中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》.doc

专题16对角互补模型破解策略1全等型之“ 90°”如图， AOB DCE90°， OC平分 AOB，则A CDO E B（1）CDCE；（2）ODOE 2 OC；（3）12S S OC OCD OCE2证明方法一： 如图，过点 C分别作 CMOA， CNOB，垂足分别为 M，N由角平分线的性质可得 CM CN， MCN90°所以 MCD NCE，从而 MCD NCE（ASA），故 CDCE易证四边形 为正方形 MONCAMDC所以 ODOEODONNE 2ON 2 OCEO BN所以2 1 2S S S正方形 ON OC OCD OCE MONC2方法二： 如图，过C作 CFOC，交 OB于点 F易证 DOC EFC45°， COCF， DCO ECF所以 DCO ECF（ASA）A所以 CDCE，ODFE，C D可得 ODOEOF 2OC 所以12S S S OC OCD OCE OCF2OEFB【拓展 】如图，当 DCE的一边与AO的延长线交于点 D时，则：1ACOBED（1）CDCE；（2）OEOD 2 OC；（3）12S S OC OCE OCD2如图，证明同上A AC CMONBEOFBE DD2全等型之“ 120”如图， AOB2 DCE120°， OC平分 AOB，则：CADEO B（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）32S S OC OCD OCE4证明 方法一： 如图，过点C分别作CM OA，CNOB，垂足分别为M，N所以3S S 2S OCOCD OCE ONC42易证 MCD NCE（ASA），所以 CDCE，ODOE2ONOC2C CA AMD D EBO O E FNB方法二： 如图，以 CO为一边作 FCO60°，交 OB于点 F，则 OCF为等边三角形易证 DCO ECF（ASA）所以 CDCE，ODOEOFOC，S OCDSOCESOCF342OC【拓展】如图，当 DCE的一边与BO的延长线交于点 E时，则：（1）CDCE；（ 2）ODOEOC；（ 3）S OCD S OCE34OC2如图，证明同上AA ADD DCC CME E EO B O N B O F B3、全等型之“任意角”如图， AOB2 ， DCE180° 2 ，OC平分 AOB，则：（1）CDCE；（ 2）ODOE2OC· cos ；（ 3）SODCSOEC OC2· sin cosAD CO B E证明：方法一：如图，过点 C分别作CMOA， CNOB，垂足分别为 M，NAM CDO B N E易证 MCD NCE（ASA）CDCE，ODOE2ON 2OC· cosS ODCSOEC2SONCOC2· sin cos方法二：如图，以 CO为一边作 FCO180° 2 ，交 OB于点 F3AD CO BE F易证 DCO ECF（ASA）CDCE，ODOEOF2OC· cosS ODCSOECSOCFOC2· sin cos【拓展】如图，当 DCE的一边与BO的延长线交于点 E时，则：（1）CDCE；（ 2）ODOE2OC· cos ；（ 3）SODCSOEC OC2· sin cos如图，证明同上 A AD D ADMCE O BE OCNBC BE OF4、相似性之“ 90°”如图， AOB DCE90°， COB ，则CECD· tanADCBO E方法一：如图，过点 C分别作 CMOA，CNOB，垂足分别为M、NADM CO E NNE CE CN易证 MCD NCE， tanMD CD CM，即 CECD· tan方法二：如图，过点 C作 CFOC，交 OB于点 FADCBO E F4FE CE CF易证 DCO ECF， tanOD CD CO方法三：如图，连接 DE，即 CECD· tanADCBO E易证 D、 O、E、C四点共圆 CDE COE ，故 CECD· tan【拓展】如图，当 DCE的一边与 AO的延长线交于点 D时，则CECD· tanA CO B ED如图，证明同上AMCACACO BN EO BF EO BEDD D例题讲解例 1、已知 ABC是 O的内接三角形， ABAC，在 BAC所对弧BC上任取一点 D，连接 AD，BD， CD（1）如图 1，若 BAC 120°，那么 BD CD与 AD之间的数量关系是什么？（2）如图 2，若 BAC ，那么 BDCD与 AD之间的数量关系是什么？ DDB C O OB CA A图 1 图2解：（ 1）BDCD 3 ADD OEB CF A图3如图 3，过点 A分别向 BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F由题意可得 ADB ADC30°5易证 AEB AFCBDCD2DE 3 ADBDCD2AD sin 2如图4，作 EAD BAC，交 DB的延长线于点 ED FBC OEA图4则 EBA DCA，所以 BECD， AEAD作 AFDE于点 F，则 FAD 所以 BDCD DE2DF2AD sin 2 2例 2 如图1，将一个直角三角板的直角顶点 P放在正方形 ABCD的对角线 BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点 A，另一条直角边与BC相交于点 F求证： PAPE；如图2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且AD10，CD 8，求 AP：PE的值；如图3，在的条件下，当 P滑动到BD的延长线上时， AP： PE的值是否发生变化？A DPA DPADPFB E C图1BE图2CB C E图3解： 如图4，过点 P分别作 PM AB，PNBC，垂足分别为 M，N则 PMPN， MPN90°，由已知条件可得 APE90°，所以 APM EPN，所以 APMEPN故 APPEA DM PB E N C图4如图5，过点 P分别作 PMAB， PNBC，垂足分别为 M，N则 PMAD， PNCD所以 BPM BDA， BNP BCD可得 PM BP PNAD BD CD，所以PM ADPN CD54易证 APM EPN，所以 AP PM 5PE PN 46A DM PBE N图 5CAP：PF的值不变 如图，理由同 M ADPFB C N E图 6进阶训练1如图，四边形 ABCD被对角线 BD分为等腰 RtABD和 RtCBD，其中 BAD和BCD都是直角，另一条对角线 AC的长度为 2，则四边形 ABCD的面积为 _AB DC第 1 题图答案：四边形 ABCD的面积为 2【提示】 易证 A、B、C、D四点共圆， 则BCABDAABDACD，由“全等型之 90° ”的结论可得 S四边形 ABCD122AC22在 ABC中，ABAC，A60° ，D是 BC边的中点， EDF120° ，DE与 AB边相交于点 E，DF与 AC边（或 AC边的延长线）相交于点 F AAEE NBD第 1 题图 1FCBD第 1 题图 2CF如图 1，DF与 AC边相交于点 F，求证： BECF 12AB；如图 2，将图 1 中的 EDF绕点 D顺时针旋转一定的角度，使 DF与 AC边的延长线交于点F，作 DNAC于点 N，若 DNFN，求证： BECF 3 （BECF）答案：略7【提示】过点 D作 DGAC交 AB于点 G，证 DEG DFC，从而 BE CFBEEGBG 12ABAGEFBD第 1 题答图 1C过点 D作 DG AC交 AB于点 G，同可得 BECF 12ABDC 2DN 3，延长 AB至点 H，使得 BHCF，则DH DFDE，从而 BE CFHE 2 DE 2 × 2 DN2DN，所以 BECF 3（BECF）AE GNB CD FH第 1 题答图 23在菱形 ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点 O， MON BCD180°， MON绕点 O旋转，射线OM交 BC于点 E，射线ON交 CD于点 F，连结 EF如图 1，当 ABC90°时， OEF的形状是 _；如图 2，当 ABC60°时，请判断 OEF的形状，并说明理由；如图 3，在的条件下，将 MON的顶点移动到AO的中点 O' 处， MO' N绕点 O' 旋转，仍满足 MO' N BCD180°，射线O' M交直线BC于点 E，射线O' N交直线CD于点 F，当 BCS4，且 ' 9VO EFS 8四边形 ABCD时，求CE的长A D A DA D O'O O OFNFB E CM第 3 题图 1B E CM第 3 题图 2NB C第 3 题图 3答案：等腰直角三角形； OEF是等边三角形；线段 CE的长为3 3 3 或 3 3 3【提示】由“全等型之 120°”的结论可得 OE OF两种情况，如图：8 N'F'A DO'OE B E'C M'MF N 第 3 题答图9