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第七章 习题解答1设（X，d）为一度量空间，令 问的闭包是否等于？ 解 不一定。例如离散空间（X，d）。=，而=X。 因此当X多于两点时，的闭包不等于。2 设 是区间上无限次可微函数的全体，定义 证明按成度量空间。证明 （1）若=0，则=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空间。3 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集包含B，而且。证明 令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n，有使，因此。因B是闭集，必有，所以。证毕4 设d（x，y）为空间X上的距离，证明是X上的距离证明 （1）若则，必有x=y （2）因而在上是单增函数，于是=。证毕。5， 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a，b上一致收敛于f的各阶导数 证明 若按习题2中距离收敛与，即 >0 因此对每个r，>0 ，这样>0 ，即在 a，b 上一致收敛于。 反之，若的（t）各阶导数在a，b上一致收敛于f（t），则任意，存在，使；存在，使当时，max ，取N=max ，当n>N时，即>0 。证毕6设，证明度量空间中的集f|当tB时f（t）=0中的闭集，而集A=f|当tB时，|f（t）|a（a0）为开集的充要条件是B为闭集证明 记E=f|当tB时f（t）=0。设，按中度量收敛于f，即在a，b上一致收敛于f（t）。设，则，所以f E，这就证明了E为闭集下面证明第二部分 充分性。当B是闭集时，设f A。因f在B上连续而B是有界闭集，必有，使。设 。我们证明必有。设，则若，必有，于是，所以这样就证明了A是开集 必要性，设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意若，必有 倘若，则定义。于是对任意，因此由于A是开集，必有，当Ca，b且时，定义，n=1，2。则因此当时，。但是，此与的必要条件：对 任意，有矛盾因此必有证毕7设E及F是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F证明 设。令 则且，事实上，若，则有，所以存在E中的点x使，F中点y使，于是，此与矛盾。证毕8 设 Ba，b表示a，b上实有界函数全体，对Ba，b中任意两元素f，g Ba，b，规定距离为。证明Ba，b不是可分空间证明 对任意a，b，定义则Ba，b，且若， 倘若Ba，b是不可分的，则有可数稠密子集，对任意a，b，必有某，即。由于a，b上的点的全体是不可树集。这样必有某，使，于是此与矛盾，因此Ba，b不是可分空间。证毕9 设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集O，使得，证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。 证明 若，必有，使，因是开集，必有某自然数n，使。 设是X的可数稠密子集，于是在中必有某，且。事实上，若，则所以。 这样我们就证明了对任意，存在k，n使且存在 任取覆盖的O，记为是X的可数覆盖。证毕10 X为距离空间，A为X中子集，令证明是X上连续函数 证明 若对任意，存在，使。取。则当时因此。由于x与对称性，还可得。于是。这就证明了是X上连续函数11 设 X为距离空间，是X中不相交的闭集，证明存在开集使得。证明 若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且。 倘若，则必有，使。设。不妨设，则因此，此与矛盾。这就证明 了。证毕12 设 X，Y，Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射是X到Z中的连续映射证明 设 G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射，故是X中 的开集。这样是X中 的开集，这就证明了g。f是X到Z的连续映射。证毕13 X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合和集合都是闭集证明 设 f是X上连续的实函数，又对每一实数c，G=（c，）是开集，于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之，若对每个实数c，和都是闭集，则和都是开集。设G是直线上的开集，则或，其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。证毕14 证明柯西点列是有界点列。 证明 设 是X中的柯西点列。对1>0，存在N，使当n，m时，令则对任意有。因此 是有界点列。证毕15证明第一节中空间S，B（A），以及离散的度量空间都是完备的度量空间证明 （1）S是完备的度量空间设 是S中的柯西点列，对每一个固定的i，由于，因此对任意存在，当时，对此，存在n，m时，因此，从而。这样对固定的i，是柯西点列。设。令，故有，且对任意给定，存在，使。存在使时，。于是当时， +所以按S的距离收敛于x（2）B（A）是完备的度量空间设是B（A）中的柯西点列，任意，存在N，使当n，m时。这样对任意，。因此对固定的t， 是柯西点列。设，由于n，m时，令，得，这样，于是故x （A），且nN时，。这就证明了按B（A）中距离收敛于x（3）离散的度量空间（X，d）是完备的度量空间设是X中柯西点列，则对>0,存在N，当n，m是。特别对一切n>N, ,于是n>N是。因此，即（X，d）是完备的度量空间。证毕17 设F是n维欧几里得空间的有界闭集，A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何，有。 证明映射A在F中存在唯一的不动点证明 定义F上的函数f（x）=d（Ax，x）。由于因此f是F上的连续映射，因F是有界闭集，必有，使。我们先证明，若，则。记，则，于是此与是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一个不动点，则，矛盾 16 证明 与C（0，1的一个子空间等距同构 证明 若 ，定义， 若，则因此T到到（0，1的子空间的一个同构映射，即到（0，1的一个子空间等距同构。18 设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记 若，则映射A有唯一不动点证明 因，则必有N，使。这样对任意x, X,若x,则 这样由压缩映射原理有不动点，即=。由于=A=A, A也是的不动点。的不动点是唯一的，因此= A，即是A的不动点。 若x是A的任意一个不动点，即A x= x。于是x=x= A x= x。这样x也是的不动点，由于的不动点是唯一的，因此= x。即A的不动点也是唯一的。证毕。19 设A为从完备度量空间X到X中映射，若在开球内适合 又A在闭球上连续，并且 证明：A在中有不动点。 证明 设=，。则 任给0，存在N，使，这样若且，有 因此是柯西列。设，因 因此。这样。因为A在上连续。，即是A在中的不动点。 A的不动点不一定是唯一的。例如X是离散的度量空间。A是X中的恒等映射。在开球内只有一点，自然满足条件。而，也满足。但X中每一点皆为A的不动点。证毕20 设 为一组实数，适合条件，其中当j=k时为1 ，否则为0。证明：代数方程组 对任意一组固定的，必有唯一的解，。 证明 记定义到内的映射T：TX= -AX+X+b。设X 则 由于<1,于是T有唯一不动点，即，因此有唯一解。证毕21 设表示上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在中定义范数=,证明是Banach空间。证明 显然是线性空间。下证是赋范线性空间。1 若，显然0。若=0，则=0，即=0，且=0。由=0可知在上为常值函数，于是2 若， 3 若，其中的理由如下： 对任意分划 因此再证是完备的。设为中柯西列，对任意，存在，当时，。于是，。而对任意，从而这就证明了是上一致收敛的函数列。设一致收敛于。由于是上右连续的函数，于是对任意，因为在上一致收敛于。因此 即亦在上右连续。 对任意，存在，当时，= 对上的任一分划，有令， （*） 因此，从而由（*）式及分点的任意性知，从而 即按中范数收敛于。这样我们就证明了是完备的赋范线性空间，即空间。证毕。22设是一列空间， 是一列元素，其中，并且这种元素列的全体记成，类似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算。若令 证明：当时，X是空间。证明 X显然是线性空间。 先证X是赋范线性空间。1 若显然。若，则即对任意，。于是，从而。2 若， 3 若，则再证X是完备的。设是X中柯西列，其中 对任意存在，使当时，即 于是对每一个固定的是中的柯西列。设令，由于，因此对任意，令得 再令得 因此从而，且由知按X的范数收敛于。由以上证明可知X是空间。证毕。23设X是赋范线性空间，X*X为两个X的笛卡儿乘积空间，对每个定义 则X*X成为赋范线性空间。证明X*X到X的映射是连续映射。 证明 设则 于是所以， 这就证明了是连续映射。证毕。24 设是实（复）数域，为赋范线性空间，对每个，定义证明：为到中的连续映射。证明 设同第23题一样可证 由于收敛，必有，使则因此映射是连续的。证毕。25 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在中令证明：是可分的空间。 证明 由第七章§4例1知是空间。由定义易知是中的线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证是空间，由§4定理1，只要证是中的闭子空间即可。设 对于任意存在使时，有。特别地即由于因此存在对任意于是于是是柯西列，即下面证明是可分的。 设 则且是可数的。若对任意设对于任给的存在使当时，必有。取有理数使取有理数使 令则且 故是的可数稠密子集。这就证明了是可分的空间。证毕。 （7） 例1 设是完备度量空间（X, d）中的非空闭集，且对任意n, .若 =supd(x,y)|x,y ,满足条件=0。求证 . 证明：任取 ，n=1,2，。因，所以对任意的 >0,存在N，当n>N时有< .这样当n,m>N时，若mn,则d(,)< ,因此是X中的柯西列。设=。则对任意的k,当nk时,有因此,由k的任意性,于是. 证毕例2 设Y是赋范线性空间X的闭子空间.在X中作等价分类:xy的充分条件是x-yY.记定义X/Y中的加法和数乘:x+y=x+y; x= x.定义X/Y中的范数: .求证:X/Y是赋范线性空间. 证明 X/Y 显然是线性空间.(1) 若,则存在由定义所以即x=0.(2) 若是复数,则 (3) 设x,y X/Y,存在这样,且令n->,于是,我们就证明了X/Y是赋范线性空间.证毕 例 3 设 是Banach空间,X中点列,满足条件.求证在X中 收敛,且若记其极限为,则 . 证明 因为收敛,所以若则存在N,当m>n>N时,必有.于是, .因此是X中柯西列,因为X是Banach空间,故存在x,使得因为因此.证毕 例 4 设是赋范线性空间X中的线性闭子空间. .由Y和生成的线性子空间求证: 是X中的线性子空间 证明 设中的收敛列, .要证 首先必为C中有界列否则,存在.由,可得因此此与矛盾. 这样有界,必有,使,由,可得.于是, .证毕. 例 5 是上的连续函数,且.在上定义范数.求证是Banach空间.证明 易验证: 的充要条件是f=0; ; 设 是中柯西列,对与任意的,存在N当时,这就证明了(t)在上一致收敛与f(t),且f(t)在上连续,以下证明. 对与任意的,存在n,使因为,所以存在M,当|t|使, .这就证明了. 这样,我们证明了f,且.于是, 是Banach空间.证毕.翻函分析习题选讲（8）例 1 设X=C a,b,t1, ,tn 定义X上的线性泛函：若 求证f是X上的有界性泛函，求。 证明 任意x,|f(x)|=| | .所以|f| 存在，使。存在，x,使且|x|=1.这样|f(x)|=| |=，所以. |f(x)| 由此 ，我们证明了|f(x)|=|。证毕。 例题 2 设F是上的线性泛函，（的定义参见七章例题讲例5）。若F满足条件：若且任意则称F是正的线性泛函，求证：上的正的线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数f，都可以写成iy,其中x,y是中的实值函数，|x|且|y|.而实值函数又可以x=-，其中均是中的非负函数，且同理和是非负函数，且。若存在，使任意非负函数，则必有界事实上，任意 若在中的非负函数上是无界的，则存在非负函数，由于，因此第七章例题选讲例3，收敛。对任意，是非负函数， ，因此 ，这样 ，此与 是 上定义的线性泛函矛盾，因此 必为有界的 ，证毕。例3设 是 上正的线性泛函。求证：任意 ，证明 （1）若 是 中实函数，则 ，其中，是 中非负函数，则 是实数。（2）若 是 中复函数，其中 是实函数 ，则。（3）若是 中函数，我们来证明。对任意复数，不妨设，令代入上式得因，得 证毕习题解答 1，举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。解 设 是收敛到0的数列全体组成的空间。若 ，则是定义上的算子，。易验证是有界的，且设 ，则不属于 的值域。因此的值域不是闭的线性子空间。2求线性泛函的范数。解 由。设则，且。由此，。令。这样。3设无穷阵满足。作到中算子如下：若，则证明： 证明：设则若，因此 对任意，存在，使。设，其中则，且若，因此由于是任意的，故，这样我们就证明了。证毕4.设，在中定义线性算子：，其中，证明是有界线性算子，并且。证明：设。由。对任意，存在，使。设，其中若，则；而。我们可验证。由于的 任意性，得。于是。证毕5是维向量空间，在中任取一组基，是矩阵，作到中算子如下：当时，其中，若向量的范数为。证明上述算子的范数满足。证明：若，则。所以。对任意，。于是，所以。因此。证毕6设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子，若的零空间是闭集，是否一定有界？ 解：令，其中是上多项式函数全体，视为的子空间是到的微分算子。若，则是常值函数。显然常值函数全体是闭子集，但是非有界的。（见教材底一节例九）7 作中算子如下：当时，其中证明：是有界线性算子。 证明：若， 由Holder不等式，有，因此。证毕8按范数，成赋范线性空间，问的共轭空间是什么？解 记按范数组成赋范线性空间为，按范数组成赋范线性空间为，我们来证明 。定义 到的映射。任意，其中。对任意， 于是反之，对任意。定义：对任意，则。因此是 到的映射若 ，则显然，则。若 令，则 因此 。从而。于是是从 到的同构映射。在同构的意义下。证毕9设表示极限为0 的实数列全体，按通常的加法和乘法，以及，构成空间，证明：证明：令，则，。对任意，定义。以下先证，且记，则，且，由于。因此，令，。这就证明了，且再证对任意，定义上线性泛函：若，则，因此。又因为因此，且，于是由以上证明可知。是到上的同构映射。而在同构意义下，。证毕 第十一章 线性算子的谱1 设。证明，且其中没有特征值。证明 当时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样。反之若，定义算子。则由于，且因此是C0，1中有界线性算子。易验证，所以。总之， 若，则对任意，可推得。由于，必有，所以A无特征值。证毕。2 设，证明。证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样。反之，若，定义。类似第1题可证是有界线性算子，且。即。因此。证毕。3 设， 试求。解 对任意，若，定义，显然，因此的内点都是A的点谱，由于是闭集，则。对任意，显然，因此，所以。这样我们就证明了。4 设F是平面上无限有界闭集，是F的一稠密子集，在中定义算子T：则都是特征值，中每个点是T的连续谱。证明 对任意n，其中1在第n个坐标上。由题设，因此是T的特征值。又由于是闭集，所以。若，则。定义算子，若，易验证，且。因此。若，且，使。则对任意n，。由于，则，。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5 设为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明 设是的特征值，的n次根为。存在，使，则。若，则就是A的特征值，否则必有某i，而，则是A的特征值。证毕。6 设A为Banach空间X上的有界线性算子，又设为X上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，也以为正则点。证明 。当n充分大时，这样 是可逆的。此可逆性由本章§2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。7 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当时，。证明 当时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。这就证明了，。 证毕。8 设A为X上的有界线性算子，则。其中与的意义同第7题。证明 在等式两边左乘右乘得。因此，证毕。9 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且。事实上，对任意，。这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了T*也可逆，且。现在设，则可逆，因此也可逆，从而。同理若，则，这就证明了。证毕。10 设是 到的全连续算子，是到的有界线性算子，则是到的全连续算子。证明 设 是 中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11 设A是上线性算子，记，其中，证明A是全连续的。证明 若，定义：则是有界秩算子，且所以。由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕。12 的符号同第11题。作上算子U。证明U是上全连续算子且。证明 若，则。令，则是有限秩算子，且 所以。这样U是有限秩算子的极限，U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证，只要证U无非零特征值。倘若，。即 。则，由此可得。因此不是U的特征值。证毕。13设 ， 求A的特征值和特征函数。（提示：记 ）解 记。设为对应特征值的特征函数，则，即。若，则。代入c的表达式：，解得。因此非零特征值，特征函数为，其中为任意非零常数。若，则，特征函数为中任意非零函数。14 积分算子的核为， 其中 为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e有形式 ， 是常数。若记 ，则可由下式决定：。证明 。若为A的特征值，为对应的特征向量，则。即，其中。将代入表达式得。即，。证毕。15 在14题中，若。试求特征值和特征函数。解 采用14题的符号，因为，所以，。这样决定的方程组。变为 ，。因此就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个，其相应的特征函数为。显然由张成的有限维线性子空间M的正交补空间中任一非零函数都是相应于0的特征函数。16 若，求积分算子K 的特征值和特征函数。 解 。令 可验证。因此积分算子K有两个非零特值。其中相应于特征函数为，相应于特征函数为。如15 题，0相应的特征函数为中非零函数。17 解方程。解 。设为的完全规范正交系，则由本章§5定理1，方程解为 。但，因此所以是积分方程的解。本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。18 解方程。 解 。设为的完全规范正交系，由本章§5定理1，因此为本积分方程的解。