中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案.doc

中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案一、反比例函数1如图，直线y=x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使SPAC= SAOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=x+b和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x4或0x1（3）解：过A作ANx轴，过B作BMx轴， 由（1）知，b=5，k=4，直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或x=1，B（4，1）， ， ， ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），SPAC= OPCD+ OPAE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=3，P（0，3）或P（0，3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AMx轴，过B作BNx轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论2如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ的大小，并说明理由 【答案】（1）解：k=4，SPAB=15提示：过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4解方程组 ，得到点A的坐标为（4，1），则点A与点B关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP 设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（4，1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，SAOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= ×3×4+ ×3×1= ，SPAB=2SAOP=15；（2）解：过点P作PHx轴于H，如图2B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立 ，解得直线PA的方程为y= x+ 1，联立 ，解得直线PB的方程为y= x+ +1，M（m4，0），N（m+4，0），H（m，0），MH=m（m4）=4，NH=m+4m=4，MH=NH，PH垂直平分MN，PM=PN，PMN是等腰三角形；（3）解：PAQ=PBQ理由如下：过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有 ，解得： ，直线AQ的解析式为y= x+ 1当y=0时， x+ 1=0，解得：x=c4，D（c4，0）同理可得E（c+4，0），DT=c（c4）=4，ET=c+4c=4，DT=ET，QT垂直平分DE，QD=QE，QDE=QEDMDA=QDE，MDA=QEDPM=PN，PMN=PNMPAQ=PMNMDA，PBQ=NBE=PNMQED，PAQ=PBQ【解析】【分析】（1）过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得SPAB=2SAOP ， 要求PAB的面积，只需求PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PHx轴于H，如图2可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3可设点Q为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有QDE=QED然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到PAQ=PBQ3如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（8，2），与y轴交于点C （1）m=_，k1=_； （2）当x的取值是_时，k1x+b ； （3）过点A作ADx轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：SODE=3：1时，求点P的坐标 【答案】（1）4；（2）8x0或x4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ， 点C的坐标是（0，2），点A的坐标是（4，4）CO=2，AD=OD=4S梯形ODAC= OD= ×4=12，S四边形ODAC：SODE=3：1，SODE= S梯形ODAC= ×12=4，即 ODDE=4，DE=2点E的坐标为（4，2）又点E在直线OP上，直线OP的解析式是y= x，直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ） 【解析】【解答】解：（1）反比例函数y2= 的图象过点B（8，2）， k2=（8）×（2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（8，2）代入y1=k1x+b，得： ，解得： ，一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4， ；（2）一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（8，2），当y1y2时，x的取值范围是8x0或x4，故答案为：8x0或x4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B横坐标分别为4、8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：SODE=3：1得到ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得4如图，已知抛物线y=x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3x12）的一部分，记作G1 ， 且D（3，m）、E（12，m3），将抛物线y=x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2 （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线y=x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为_； （3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值 （4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN ，直接写出a的取值范围 【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m3）代入y= 得 ，解得 ，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2 （3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=（xa）2+9，把（6，2）代入y=（xa）2+9得（6a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=（xa）2+9，把D（3，4）代入y=（xa）2+9得（3a）2+9=4，解得a=3 或a=3+ ；把E（12，1）代入y=（xa）2+9得（12a）2+9=1，解得a=122 或a=12+2 ；G1与G2有两个交点，3+ a122 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得 ，解得 ，直线DE的解析式为y= x+5，G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，M（a， a+5），N（a， ），MN ， a+5 ，整理得a213a+360，即（a4）（a9）0，a4或a9，a的取值范围为9a122 【解析】【解答】解：（2）当y=0时，x2+9=0，解得x1=3，x2=3，则B（3，0），而D（3，4），所以BE= =2 故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程x2+9=0得到B（3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=（xa）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=（xa）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ a122 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y= x+5，则M（a， a+5），N（a， ），于是利用MN 得到 a+5 ，然后解此不等式得到a4或a9，最后确定满足条件的a的取值范围5如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数 的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sinAOE= （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOC的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围 【答案】（1）解：作ADx轴于D，如图， 在RtOAD中，sinAOD= = ，AD= OA=4，OD= =3，A（3，4），把A（3，4）代入y= 得m=4×3=12，所以反比例函数解析式为y= ；把B（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，把A（3，4）、B（6，2）分别代入y=kx+b得 ，解得 ，所以一次函数解析式为y= x+2（2）解：当y=0时， x+2=0，解得x=3，则C（3，0）， 所以SAOC= ×4×3=6（3）解：当x3或0x6时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】【分析】（1）作ADx轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可6理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图1，在RtABC中，C=90°，ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD设AC=1，则BD=BA=2，BC= tanD=tan15°= = = 思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（±）= 假设=60°，=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°45°）= = = 思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四  请解决下列问题（上述思路仅供参考）（1）类比：求出tan75°的值； （2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度； （3）拓展：如图3，直线 与双曲线 交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由 【答案】（1）解：方法一：如图1，在RtABC中，C=90°，ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD设AC=1，则BD=BA=2，BC= tanDAC=tan75°= = = = ；方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = = （2）解：如图2，在RtABC中，AB= = = ，sinBAC= ，即BAC=30°DAC=45°，DAB=45°+30°=75°在RtABD中，tanDAB= ，DB=ABtanDAB= （ ）= ，DC=DBBC= = 答：这座电视塔CD的高度为（ ）米（3）解：若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3过点C作CDx轴，过点P作PECD于E，过点A作AFCD于F解方程组： ，得： 或 ，点A（4，1），点B（2，2）对于 ，当x=0时，y=1，则C（0，1），OC=1，CF=4，AF=1（1）=2，tanACF= ，tanPCE=tan（ACP+ACF）=tan（45°+ACF）= = =3，即 =3设点P的坐标为（a，b），则有： ，解得： 或 ，点P的坐标为（1，4）或（ ，3）；若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4由可知ACP=45°，P（ ，3），则CPCG过点P作PHy轴于H，则GOC=CHP=90°，GCO=90°HCP=CPH，GOCCHP， CH=3（1）=4，PH= ，OC=1， ，GO=3，G（3，0）设直线CG的解析式为 ，则有： ，解得： ，直线CG的解析式为 联立： ，消去y，得： ，整理得： ，= ，方程没有实数根，点P不存在综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（1，4）或（ ，3）【解析】【分析】tanDAC=tan75°，tanDAC用边的比值表示.在RtABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出BAC=30°，从而得到DAB=75°，在RtABD中，可求出DB，DC=DBBC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tanPCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明GOCCHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，<0  点P不存在.7如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点E为y轴上一个动点，若SAEB=10，求点E的坐标 【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y= ，得m=12， 则y= 把点B（n，1）代入y= ，得n=12，则点B的坐标为（12，1）由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，解得 ，则所求一次函数的表达式为y= x+7（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE， 则点P的坐标为（0，7）PE=|m7|SAEB=SBEPSAEP=10， ×|m7|×（122）=10|m7|=2m1=5，m2=9点E的坐标为（0，5）或（0，9） 【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m7|，根据SAEB=SBEPSAEP=10，求出m的值，从而得出点E的坐标8如图，已知二次函数 的图象与y轴交于点A(0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC. （1）请直接写出二次函数 的解析式. （2）判断ABC的形状，并说明理由. （3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标. 【答案】 （1）解：二次函数 的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0), 解得 抛物线表达式： （2）解：ABC是直角三角形. 令y=0,则 解得x1=8,x2=-2,点B的坐标为(-2,0),由已知可得,在RtABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在RtAOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,又BC=OB+OC=2+8=10,在ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2ABC是直角三角形（3）解：A(0,4),C(8,0), AC= =4 ,以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标9已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C ， OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）解：函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx24x+3，则顶点D（2，1）；（2）解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得： 直线BC的表达式为：yx+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H ， 设点P（x ， x24x+3），则点H（x ， x+3），则SPBC PH×OB （x+3x2+4x3） （x2+3x）， 0，故SPBC有最大值，此时x ，故点P（ ， ）；（3）解：存在，理由： 如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH ， 过点A作AHCH ， 垂足为H ， 则HQ CQ ， Q+ QC最小值AQ+HQAH ， 直线HC所在表达式中的k值为 ，直线HC的表达式为：y x+3则直线AH所在表达式中的k值为 ，则直线AH的表达式为：y x+s ， 将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y x+ ，联立并解得：x ，故点H（ ， ），而点A（1，0），则AH ，即：AQ+ QC的最小值为 .【解析】【分析】（1）将坐标（1，0），B（3，0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出D的坐标. （2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（x ， x24x+3），则点H（x ， x+3），求出x的值即可. （3）存在，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH ， 过点A作AHCH ， 垂足为H ， 则HQ CQ ， Q+ QC最小值AQ+HQAH ， 求出k值，再将A的坐标代入计算即可解答.10如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 和点 ，过点 作 轴交抛物线于点 （1）求此抛物线的表达式； （2）点 是抛物线上一点，且点 关于 轴的对称点在直线 上，求 的面积； （3）若点 是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到某一位置时， 的面积最大，求出此时点 的坐标和 的最大面积 【答案】 （1）解： 抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 和点 ， ，得 ， 此抛物线的表达式是 （2）解： 抛物线 交 轴于点 ， 点 的坐标为 ， 轴，点 是抛物线上一点，且点 关于 轴的对称点在直线 上， 点 的纵坐标是5，点 到 的距离是10，当 时， ，得 或 ， 点 的坐标为 ， ， 的面积是： （3）解：设点 的坐标为 ，如图所示， 设过点 ，点 的直线 的函数解析式为 ， ，得 ，即直线 的函数解析式为 ，当 时， ， ， 的面积是： ， 点 是直线 下方的抛物线上一动点， ， 当 时， 取得最大值，此时 ，点 的坐标是 ， ，即点 的坐标是 ， 时， 的面积最大，此时 的面积是 【解析】【分析】（1）根据题意可以求得 、 的值，从而可以求得抛物线的表达式；（2）根据题意可以求得 的长和点 到 的距离，从而可以求得 的面积；（3）根据题意可以求得直线 的函数解析式，再根据题意可以求得 的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题11已知：如图，在四边形 中， ， ， ， ， 垂直平分 .点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， .连接 ， .设运动时间为 ，解答下列问题： （1）当 为何值时，点 在 的平分线上？ （2）设四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式. （3）连接 ， ，在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：在 中， ， ， ， ， 垂直平分线段 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，BPE=BCA=90°又B=BBPEBAC 即 ， ，当点 在 的平分线上时， ， ， ， ， .当 为4秒时，点 在 的平分线上.（2）解：如图，连接 ， . .（3）解：存在.如图，连接 . ， ， ， ， ， ， ，整理得： ，解得 或10(舍)当 秒时， .【解析】【分析】（1）根据勾股定理求AC，根据 证 ，求出CD、OD的值，根据BPEBAC得到比例式，用含有t的代数式表示出PE、BE，当点E在BAC的平分线上时，因为EPAB，ECAC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题（2）根据 构建函数关系式即可（3）证明EOC=QOG，可得 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题12阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ， 点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线 经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线； （2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP ， 将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？ 【答案】 （1）解：点D（m ， n），点D（m ， n）的特征线是x=m ， y=n ， y=x+nm ， y=x+m+n；（2）解：点D有一条特征线是y=x+1，nm=1，n=m+1抛物线解析式为 ， ，四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m ， n），B（2m ， 2m）， ，将n=m+1带入得到m=2，n=3； D（2，3），抛物线解析式为 （3）解：如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时： 根据题意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60°，AOP=AOP=30°，MN= = ，抛物线需要向下平移的距离= = 如图，当点A在平行于x轴的D点的特征线时，设A（p ， 3），则OA=OA=4，OE=3，EA= = ，AF=4 ，设P（4，c）（c0），在RtAFP中，（4 ）2+（3c）2=c2 ， c= ，P（4， ），直线OP解析式为y= x ， N（2， ），抛物线需要向下平移的距离=3 = 综上所述：抛物线向下平移 或 距离，其顶点落在OP上【解析】【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可