【教学论文】巧用椭圆的定义解题【教师职称评定】.doc

巧用椭圆的定义解题江西省南康中学 王业明对于椭圆的定义，在解题时要充分加以利用，特别是有关椭圆上的点到焦点的距离或到准线的距离问题，应先考虑能否用椭圆的定义或结论来解决。如果运用恰当，往往可以使题目化繁为简，可收到事半功倍的效果。抓住圆锥曲线二种定义特征能够求轨迹方程、距离、最值等问题。一、轨迹问题例1、已知点是圆C：内的一定点，动圆M和圆C内切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。解：设，以及两圆的切点为Q则由题意可知： =8则点M到两个定点、的距离之和为8（8）点M的轨迹是以P、C为焦点，以8为长轴长的椭圆c=3，a=4, =7圆心M的轨迹方程是二、最值问题例2 、 已知是定点，是椭圆上的动点，、是椭圆的左、右焦点。FOyMB. x（1）求的最大值；（2）求的最小值； （3）求的最小值。解：由己知条件得，a=10,b=8,c=6, =2a=20,， 离心率，准线方程：.（1）=100当且仅当10时等号成立的最大值为100（2）作垂直右准线于，则，所以 于是=，当且仅当B、M、H三点共线时等号成立。 的最小值为（3） =-(-)=.当点在线段延长线与椭圆的交点处时，取最小值。 例3、 己知椭圆的焦点为、，且与直线有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。解：设关于直线的对称点为，则FxyxxM ，解得 所以对称点，=，所求椭圆的长轴长度的最小值为，从而，.因此，所求椭圆的方程是.评述：（1）涉及椭圆上的点到焦点的距离或到准线的距离问题，应先考虑能否用椭圆的定义或结论来解决；（2）圆锥曲线的两个定义是运用数形结合解决有关问题的重要依据。三、推导公式例4、设P（x0,y0）是离心率为e的椭圆方程为上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为和。求证：证明：由椭圆第二定义，得|PF1|=e=e, |PF1|= 又,|PF2|=e=e, |PF2|=，综上所述注意：|PF1|=,|PF2|=，称为椭圆的焦半径公式，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.如例题2的第（1）小题就可以用焦半径公式：设M（x0,y0），则|MF1|=,|MF2|=（）（）=-0 -64100 的最大值为100评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理。