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第一章：集合与函数的概念第一课时：集合1.1集合的含义与表示1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做aA，反之，元素a不属于集合A，记做aA。1.1.2集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y；无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集NN+或N*ZQR1.1.4集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；（2）方程x2=4的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。解：练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1） 平面直角坐标系内x轴上方的一些点；（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；（3） 一元二次方程x2+bx-1=0的根；（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形（5） x2,x2+1,x2+2；（6） y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a0)；（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8） 新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例：集合A=y|y=x2+1,集合B=(x,y)| y=x2+1,(A、B中xR,yR)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）A、2A，且2B B、（1,2）A，且（1,2）BC、2A，且（3,10）B D、（3,10）A，且2B解：C练习：3.1415 Q； Q； 0 R+； 1 （x,y）|y=2x-3； -8 Z；三有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是确定性互异性无序性例：集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中nZ，求n的取值范围。解：n是不等于1且不等于2的整数。练习:1. 已知集合M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。2. 已知集合A=x，,1,B=x2,x+y,0，若A=B，则x2009+y2010的值为 ，A=B= .3. (1)若-3a-3,2a-1,a2-4求实数a的值； (2)若 m,求实数m的值。4.已知集合M=2，a,b,N=2a,2,b2，且M=N,求a,b的值。5.已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR，(1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围。四集合的表示法：三种表示方法练习；1. 用列举法表示下列集合。（1） 方程 x2+y2=2d的解集为 ； x-y=0（2）集合A=y|y=x2-1,|x|2,xZ用列举法表示为 ；（3）集合B=Z|xN用列举法表示为 ；（4）集合C=x|=+，a，b是非零实数用列举法表示为 ；2.用描述法表示下列集合。（1）大于2的整数a的集合；（2）使函数y=有意义的实数x的集合；（3）1、22、32、42、3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）A=四边形，B=梯形，C=平行四边形，D=菱形，E=矩形,F=正方形；（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn图表示为： 。五有关集合的分类：六集合概念的综合问题：练习1. 若，则t的值为 _；2. 设集合A=y|y=x2+ax+1，xR,B=(x,y)|y= x2+ax+1, xR ,试求当参数a=2时的集合A和B；3. 已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,求（1）若集合A为空集，则a的取值范围；（2）若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。1.1课后作业：1.判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式的整数解的全体；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。2.用符号或填空：（1）2_ （2）_（3）0_（4）_ （5）0_（6）（7）（8）（9）3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合4.用适当的方法表示：（1）(x1)20的解集；（2）方程组的解集；（3）方程3x2y10的解集；（4）不等式2x10的解集；（5）奇数集；（6）被5除余1的自然数组成的集合。5.集合1，a2中a的取值范围。1.2集合间的基本关系1.2.1子集：一般地，两个集合A和B，如果 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）,读作“A包含于B”（或“B包含A”） 。如右图示。比如说，集合A=1、2、3，集合B=1、2、3、4、5，那么，集合A中的元素1、2、3都属于集合B，所以，集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）。1.2.2集合相等：如果集合AB且BA时，集合A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记做A=B。或AB。1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA） 也可记作：（或）1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集）本节精讲：一 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： 若集合AB且BA时，则A=B；反之，如果A=B，则集合AB且BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B，只需要证明AB和BA都成立就行了。 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合，且满足，求实数的取值范围.解：练习：1.已知，且，求实数p、q所满足的条件. 2. 若，则（ ）. A. B. C. D. 3. 已知集合Px|x2x60与集合Qx|ax10，满足QP，求a的取值组成的集合A。二 有关子集以及子集个数的问题：例1：判定以下关系是否正确 (2)1，2，33，2，1 (4)00 （5）=0 （6）0 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素0的集合非空例2：列举集合1，2，3的所有子集分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个解：含有0个元素的子集有：含有1个元素的子集有1，2，3；含有2个元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有3个元素的子集有1，2，3共有子集8个例3：已知a、bAa、b、c、d,则满足条件集合A的个数为_分析：A中必含有元素a，b，又A是a，b，c，d子集，所以满足条件的A有：a，b，a，b，c，a，b，d，a、b、c、d。解：共3个例4：设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 。 解：A例5：已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C分析:逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7答:C4或7或4，7练习： A1个 B.2个 C.3个 D.4个 是 A8个 B.7个 C.6个 D.5个4设I=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，5，B=0,则:0_A 0_B CIA_CIB5已知A=x|x=(2n1)， nZ，B=y|y=(4k±1)，kZ，那么A与B的关系为 6.已知集合A=1,3，a,B=1,a2-a+1,且AB，求a的值。7已知集合A=xR|x23x3=0，B=yB|y25y6=0，8已知集合A=x|x=a21，aN，B=x|x=b24b5，bN，求证：A=B。课后作业：A组1.写出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若，则。其中正确的有（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个3.设，则A，B的关系是_4.已知，求实数的取值范围。5.已知集合,集合，若，则实数的值。6.设集合，若A是B的真子集，求实数的取值范围。7.用适当的符号填空： _ 8.判断下列两个集合之间的关系：,是8的约数 _， _,是4与10的公倍数 _9.设集合，若，求实数的值。10.下列选项中的M与P表示同一集合的是（ ）A、，B、，C、，D、，11.试写出满足条件Æ的所有集合M12.写出满足条件的所有集合M13.已知，求14.已知集合,，若A=B，求的值。15.已知集合,，求满足AB的实数的取值范围。16.设集合,且BA，求的值。B组1.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若ÆA，则Æ其中正确的是（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个2.已知集合，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有（ ） A、13个 B、12个 C、11个 D、10个3.设集合，则（ ） A、M=N B、MN C、 D、NM4.已知集合,，且BA，则实数的取值范围是_。5.已知集合,若集合A有且仅有2个子集，则的取值是（ ） A、1 B、 C、0，1 D、，0，16.设，集合，则（ ） A、1 B、 C、2 D、7.已知,则_8.已知,则_9.已知集合,，若Æ且BA，求实数的值。10.如果数集中有3个元素，那么不能取哪些值？11.不等式组的解集为，试求及12.已知集合, （1）、若，求实数的取值范围。 （2）、若，求A的非空真子集的个数。1.3集合的基本运算1.3.1并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB,(读作“A并B”).即 AB=x|xA,或xB。如图1-3-1所示。例如，设A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求AB.解: AB=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8UCUA再比如说，设集合A=x|-1<x<2,集合B=x|1<x<3，求AB.A解: AB=x|-1<x<2 x|1<x<3=x|-1<x<3 图1-3-1 图1-3-2 图1-3-31.3.2交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作AB,(读作“A交B”),即AB=x|xA,且xB。如图1-3-2所示。例如，设A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求AB.解: AB.=4,5,6,83,5,7,8=5 ,8再比如说，新华中学开运动会,设A=x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学B=x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学,求AB.解:AB=x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.1.3.4补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集. ，如图1-3-3所示。例如，设U=x|x是小于9的正整数,A=1,2,3，B=3,4,5,6,求CuA,CuB解:根据题意可知,U=1,2,3,4,5,6,7,8,所以 CuA=4,5,6,7,8； CuB=1,2,7,8 .1.3.5集合中，一些常用的运算性质：本节精讲一 有关两个集合的并集、交集的问题1已知集合M直线，N圆，则MN的元素个数为()个()A0B1 C2 D不确定2(2010·江西理，2)若集合Ax，By|yx2，xR，则AB()Ax|1x1 Bx|x0 Cx|0x1 D3(09·山东文)集合A0,2，a，B1，a2若AB0,1,2,4,16，则a的值为()A0 B1 C2 D44(2010·福建文，1)若集合Ax|1x3，Bx|x>2，则AB等于()Ax|2<x3 Bx|x1 Cx|2x<3 Dx|x>25设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是()Aa2 Ba2 Ca1 D1a26(08·山东文)满足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的个数是()A1 B2 C3 D47(09·全国理)设集合Ax|x>3，B，则AB()A B(3,4) C(2,1) D(4，)8设P、Q为两个非空实数集合，定义集合PQx|xab，aP，bQ，若P0,1,2，Q1,1,6，则PQ中所有元素的和是()A9 B8 C27 D269已知集合Ax|x2k1，kN*，Bx|xk3，kN，则AB等于()AB BA CN DR10当xA时，若x1A，且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M0,1,3的孤星集为M，集合N0,3,4的孤星集为N，则MN()A0,1,3,4 B1,4 C1,3 D0,3二、填空题11若集合A2,4，x，B2，x2，且AB2,4，x，则x_.12已知Ax|x2pxqx，Bx|(x1)2p(x1)qx1，当A2时，集合B_.13(胶州三中20092010高一期末)设Ax|x2px150，Bx|x2qxr0且AB2,3,5，AB3，则p_；q_；r_.三、解答题14已知Ax|axa3，Bx|x1或x5(1)若AB，求a的取值范围(2)若ABB，a的取值范围又如何？15设集合M1,2，m23m1，N1,3，若MN3，求m.16已知A1，x，1，B1,1x(1)若AB1，1，求x.(2)若AB1，1，求AB.(3)若BA，求AB.当x时，AB1，117某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18已知集合Ax|3x7>0，Bx|x是不大于8的自然数，Cx|xa，a为常数，Dx|xa，a为常数(1)求AB；(2)若AC，求a的取值集合；(3)若ACx|<x3，求a的取值集合；(4)若ADx|x2，求a的取值集合；(5)若BC，求a的取值集合；(6)若BD中含有元素2，求a的取值集合二 有关全集、补集、空集的问题例1 判定以下关系是否正确；(2)1，2，33，2，1；(4)00例2 列举集合1，2，3的所有子集_ 例5 设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 M与P的关系是 AMUPBMP 例7 下列命题中正确的是 AU(UA)A例8 已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C例9 设S1，2，3，4，且MxS|x25xp0，若SM1，4，则p_例10 已知集合S2，3，a22a3，A|a1|，2，SAa3，求a的值 AMNDM与N没有相同元素三 有关集合综合运算的问题四 学习利用Venn图求解集合的运算五 有关集合新定义运算的问题