函数的情形,在点t处可导，,公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.,5、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,定理1 设函数,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,的某一邻域内满足,满足条件,导数,在点,6、隐函数的求导法则,定理2,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足,在点,若函数 满足:,某一邻域内可唯一确,定理3,的某一邻域内具有连续偏导数,设函数,则方程组,的单值连续函数,计算偏导数按直接法求解.,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,在点,7、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1)空间曲线的切线与法平面,(关键:抓住切向量),1）空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,(取 为参数),2）空间曲线方程为,(取 为参数),切线方程为,法平面方程为,()曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,(关键:抓住法向量),曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,则,（特殊情形）,8、方向导数,记为,（1）方向导数的定义及存在的充分条件,三元函数方向导数的定义,方向导数的存在性及其计算方法:,定理,那么函数在,该点沿任一方向 的方向导数存在,且有,说明:,可微,沿任一方向的方向导数存在.,反之不一定成立.,(2)梯度的概念,记为,梯度与方向导数的关系,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.,1、二重积分的定义,第十张：重积分，三重积分,3、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,求二重积分的方法步骤:,1.作图求交点；,2.选择积分次序；,4.计算.(先内积分后外积分;计算内积分时把,在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序.,(把D写成不等式形式)；,外积分变量看成常数),3.确定积分限,1、选择积分次序,(1)首先被积函数要易积分，能积分；,(2)积分区域D尽量少分块.,2、确定积分限,计算二重积分的两个关键：,内限平行线穿越法.,外限 投影法；,（2）极坐标系下,2、定限方法,内限（的限）射线穿越法.,外限（的限）看 夹在那两条射线之间；,利用极坐标计算二重积分应注意：,何时用极坐标？,1、当积分区域为圆域或其一部分时；,2、被积函数中含有 或 时.,3、用直角坐标求不出的积分.,4、二重积分的应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积,设 上连续，,(3)求质量,6、三重积分的几何意义,7、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,5、三重积分的定义,
