人教八下平行四边形专题知识点-常考(典型)题型-重难点题型(含详细答案.doc
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人教八下平行四边形专题知识点-常考(典型)题型-重难点题型(含详细答案.doc
平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型(含详细答案)一、目录一、目录1二、基础知识点21.平行四边形的定义22.平行四边形的性质33.平行四边形的判定定理74.三角形中位线定理10三、重难点题型141.平行四边形的共性142.平行四边形间距离的应用163.与平行四边形有关的计算174.与平行四边形有关的证明19二、基础知识点1.平行四边形的定义平行四边形:两组对边分别平行的四边形。平行四边形ABCD记作“ABCD”注:只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形例1.如图,ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分别为E,F求证:BE=DF答案:四边形ABCD为平行四边形 ADCB,AD=CB DEAB,BFCD DEA=CFB ADECFB AE=CF DC=AB BE=DF例2.在平面直角坐标系中,有A(0,1),B(-1,0),C(1,0)三点,若点D与A,B,C构成平行四边形,求D的坐标。(3解)答案:如下图,有三种情况,坐标分别为: (0,1);(2,1);(2,1)2.平行四边形的性质性质1(边):平行四边形的对边相等(AB=CD,AC=BD)证明:CAD=ADB DAB=ADC AD=AD ACDDBA(ASA) AB=CD AC=BD性质2(角):平行四边形对角相等,邻角互补(A=D,C=B;A+C=B+D=180°)证明:ACDDBA(ASA) 又CAB=CAD+DAB CDB=CDA+ADB CAB=CDB ABCD B+BDC=180°性质3(对角线):平行四边形对角线互相平分(AO=OC;BO=OD)证明:AD=BC OAD=OCB ODA=OBC AODCOB(ASA) AO=OC OB=OD注1:平行四边形对角线互相平分,但两对角线不一定相等解析:假设平行四边形对角线相等OAD=ADO=OBC=OCB OAB=OBA=OCD=CDO又DAB+CBA=180° DAB=ABC=BCD=CDA=90° 仅在平行四边形的四个角为直角时(即矩形),对角线相等注2:对角线不一定平分角解析:假设平行四边形对角线平分角,则ADB=BDC ACD=ACBDCB=BADACD=CAD又OD=ODAODCOD(AAS)AD=DC=BC=AB仅当平行四边形四条边相等时(即菱形),对角线平分角性质4:平行四边形是中心对称图形,对称中心为对角线交点。中心对称图形:一个图形绕中心点旋转180°后与原图形重合。平行四边形的高:两条平行线之间的距离:一条直线上任一点到另一直线的距离平行四边形对边平行。一条边上任取一点作另一边的垂线,该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。例1.如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF,CE,求证:AF=CE。(平行四边形对角相等的性质)答案:四边形ABCD是平行四边形 AB=DC ABD=BDC ABF=CDE 又BF=DE FBAEDC AF=CE例2.如图,在ABCD中,点E为边CD上的一点,将ADE沿AE折叠至AGE处,AG与CE交于点F。若B=52°,DAE=20°,求FEG的大小。(平行四边形对角线互相平分的性质)答案:D=B=52° DAE=20° AED=108°=AEG 设CEG=x°,则AEF=108°x 则:108+108x=180 解得:x=36例3.如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC+BD=16,CD=6,求ABO的周长。答案:四边形ABCD是平行四边形 AO=AC BO= AC+BD=16 AO+OB=8 CD=6 AB=CD=6 ABO的周长为8+6=143.平行四边形的判定定理判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。证明:AD=BC AB=CD AC=AC ABCCDA(SSS) DAC=ACB ADBC 同理ABDC 四边形ABCD是平行四边形判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 证明:A=C B=D 又四边形内角和为360° A+D=180° ABBC 同理ADBC 四边形ABCD是平行四边形判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形证明:AO=OC BO=OD AOB=DOC ABCCOD(SAS) AB=CD 同理AD=BC 根据判定定理1 四边形ABCD为平行四边形判定定理4:一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 证明:ADBC DAC=ACB AC=AC BC=AD ACDCAB(SAS) AB=CD AD=BC 四边形ABCD是平行四边形平行四边形判定方法总结:定义:两组对边分别平行的四边形 即:ABCD,ADBC判定1:对边相等 即:AD=BC,AB=CD判定2:对角相等 即:BAD=DCB,ABC=CDA判定3:对角线相互平分 即:AO=OD,BO=OD判定4:一组对边平行且相等例1. 下列命题中,真命题有: A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形答案:AB C不能判断。同一组对边平行且相等,才能判断为平行四边形例2.如图,在ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AEBD,CFBD,垂足分别为点E,F,延长AE、CF分别交CD,AB于点M,N。(1)求证:四边形CMAN是平行四边形(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长。答案:(1)AMBD,CNBD AMCN 四边形ABCD为平行四边形 MCAN 四边形ANCM为平行四边形 (2)MC=AN DM=NB DCAB MDB=ABD 四边形AMNC为平行四边形 NFB=MED DEMBFN FB=4 BN=54.三角形中位线定理两三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段(三条)三角形中位线定理:中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。证明: 作CFAB交DE延长线于点FADF=CFD FEC=AED AE=AE ADFCFE(AAS) DE=EF AD=CF=BD DBCF 四边形DBCF为平行四边形 DF=BC DEBC例1.如图,在ABC中,BCAC,点D在BC上,且DC=AC,ACB的角平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF。求证:EFBC。答案:AC=DC,CF为ABC的角平分线 CF在等腰三角形ACD中为“三线合一” CF为ADC以AD为底的中线 EF为ABD的中位线 EFBC例2.如图,已知AO是ABC的BAC的角平分线,DBAO交AO的延长线于点D,点E是BC的中点。求证:DE=(AB-AC)。答案:延长AC、BD交于点F AO是BAC角平分线 BAD=DAF DBAO ADB=ADF=90° 又AD=AD ADBADF AB=AF,BD=DF E是BC中点 DE是BFC中位线 DE DE=(AB-AC)例3.如图,在ABC中,AO平分BAC,BDAO交AO的延长线于点D。若AO=AC,求证:AD=(AB+AC)。 答案:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,如下图 BD为AE中线 AB=BE E=BAD=CAD AOD=ACO=AOC EOB=EBO EB=OE AD=(AB+AC)三、重难点题型1.平行四边形的共性方法:平行四边形+一个条件,推导菱形和矩形;平行四边形+两个条件,推导正方形;菱形(矩形)+一个条件,推导正方形。例1.平行四边形的共性:两组对边分别平行且相等,对角相等,对角线互相平分.思考:添加什么条件,可以把平行四边形“变成”菱形呢?添加什么条件,可以把平行四边形“变成”矩形呢?答案:菱形可增加的条件为:ACBD;AD=DC;ADB=BDC矩形可增加的条件为:AC=BD;ADC=90°例2.如图,在菱形中,点是边的中点,点边上的一个动点(不与点重合),延长交的延长线于点,连接(1)求证:四边形是平行四边形(2)当的值为何值时,四边形是矩形;当的值为何值时,四边形是菱形答案:(1)NED=AEM AE=DE DNE=EMA DNEAME ND=AM NDAM 四边形AMDN为平行四边形 (2)四边形MADE为矩形 AMD=90° AD=2,DAB=60° AM=1 (2)四边形AMDN为菱形 MNAD AE=1,EAM=60° AM=2例3.如图,将平行四边形的边延长到,使,连接交于,当n为何值时,四边形是矩形。答案:四边形ABEC为矩形 ACDE EC=CD AC为等腰三角形AED的“三线合一”线段 ABEC为矩形 EF=FC AEC=FCE AFC=AEC+FCE n=22.平行四边形间距离的应用方法:同底等高的平行四边形(三角形)面积相等。同时注意,三角形面积是其同底等高平行四边形的一半。例1.如图,点E是ABCD的一边AD上任意一点,若EBC的面积为S1,ABCD的面积为S2,求两者的数量关系。答案:过E作BC的垂线EF,交BC于点F S1= 又S2= S2=2S1例2.平行四边形两邻边分别为20和16,若两较长边之间的距离为8,求较短边之间的距离。:答案:设较短边之间的距离为h 知平行四边形的面积为:底边×高 20×8=16×h 解得:h=10例3.如图,直线ab,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AB:CD=1:2,若ABC的面积为6,求BCD的面积。答案:设a、b两直线间的距离为h ABC的面积为: BCD的面积为: AB:CD=1:2 =1:2 =6 =123.与平行四边形有关的计算方法:利用平行四边形的定义以及其边和角的性质来解题,必要的时需要列方程或方程组来求出其解。例1.如图,在ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长。答案:四边形ABCD为平行四边形 2AO=2CO=AC,OB=OD BDAB 又RtABO中,AB=12cm,AO=13cm BO=5cm BD=10cm 在RtABD中,AB=12cm,BD=10cm AD=2cm AB=CD=12cm,AD=BC=2cm例2.已知平行四边形ABCD的周长为52,自顶点D作DEAB,DFBC,E、F为垂足,若DE=5,DF=8,求BE+BF的长。答案:两种情况,如下图1和图2所示:图1 图2 DEAB,DFBC AB×DE=BC×DF AB:BC=8:5 又2(AB+BC)=52 AB=16,BC=10 AE=,CF=8情况一:如图1,若A为锐角 810,F点在CB的延长线上 BF=810 BE+BF=(16)+(810)=6+3情况二:如图2,若DAB为钝角 则BE+BF=(16+)+(8+10)=26+134.与平行四边形有关的证明方法:探索性问题,可以先凭借特殊情况猜出答案,然后在通过严格的论证求解出来。例1.在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E在边BC上,点F在边AD上,AF=CE,EF与对角线BD相较于点O。求证:点O是BD的中点。答案:如下图,连接FB、DE AB=DC,AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 FDBE AD=BC,AF=CE FD=BE 四边形FBED是平行四边形 OB=OD,即点O是BD的中点例2.如图,在RtABC中,BAC=90°,ADBC于D,BG平分ABC交AD于E,EFBC且交AC于F,求证:AE=CF。答案:如下图,作GHBC交BC于点H,连接EH BG是ABH的平分线 AG和ED互相平分,GA=GH ABGHBG AB=HB 在ABR和HBE中,ABE=CBE,BE=BE,AB=HB ABEHBE AE=EH,BEA=BEH ADGH AEG=BGH 又AEG=GEH,AGB=BGH AGB=GEH EHAC EFHC 四边形EHCF是平行四边形 FC=EH=AC例3.有一块形状为平行四边形的铁片ABCD,其中AB=2AD。现在想用这块铁片截一个直角三角形并且希望以AB为斜边,直角顶点在CD上,问此想法是否可行?如果可行的话,请说明应该怎么截。答案:如下图,可以截出符合要求的三角形。 取CD的中点M,连接AM、BM,则AMB满足要求。 四边形ABCD为平行四边形 AB=CD,AD=BC AB=2AD,DM=CM= AD=DM,BC=CM DAM=DMA,BMC=MBC AMD+BMC= D+C=180° AMD+BMC=90°