2020届高三文理科数学一轮复习《对数与对数函数》专题汇编(教师版).doc

对数与对数函数专题1对数的概念、性质及运算概念如果axN(a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，N，logaabb运算法则loga(M·N)logaMlogaNa>0，且a1，M>0，N>0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)2重要公式(1)换底公式：logab(a>0，且a1，c>0，且c1，b>0)；(2)logab，推广logab·logbc·logcdlogad.(3)logmbnlogab 3对数函数的图象函数ylogax，a>1ylogax,0<a<1图象图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的（1）底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大（2）指数函数与对数函数的关系指数函数yax(a>0且a1)与对数函数ylogax(a>0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称4对数函数的性质函数ylogax(a>0，且a1)a>10<a<1性质定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值变化规律当x1时，y0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0题型一对数的运算1(lg 2)2lg 2·lg 50lg 25_解析：原式lg 2(lg 2lg 50)lg 252lg 22lg 52.22_解析：原式2·23·23.3log23·log38()_.解析：原式3log23·log323325.4log5352loglog5log514_.解析：原式log535log550log5142log2log5log2log55312.5lg81_.解析：原式lg 331lg 3lg 32526.6(1log63)2log62·log618÷log64_解析：原式(log66log63)2log62·log6(2×32)÷log64÷log622(log62)2(log62)22log62·log63÷2log62log62log63log6(2×3)1.7÷100_.解析：原式lg×100lg 102×102×1020.8 lg 5(lg 8lg 1 000)(lg 2)2lg lg 0.06_. 解析：原式lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 3lg 5·lg 23lg 53(lg 2)223lg 2(lg 5lg 2)3lg 523lg 23lg 521.9 2lg 8lg 25_.解析：原式3(lg 2lg 5)5.10已知log7log3(log2x)0，那么x等于() AB.CD.解析：由log7log3(log2x)0得log3(log2x)1，log2x3，x8，故选D.11(log29)(log32)logaloga(a>0，且a1)的值为_.解析：原式(2log23)(log32)loga2×1logaa3.12已知函数f(x)log2(x2a)若f(3)1，则a_.解析：由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7.13log225·log34·log59_.解析：原式····8.14已知log62p，log65q，则lg 5_(用p，q表示)解析：lg 5.15已知4a2，lg xa，则x_.解析：4a22a2，a.lg x，x.16已知4a5b10，则_.解析：4a5b10，alog410，lg 4，blog510，lg 5，lg 42lg 5lg 4lg 25lg 1002.17已知log147a，log145b，则用a，b表示log3528_.解析： log3528，log147a，log145b，原式.18已知函数f(x)则f(f(1)f_.解析：f(1)0，则f(f(1)f(0)2，f(log3)3log313log3213，因此f(f(1)f(log3)5.19对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是()Alg ylg xlg Blg(xy)lg xlg y Clg x33lg x Dlg x解析：选B由对数的运算性质可知lg xlg ylg(xy)，因此选项B错误题型二对数函数的图象及应用类型一对数函数图象的辨析1函数y的图象可能是()解析：易知函数y为奇函数，故排除A，C；当x>0时，yln x，只有B项符合故选B.2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的大致图像为()解析：先作出当x0时，f(x)ln(x1)的图像，显然图像经过点(0,0)，且在(0，)上缓慢增长再把此图像关于y轴对称，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C所示，故选C3函数f(x)|loga(x1)|的大致图象是()解析：法一：函数f(x)|loga(x1)|的定义域为x|x>1，且对任意的x，均有f(x)0，结合图象可知选C.法二：的图象可由ylogax的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.4函数f(x)loga|x|1(0<a<1)的图象大致为()解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称设g(x)loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.5已知lg alg b0(a0且a1，b>0且b1)，则函数f(x)ax与g(x)logbx的图象可能是()解析：选B.因为lg alg b0，所以lg ab0，所以ab1，即b，故g(x)logbxlogxlogax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，结合图象知B正确故选B.6已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x3x1 Bx1x3x2 Cx1x2x3 Dx3x2x1解析：A，分别作出三个函数的大致图象，如图所示，由图可知，x2x3x1.类型二对数函数图象的应用1已知函数yloga(x3)1的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：ylogax的图象恒过点(1,0)，令x31，得x4，则y1. P的坐标是(4，1)2函数yloga(x2)2恒过定点P，则点P的坐标为_解析：由x21得x3，当x3时，y2，则点P的坐标为(3,2)3函数ylog3|2xm|的图象关于x对称，则m_.解析：14已知a>0，且a1，函数yloga(2x3)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)_.解析：设幂函数为f(x)x，因为函数yloga(2x3)的图象恒过点P(2，)，则2，所以，故幂函数为f(x)x.5已知函数yloga(x1)(a>0，a1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)2xb的图象上，则f(log23)_解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)4b0，b4，从而f(log23)341.6已知函数f(x)|ln x|.若0<a<b，且f(a)f(b)，则a4b的取值范围是()A(4，)B4，) C(5，) D5，)解析：选C，由f(a)f(b)得|ln a|ln b|，根据函数y|ln x|的图象及0<a<b，得ln aln b,0<a<1<b，b.令g(b)a4b4b，易得g(b)在(1，)上单调递增，所以g(b)>g(1)5.7已知函数f(x)|logx|的定义域为，值域为0,1，则m的取值范围为_解析：作出f(x)|logx|的图象(如图)，可知ff(2)1，f(1)0，由题意结合图象知：1m2.8使log2(x)<x1成立的x的取值范围是_解析：在同一坐标系中分别画出函数ylog2(x)和yx1的图象(如图所示)，由图象知使log2(x)<x1成立的x的取值范围是(1,0)题型三对数函数的性质及应用类型一与对数有关的函数定义域问题1函数y的定义域为_解析：2，)2函数f(x)的定义域是()A.B.(0，) C. D0，)解析：由解得x>且x0，故选B.3函数y的定义域是()A1,2 B1,2) C. D.解析：选D由log(2x1)00<2x11<x1.4若函数ylog2(mx22mx3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A(0,3)B0,3) C(0,3 D0,3解析：由题意知mx22mx3>0恒成立当m0时，3>0，符合题意；当m0时，只需解得0<m<3.综上0m<3，故选B.类型二与对数有关的最值（值域）问题1函数f(x)log(x24x5)的递增区间为_，值域为_解析：由x24x50，解得1x5. 二次函数yx24x5的对称轴为x2.由复合函数单调性可得函数f(x)log (x24x5)的递增区间为(2,5)又x24x5(x2)299，所以f(x)log92log3，即函数f(x)的值域为2log3，)2函数ylogax(a>0，a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_.解析：2或3若函数f(x)logax(0<a<1)在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为_解析：因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)maxlogaa1，f(x)minloga2a，所以13loga2aa(2a)38a21a.4函数f(x)log2 ·的最小值为_解析：依题意得f(x)log2x·(22log2x)(log2x)2log2x，当且仅当log2x，即x时等号成立，所以函数f(x)的最小值为.5已知函数f(x)loga(0<a<1)为奇函数，当x(1，a时，函数f(x)的值域是(，1，则ab的值为_解析：由>0，解得b<x<1(b>0)又奇函数定义域关于原点对称，故b1.所以f(x)loga(0<a<1)又g(x)1在(1，a上单调递减，0<a<1，所以f(x)在(1，a上单调递增又因为函数f(x)的值域是(，1，故f(a)1，此时g(a)a，即a，解得a1(负根舍去)，所以ab.6若函数f(x)(a>0，a1)的值域为6，)，则a的取值范围是()A(0,1) B(0,1)(1,2) C(1,2 D2，)解析：选C当x2时，f(x)6，)，所以当x>2时，f(x)的取值集合A6，)当0<a<1时，A(，loga25)，不符合题意；当a>1时，A(loga25，)，若A6，)，则有loga256，得1<a2.综上所述，选C.7若函数f(x)loga(x22xa)(a>0，且a1)有最小值，则实数a的值等于_解析：令g(x)x22xa，则f(x)logag(x)若a1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最小值 ，而g(x)x22xa(x)2a6，当x时，取最小值a6，因此有解得a9.若0a1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最大值，而g(x)不存在最大值，不符合题意综上，实数a9.类型三与对数有关的单调性问题1函数ylog(3x1)的单调递减区间为_解析：2函数f(x)loga(x24x5)(a>1)的单调递增区间是()A(，2) B(，1) C(2，) D(5，)解析：选D由函数f(x)loga(x24x5)得x24x5>0，得x<1或x>5.令m(x)x24x5，则m(x)(x2)29，m(x)在2，)上单调递增，又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，)，故选D.3函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_解析：作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)4已知函数f(x)loga(ax3)在1，3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0，1) C. D(3，)解析：选D.由于a>0，且a1，所以uax3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，所以a>1.又uax3在1，3上恒为正，所以a3>0，即a>3.5若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2 C1，) D2，)解析：令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)6若函数f(x)loga(2x2x)(a>0，a1)在区间上恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是_解析：函数f(x)loga(2x2x)(a>0，a1)在区间上恒有f(x)>0，由x，得2x2x(0，1)，故有a(0，1)又f(x)的定义域为(0，)，根据复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为.7设函数f(x)loga|x1|在(，1)上单调递增，则f(a2)与f(3)的大小关系是()Af(a2)f(3) Bf(a2)f(3) Cf(a2) f(3) D不能确定解析：A，由函数f(x)loga|x1|，可知函数关于x1对称，且f(x)在(，1)上单调递增，易得0a1.2a23.又函数在(1，)上单调减函数，f(a2)f(3)类型四与对数有关的比较大小问题1设alog50.5，blog20.3，clog0.32，则a，b，c的大小关系是()Ab<a<c Bb<c<a Cc<b<a Da>b>c解析： alog50.5>log50.21，blog20.3<log20.51，clog0.32>log0.31，log0.32，log50.5.1<lg 0.2<lg 0.3<0，<，即c<a，故b<c<a.故选B.2设alog3，blog2，clog3，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca解析：选A；因为alog3log331，blog2log221，所以ab；又(log23)21，c0，所以bc.故abc.3已知alog3，b，clog，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbac Ccba Dcab解析：cloglog35，则log35log3log331，又1，因此cab，故选D.4已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf(log2 4.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()Aa<b<c Bb<a<c Cc<b<a Dc<a<b解析：f(x)在R上是奇函数，afff(log25)又f(x)在R上是增函数，且log25>log24.1>log242>20.8，f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，a>b>c.故选C5已知alog29log2，b1log2，clog2，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbac Ccab Dcba解析：alog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因为函数ylog2x在(0，)上是增函数，且23，所以bac，故选B6设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bcba Ccab Dbac解析：选Aa0，2a1，loga1，0a. b0，0b1，0logb1，b1.c0，c0，log2c0，c1. 0ab1c，故选A.7设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Bc<b<a Cc<a<b Db<c<a解析：因为a60.4>1，blog0.40.5(0，1)，clog80.4<0，所以a>b>c.故选B.8设a2 018，blog2 018，clog2 019，则a，b，c的大小关系为()Aa>b>c Ba>c>b Cb>a>c Dc>b>a解析：a2 018>2 01801,1log2 0182 018>blog2 018>log2 018，clog2 019<log2 019，所以a>b>c.故选A.9若实数a，b满足ab1，mloga(logab)，n(logab)2，llogab2，则m，n，l的大小关系为( )Amln Blnm Cnlm Dlmn解析：实数a，b满足ab1，0loga1logablogaa1，mloga(logab)loga10,0n(logab)21，llogab22logab>n(logab)2.m，n，l的大小关系为lnm.故选B.10若ab0,0c1，则()Alogaclogbc Blogcalogcb Cacbc Dcacb解析：B，0c1，当ab1时，logaclogbc，A项错误；0c1，ylogcx在(0，)上是减少的，又ab0，logcalogcb，B项正确；0c1，函数yxc在(0，)上是增加的，又ab0，acbc，C项错误；0c1，ycx在(0，)上是减少的，又ab0，cacb，D项错误类型五与对数有关的不等式问题1已知loga<1，那么a的取值范围是_解析：loga<1logaa，故当0<a<1时，ylogax为减函数，0<a<；当a>1时，ylogax为增函数，a>，a>1.综上所述，a的取值范围是(1，)2设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析：由题意得或解得a1或1a0.故选C.3设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)解析：当x1时，21x2，解得x0，所以0x1；当x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.4设函数f(x)则满足不等式f(x)2的实数x的取值集合为_解析：原不等式等价于或解得x1或1x4，即实数x的取值集合为.5已知函数f(x)loga(8ax)(a>0，且a1)，若f(x)>1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当a>1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)>1在区间1,2上恒成立，得f(x)minloga(82a)>1，解得1<a<.当0<a<1时，f(x)在1,2上是增函数，由f(x)>1在区间1,2上恒成立，得f(x)minloga(8a)>1，解得a>4，且0<a<1，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.6已知函数f(x)loga(2xa)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.解析：选A，当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)>0，即1a>1，解得a<0，此时无解综上所述，实数a的取值范围是.类型六对数函数性质的综合问题1已知函数f(x)lg(2x)2，则f(ln 2)f_解析：由函数f(x)的解析式可得：f(x)f(x)lg(2x)2lg(2x)2lg(14x24x2)44，f(ln 2)ff(ln 2)f(ln 2)4.2已知函数f(x)ln (x)1，f(a)4，则f(a)_.解析：f(x)ln (x)1(xR)，f(x)f(x)ln(x)1ln (x)1ln (1x2x2)22，f(a)f(a)2，f(a)2.3已知函数yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)log2x，则的值等于_解析：yf(x)是奇函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)log2x，log22，则f(2)f(2)1.4若函数f(x)log(x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数m的取值范围为()A. B. C. D.解析：由x24x50，解得1x5.二次函数yx24x5的对称轴为x2.由复合函数单调性可得函数f(x)log(x24x5)的单调递增区间为(2,5)要使函数f(x)log(x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，只需解得m2.5(理科做)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x2<0 Bx1x21 Cx1x2>1 D0<x1x2<1解析：选D构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10x|lg(x)|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<1，1<x1<0，则10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，因此10x210x1lg(x1x2)，因为10x210x1<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1.6(理科做)设函数f(x)|logax|(0a1)的定义域为m，n(mn)，值域为0,1，若nm的最小值为，则实数a的值为_.解析：作出y|logax|(0a1)的大致图象如图令|logax|1，得xa或x.又1a1a0，故1a1，所以nm的最小值为1a，解得a.7已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)0，当x>0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)>2.解析：(1)当x<0时，x>0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)>2可化为f(|x21|)>f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|<4，解得<x<，即不等式的解集为(，)8已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最小值为0，求出a的值解析：(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x3>0得1<x<3，即函数的定义域为(1，3)令g(x)x22x3.则g(x)在(1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1，1)，单调递减区间是(1，3)(2)因f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a. 故实数a的值为.9(理科做)已知函数f(x)ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x2,6，f(x)lnln 恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)由>0，解得x<1或x>1，定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)lnln ln f(x)，f(x)ln 是奇函数(2)由x2,6时，f(x)ln ln 恒成立0，x2,6，0<m<(x1)(7x)在x2,6上成立令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知x2,3时函数g(x)单调递增，x3,6时函数g(x)单调递减，x2,6时，g(x)ming(6)7，0<m<7.