高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系及诱导公式(有详细答案)汇总.doc

§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2下列各角的终边与角的终边的关系角2k(kZ)图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线yx对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角(×)(2)六组诱导公式中的角可以是任意角(×)(3)若cos(n)(nZ)，则cos .(×)(4)已知sin ，cos ，其中，则m<5或m3.(×)(5)已知(0，)，sin cos ，则tan 的值为或.(×)(6)已知tan ，则的值是.()2已知sin()log8，且(，0)，则tan(2)的值为()A B. C± D.答案B解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .3若tan 2，则的值为_答案解析原式.4已知cos，则sin_.答案解析sinsinsincos.5已知函数f(x)则ff(2 015)_.答案1解析ff(2 015)f(2 01515)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.题型一同角三角函数关系式的应用例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tan x_.(2)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2等于()A B. C D.思维启迪(1)应用平方关系求出sin x，可得tan x；(2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求答案(1)(2)D解析(1)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x，tan x.(2)sin2sin cos 2cos2.思维升华(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(1)已知，那么的值是()A. B C2 D2(2)已知tan 2，则sin cos _.答案(1)A(2)解析(1)由于·1，故.(2)sin cos .题型二诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知<<2，cos(7)，求sin(3)·tan的值思维启迪(1)将看作一个整体，观察与的关系(2)先化简已知，求出cos 的值，然后化简结论并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)·tansin()·sin ·tansin ·sin ·cos .思维升华熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧(1)已知sin，则cos的值为_(2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，则·tan2()_.答案(1)(2)解析(1)coscossin.(2)方程5x27x60的根为或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式·tan2tan2.题型三三角函数式的求值与化简例3(1)已知tan ，求的值；(2)化简：.思维启迪三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式解(1)因为tan ，所以.(2)原式1.思维升华在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简(1)若为三角形的一个内角，且sin cos ，则这个三角形是()A正三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形(2)已知tan 2，sin cos <0，则_.答案(1)D(2)解析(1)(sin cos )212sin cos ，sin cos <0，为钝角故选D.(2)原式sin ，tan 2>0，为第一象限角或第三象限角又sin cos <0，为第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin cos ，(0，)，则tan _.思维启迪利用同角三角函数基本关系，寻求sin cos ，sin cos 和sin cos 的关系规范解答解析方法一因为sin cos ，(0，)，所以(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .由根与系数的关系，知sin ，cos 是方程x2x0的两根，所以x1，x2.因为(0，)，所以sin >0，cos <0.所以sin ，cos .所以tan .方法二同法一，得sin cos ，所以.弦化切，得，即60tan2169tan 600，解得tan 或tan .又(0，)，sin cos >0，sin cos <0.所以(，)，所以tan .方法三解方程组得，或(舍)故tan .答案温馨提醒三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用利用已知条件sin cos 和公式sin2cos21可列方程组解得sin cos ，sin cos ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin 、cos .各解法中均要注意条件(0，)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失误与防范1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1是第四象限角，tan ，则sin 等于()A. B C. D答案D解析tan ，cos sin ，又sin2cos21，sin2sin2sin21.又sin <0，sin .2已知和的终边关于直线yx对称，且，则sin 等于()A B. C D.答案D解析因为和的终边关于直线yx对称，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin .3已知sin()2sin()，则sin ·cos 等于()A. B C.或 D答案B解析由sin()2sin()得sin 2cos ，所以tan 2，sin ·cos ，故选B.4已知f()，则f的值为()A. B C. D答案A解析f()cos ，fcoscoscos .5已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2答案C解析当k2n(nZ)时，A2；当k2n1(nZ)时，A2.故A的值构成的集合为2,2二、填空题6化简：_.答案1解析原式1.7如果cos ，且是第一象限的角，那么cos()_.答案解析cos ，为第一象限角，sin ，cos()sin .8化简：_.答案1解析原式1.三、解答题9已知sin ，<<.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又<<，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根，求cos3()sin3()的值解由已知原方程的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.又，(sin cos )212sin cos ，则a22a10，从而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1已知sin ，(，)，则sin(5)sin()的值是()A. B C D.答案B解析sin ，(，)，cos .原式sin()·(cos )sin cos ×.2当0<x<时，函数f(x)的最小值是()A. B. C2 D4答案D解析当0<x<时，0<tan x<1，f(x)，设ttan x，则0<t<1，y4.当且仅当t1t，即t时等号成立3已知cosa (|a|1)，则cossin的值是_答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.4已知f(x)(nZ)(1)化简f(x)的表达式；(2)求f()f()的值解(1)当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)sin2x；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)sin2x，综上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2sin2sin2()sin2cos21.5已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值解(1)sin Acos A，两边平方得12sin Acos A，sin Acos A.(2)由sin Acos A<0，且0<A<，可知cos A<0，A为钝角，ABC是钝角三角形(3)(sin Acos A)212sin Acos A1，又sin A>0，cos A<0，sin Acos A>0，sin Acos A.由，可得sin A，cos A，tan A.