⑧竞赛中的立体几何问题.doc
Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的立体几何问题 高中联赛中的立体几何问题主要以客观题的形式出现,并重点考察度量及球的问题. .体的认识 1.正方体例1:(2008年全国高中数学联赛试题)若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为( )(A)764cm3或586cm3 (B)764cm3 (C)586cm3或564cm3 (D)586cm3解析:类题:1.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中, D C点E、F分别在AB1、BC1上(不在线段的端点上),且AE=BF,那么,下面4个结论: A BAA1EF;A1C1EF;EF平面A1B1C1D1;EF与A1C1异面. E F正确的是( ) D1 C1(A) (B) (C) (D) A1 B1 (2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个命题:点P在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1PC的体积不变;点P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角大小不变;点P在直线BC1上运动时,二面角P-AD1-C的大小不变;点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则点M的轨迹是过D1点的直线.其中正确的编号是( )(A) (B) (C) (D)2.(1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平行光线照射到一个棱长为1的正方体上,在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S,则S的最大值为 .3.(2011年全国高中数学联赛广东初赛试题)设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体,则该正方体的棱长最大等于 .4.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知ABCD-A1B1C1D1是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁的爬行路线是AA1A1D1,黑蚂蚁的爬行路线是ABBB1,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2008段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是 .5.(1992年全国高中数学联赛试题)从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是_.6.(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A,B,C1,D1的圆上的点Q之间的最小距离是 . 2.长方体例2:(2001年全国高中数学联赛试题)命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:类题:1.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)有一个长方体的箱子,它的十二条棱长之和是140,并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21,那么这个箱子的总表面积是 .2.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)在长方体ABCD-EFGH中,BEF=600,DEH=450,则sinBED的值为 . (1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与面AB1成250角,BD1与面A1C1成450角,则BD1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于 . 2 Y.P.M数学竞赛讲座 3.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线AC1的取值范围为 . (2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,且a+b-c=1,已知长方体的对角线长为1,且ab,则c的取值范围是 .4.(1992年第3届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体的棱长的和是l,则该长方体的体积的最大值是 . (2010年全国高中数学联赛陕西初赛试题)一个长方体的体对角线长为10,这条对角线在长方体一个表面上投影的长为8,则这个长方体体积的最大值为 .5.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若对任意的长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于k,则k的取值范围是 .6.(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3 (2012年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AC=1,B1C=,AB1=p,则长方体的体积最大时,p为 . 3.四面体例3:(1992年全国高中数学联赛试题)设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记=,则一定满足( )(A)2<4 (B)3<<4 (C)2.5<4.5 (D)3.5<<5.5解析:类题:1.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)长度分别为1,a,a,a,a,a的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是( )(A)0<a< (B)0<a<2 (C)a> (D)<a< (2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若四面体ABCD中,有AB=CD=5,AC=BD=4,AD=BC=x,则x的取值范围是( ).(A)1<x<9 (B)1<x< (C)3<x<9 (D)3<x<2.(1999年第10届“希望杯”全国数学邀请赛试题)线段OA、OB、OC不共面,AOBBOCCOA60º,OA1,OB2,OC3,则ABC是( )(A)等边三角形 (B)不等边的等腰三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形 (2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若三棱锥的三个侧面的斜高相等,棱锥的顶点在底面所在的平面内的射影在底面三角形的内部,则该射影是底面三角形的( )(A)外心 (B)内心 (C)垂心 (D)旁心 3.(2008年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体ABCD的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41,且知AB=41,则CD= .4.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)以1,1,1,为六条棱长的四面体个数为 .5.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形.那么,这个三棱锥的体积大小( )(A)有惟一确定的值 (B)有2个不同值 (C)有3个不同值 (D)有3个以上不同值6.(1987年全国高中数学联赛试题)现有边长为3,4,5的三角形两个,边长分别为4,5,的三角形四个,边长分别为,4,5的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_个四面体. 4.正方体模型 Y.P.M数学竞赛讲座 3 例4:(2000年全国高中数学联赛试题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是 .解析:类题:1.(1994年第5届“希望杯”全国数学邀请赛试题)以正方体ABCDA1B1C1D1的四个顶点A,B1,C,D1为顶点构成四面体,此四面体的表面积与正方体的表面积之比为 .2.(2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四面体的棱长为a,则它的外接球的表面积等于 .3.(2006年第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个球与正四面体的各个棱都相切,且球的表面积为8,则正四面体的棱长为 . (2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R1,能包容此框架的最小球的半径为R2,则等于 4.(2002年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)棱长为1的正四面体,在平面上投影面积的最大值是_.5.(2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设正三棱锥底面的边长为a,侧面组成直二面角,则该棱锥的体积等于 .6.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体ABCD的体积为1,O为其中心.正四面体A1B1C1D1与正四面体ABCD关于点O对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 5.长方体模型例5:(1986年全国高中数学联赛试题)如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:类题:1.(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体ABCD中,AB=CD=4,AC=AD=BC=BD=3,则此四面体的体积为_. (2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在四面体ABCD中,AB=AC=AD=BD=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为_. (1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)己知四面体各面都是棱长分别为5,的三角形,则此四面体的体积是_.2.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)四面体A-BCD中,AB=CD=5,AC=BD=,AD=BC=,则四面体A-BCD的外接球半径为 . (2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将边长为2的正ABC沿高AD折成直二面角B-AD-C,则三棱锥B-ADC的外接球的表面积是3.(1997年全国高中数学联赛试题)如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有( )(A)0条 (B)1条 (C)多于1的有限条 (D)无穷多条4.(1999年全国高中数学联赛试题)给定下列两个关于异面直线的命题:命题:若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线,直线c是a与b的交线,那么,c至多与a,b中的一条相交;命题:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.那么( )(A)命题正确,命题不正确 (B)命题正确,命题不正确(C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确5.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a,b是夹角为300的异面直线,则满足条件“a,b,且”的平面,( )(A)不存在 (B)有且只有一对 (C)有且只有两对 (D)有无数对6.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知SABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥,O为底面ABC内一点,若OSA=,OSB=,OSC=,那么tantantan的取值范围是 . 4 Y.P.M数学竞赛讲座 6.旋转体例6:(2004年全国高中数学联赛试题)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆的圆心,ABOB,垂足为B,OHPB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥OHPC的体积最大时,OB的长是 .解析:类题:1.(1987年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)圆锥的侧面展开图是半径为1,圆心角为270°的扇形,则它过顶点的截面三角形的面积的最大值是 . (1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若一个圆锥中有三条母线两两垂直,则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 .2.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)母线长为的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为 . (2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试题)从一个半径是1分米的圆形铁片中剪去圆心角为x弧度的一个扇形,将余下的部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x的值是 .3.(1994年第5届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知无盖的圆柱形桶的容积是V,用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格比为3:2,则当圆桶造价最低时,桶底半径R= . (1986年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱.若这圆柱的全面积等于这圆锥的侧面积,则这圆锥顶点至圆柱上底面的距离等于圆锥母线长的 .4.(1991年第2届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知台体上、下底的面积分别为S1,S2,若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分,则截面面积为 .5.(1993年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)分别以直角三角形的两直角边为轴,将该三角形旋转一周所得的两个旋转体的体积分别是15和20.则以该直角三角形斜边为轴旋转一周所得的旋转体的体积是_. (2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)分别以直角三角形的两条直角边a,b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积依次为Va,Vb,Vc,则Va2+Vb2与(2Vc)2的大小关系是_.6.(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)一直角梯形的两底分别为5和8,高为4,将它绕斜腰旋转一周所得的旋转体的表面积是_. (1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)梯形的两底分别是a和b,将梯形绕长为a的底旋转一周所得旋转体体积为V1,绕长为b的底旋转一周所得旋转体体积为V2,则=_. .球的问题 1.球的认识例1:(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为 .解析:类题:1.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2和4,M、N分别为AB、CD的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:弦AB、CD可能相交于点M;弦AB、CD可能相交于点N;MN的最大值为5;MN的最小值为1.其中真命题为( )(A) (B) (C) (D)2.(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)点P在直径为1的球面上,过P作两两垂直的三条弦若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这三条弦长的和的最大值是_.3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在1200的二面角-l-内,O1、O2分别在半平面、内,且与棱l切于同一点P.则以O1、O2为截面的球( )(A)仅有1个 (B)仅有2个 (C)有无数个 (D)不存在4.(1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一半球的体积是18,则此半球的内接正方体的表面积是 . Y.P.M数学竞赛讲座 5 5.(1994年第5届“希望杯”全国数学邀请赛试题)半球形的碗内盛满了水,若将碗口平面倾斜300,则碗内溢出的水的体积是碗的容积的 .6.(1988年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)两球相嵌,大球半径R=4,小球半径r=2,且两球的连心线长d=4,该组合体的可见表面积是_. 2.外接球例2:(1997年全国高中数学联赛试题)已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上,则点O到平面ABC的距离为 .解析:类题:1.(1987年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体ABCD的四个顶点在半径为1的球上,则AB的长为 .2.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为 . 3.(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)ABC的三边AB、BC、CA的长依次是2、3、4,D是以ABC的外接圆为大圆的球面上一点,若D到A、B、C的距离相等,则三棱锥DABC的体积是_.4.(2011年全国高中数学联赛试题A)在四面体ABCD中,已知ADB=BDC=CDA=600,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为 .5.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点都在球O的球面上,其中AA1=1,AB=2,AD=3,则经过B、C两点的球面距离是 . (2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=,则A,C两点间的球面距离为 .6.(1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 . (2007年全国高中数学联赛试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_. 3.内切球例3:(1983年全国高中数学联赛试题)一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数,那么积mn是 .解析:类题:1.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)所有棱长都等于1的三棱锥的内切球的体积等于 . (1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)若正四面体有一个半径为2的内切球,则它的棱长为_.2.(2003年第14届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设有棱长等于a的正四面体A1,作它的内切球R1,再作R1的内接正四面体A2,接着再作A2的内切球R2和R2的内接正四面体A3,如此继续下去,得到无限多个正四面体,它们的体积之和等于 . (1994年第5届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在三棱锥SABC中,侧棱SA,SB,SC两两垂直,SA=SB=4,SC=6,在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球,则此球的半径为 .3.(2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知四面体ABCD,AB=AC=AD=BC=BD=1,CD=,则该四面体的内切球半径等于_. (2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,若该球的体积为 6 Y.P.M数学竞赛讲座 ,则该三棱柱的体积是_. (2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)若正三棱锥的内切球半径为1,则其体积的最小值为 .4.(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若底边长为2的正四棱锥恰内切一半径为的球,则此正四棱锥的体积是 . (2009年全国高中数学联赛山东初赛试题)在正三棱锥P-ABC中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,正三棱锥的三个侧面都和半球相切.如果半球的半径等于1,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于 .5.(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是_cm3(盒子的厚度不计). (2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)在一个棱长为5的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于 .6.(2008年全国高中数学联赛试题)一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 4.多球相切例4:(2006年全国高中数学联赛试题)底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3.解析:类题:1.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若将半径为12cm四个篮球在水平地面上任意堆放,则你能堆放的最大高度是 cm (2002年第13届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将3个半径为1的球和一个半径为-1的球叠为两层放在桌面上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 .2.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)三个半径为1的球互相外切,且每个球同时与另外两个半径为r的球外切,如果这两个半径为r的球也互相外切,则r等于 . (1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知三个半径为6的球在平面的同一侧,与平面都相切,且每个球与另外两个球外切,另有一个球和平面及这三个球都相切,则它的半径为_.3.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)两个半径都是1的球O1和球O2相切,且它们均与直二面角的两个半平面都相切,另有一个半径为r(r<1)的小球O与这个二面角的两个半平面也都相切,同时与球O1和球O2都外切.则r的值是_. (2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切,且它们都与大小为60°的二面角的两个半平面相切,则= . (2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在边长为1的正方体C内,作一个内切大球O1,再在C内的一个角顶内,作小球O2,使它与大球外切,同时与正方体的三个面相切.则球O2的面积为 .4.(1996年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)四个半径为1的小球两两相切装在一个大球里面且都与大球相切,大球的半径是_. (2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在半径为1的大球内放入6个半径相等的小球,当小球的体积最大时,小球的半径等于_,此时在6个小球之间的空隙里还可以放人一小球,该小球的最大半径等于_.5.(2004年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三个半径都是10cm的小球放在一个半球形的碗中,小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一平面内,则这个碗的半径是_. (2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为1,且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径R= . Y.P.M数学竞赛讲座 7 6.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)过四面体ABCD的顶点D作半径为1的球,该球与四面体ABCD的外接球相切于点D,且与平面ABC相切.若AD=2,BAD=CAD=450,BAC=600,则四面体ABCD的外接球的半径r为 . 5.旋转体与球例5:(1995年全国高中数学联赛试题)一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_.解析:类题:1.(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为r的一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为 . (1993年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知圆锥的内切球的面积是圆锥底面面积和侧面面积的等差中项,则圆锥母线与底面所成角的大小是_.2.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)在半径为R的球的所有外切圆锥中,全面积最小的圆锥的全面积是 .3.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)一个半径为a的半球内切于顶角为900的圆锥,半球的底面在圆锥的底内,则V半球:V圆锥等于 .4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)将边BC=15cm的ABC绕边AC旋转一周,所得旋转体是有公共底面的两个圆锥,边AB形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm,圆心角为2160的扇形,则此旋转体内切球的半径是 .5.(2003年全国高中数学联赛试题)将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于_.6.(1996年全国高中数学联赛试题)高为8的圆台内有一个半径为2的球O1,球心O1在圆台的轴上,球O1与圆台的上底面、侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为3的球O2,使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除球O2,圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 .度量问题 1.线线成角例1:(1997年全国高中数学联赛试题)如图,正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,使得=(0<<+),记f()=+,其中表示EF与AC所成的角,表示EF与BD所成的角,则( )(A)f()在(0,+)单调增加 (B)f()在(0,+)单调减少(C)f()在(0,1)单调增加,而在(1,+)单调减少 (D)f()在(0,+)为常数解析:类题:1.(1996年第7届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三条直线a,b,c两两成异面直线,它们互相成等角,且存在一个平面与它们都平行,则a,b所成的角为 . (2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( )(A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条 (2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)正方体ABCD-A1B1C1D1,过顶点A1作直线l,使l与直线AC和BC1所成的角均为600.则这样的直线l有( )条.(A)1 (B)2 (C)3 (D)多于3 (1999年第10届“希望杯”全国数学邀请赛试题)a,b,l是两两异面的直线,a与b所成的角是,l与a、l与b所成的角都是,则的取值范围是 .2.(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点G是上底面A1B1C1D1的中心.那么,BG与AD所成角 8 Y.P.M数学竞赛讲座 的大小是 . (2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)四面体ABCD中,AB=CD=a,BC=AD=b,CA=BD=c.如果异面直线AB与CD所成的角为,那么cos= .3.(2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB、CC1的中点,直线EF与AC1所成角的余弦值是 . (2008年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成450的二面角,则异面直线AC与BF所成角的大小为_.4.(1998年第9届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知四面体ABCD中,AD=BC=1,E、F分别是AB、CD上的点,且BE:EA=CF:FD=1:2,EF=a(a>0),则AD和BC所成的角= . (2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)有六根细木棒,其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 .5.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=AB=AC,ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角等于 . (2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,则CA1与C1B所成的角的大小是 .6.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)直三棱柱ABCA1B1C1,底面ABC是正三角形,P,E分别为BB1,CC1上的动点(含端点),D为BC边上的中点,且PDPE.则直线AP,PE的夹角为 . (1996年第7届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在空间四边形ABCD中,ABBC,BCCD,CDAB,AB=BC=CD,则AD与BC所成的角的正切值是 . 2.线面成角例2:(1994年全国高中数学联赛试题)已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于,则sin=_.解析:类题:1.(1998年第9届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面外一直线和这个平面所成的角为,则的范围是 . (1998年第9届“希望杯”全国数学邀请赛试题)直线l与平面所成角为500,交点为P,a是内不过P点的任意一条直线,那么l与a所成角的取值范围是 .2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)设正三棱锥S-ABC的底面边长为3,侧棱长为2,则侧棱SA与底面ABC所成的角的大小是 . (2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知三点A、B、E在平面内,点C、D在外(在的同侧),并且AC、DE都,BDAB.若AB=3,AC=BD=4,CD=5,则BD与平面所成的角等于 . 3.(1998年第9届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面平面,直线a,a与成45°角,直线b,b与成45°角,则直线a与b所成的角的大小为 . (1998年第9届“希望杯”全国数学邀请赛试题)二面角-l-的大小为600,A,B,Cl,且AC=4,AB,B点到的距离为1,则直线AC与平面所成的角的大小等于 .4.(1999年第10届“希望杯”全国数学邀请赛试题)二面角MlN的平面角是600,直线a平面M,a与棱l所成的角是300,则a与平面N所成的角的余弦值是 . (1999年第10届“希望杯”全国数学邀请赛试题)空间四边形ABCD中,AB=AD=3,BC=C
