61工程问题题库教师版doc.doc

工程问题 教学目标 1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； 4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用 知识精讲 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一 工程问题的基本概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量工作效率×工作时间， 工作效率工作总量÷工作时间， 工作时间工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； 学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路三、利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的是时间 例题精讲模块一、工程问题基本题型【例 1】 （难度等级 ）一项工程，甲单独 做需要 28 天时 间，乙单独 做需要 21 天时 间，如果甲 、 乙合作需 要 多少时间 ？ 1 1【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的 ，乙每天完成总量的 ，两 28 21 1 1 1 1 人合作每天能完成总量的 ，所以两人合作的话，需要 1 ÷ 天能够完成 12 28 21 12 12【例 2】 （难度等级 ）一项工程，甲单独做需要 30 天时间，甲、乙合作需要12 天时间，如果乙单独 做需要多少时间？ 1【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的 ，甲、乙合作每天完成总量的 30 1 1 1 1 1 ，乙单独做每天能完成总量的 ，所以乙单独做 1 ÷ 天能完成 20 12 12 30 20 20【巩固】 （难度等级 ）一项工程，甲单独做需要 21 天时间，甲、乙合作需要12 天时间，如果乙单独 做需要多少时间？ 1【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的 ，甲、乙合作每天完成总量的 21 1 1 1 1 ，乙单独做每天能完成总量的 ，所以乙单独做 28 天能完成 12 12 21 28【例 3】 （难度等级 ）甲、乙两人共同加工一批零件，8 小时可以完成任务如果甲单独加工，便 2 需要 12 小时完成现在甲、乙两人共同生产了 2 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生 5 产了 420 个零件才完成任务问乙一共加工零件多少个 1 1 1 2 1 1 84【解析】 乙单独加工，每小时加工 甲调出后，剩下工作乙需做 1 2 × ÷ 时所 8 12 24 5 8 24 5 84 2 2 以乙每小时加工零件 420 ÷ 个，则 2 小时加工 25 × 2 25 60 个，所以乙一共加工 5 5 5 零件 42060480个【巩固】 （难度等级 ）一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了， 由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】 共做了 6 天后，原来，甲做 24 天，乙做 24 天， 现在，甲做 0 天，乙做 40（2416）天.这说 可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的 16/242/3。 明原来甲 24 天做的工作， 3 2 如果甲独做，所需时间是 30 30 × 天如果乙独做，所需时间是 30 30 × 天；甲或 75 50 2 3 乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天.【巩固】 （难度等级 ）某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成；如果由甲、乙两人 合作，需 48 天完成.现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？【解析】 先对比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-4815（天），乙 3 要多做 48-2820（天），由此得出乙的工作效率是甲的 ，甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 4 4 63-4221（天），相当于乙要做 21× 天因此，乙还要做 2828 56 （天） 28 ，乙还需要做 56 3 天.【例 4】 （难度等级 ）一项工程，甲、乙合作需要 20 天完成，乙、丙合作需要 15 天完成，由乙单 独做需要 30 天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 1 1【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1” 从条件中我们很容易看出： 甲 乙 ， ， 乙 丙 ， 20 15 1 1 1 1 1 1 1 乙 因此不难得到丙的工作效率为 ，因此三个人的工作效率之和为 ， 30 15 30 30 20 30 12 也就是说，三个人合作需要 12 天可以完成。 本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效但 是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了【巩固】 （难度等级 ）一项工程，甲、乙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要12 天，由丙单独做需 要 36 天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 1 1 1【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲 乙 ， 乙丙 ， 丙 不难求得，乙的工作效率 9 12 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 为 ，因此甲的工作效率为 ，从而甲丙合作的工作效率为 ， 12 36 18 9 18 18 36 18 12 即甲丙合作 12 天能完成。 法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得 到“甲 丙”的值呢？ × 2 不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有： 甲乙丙乙丙甲丙 ，也就 1 1 1 1 是说： 甲丙 ×2 ，所以甲丙合作12 天能完成。 9 36 12 12【巩固】 （难度等级 ）一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙 两人合作要 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 1 1【解析】 设这件工作的工作量是 1。甲乙两人合作每天完成 ，甲丙两人合作每天完成 ，乙丙两人合 36 60 1 1 1 1 6 1 作每天完成 ，甲、乙、丙三人合作每天完成 ÷2 减去乙、丙两人 45 36 45 60 180 30 1 1 1 1 每天完成的工作量，甲每天完成 ，甲独做需要 1 ÷ 天 答：甲一人独做需 90 30 45 90 90 要 90 天完成.【巩固】 （难度等级 ）一件工程，甲、乙两人合作 8 天可以完成，乙、丙两人合作 6 天可以完成， 丙、丁两人合作 12 天可以完成那么甲、丁两人合作多少天可以完成 11 1 .对于工作效率有甲，乙丙，丁【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 128 6 1 1 1 1 1 乙，丙甲，丁即 ，甲、丁合作的工作效率为 所以，甲、丁两人 8 12 6 24 24 合作 24 天可以完成这件工程【巩固】 （难度等级 ）一项工作，甲、乙两人合做 8 天完成，乙、丙两人合做 9 天完成，丙、甲两 人合做 18 天完成那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天 1 1 1 13【解析】 方法一：对于工作效率有：甲，乙乙，丙丙，甲2 乙，即 为两倍乙的 8 9 18 72 13 工作效率，所以乙的工作效率为 而对于工作效率有，乙，丙乙丙，那么丙的工作效 144 1 13 1 1 率为 那么丙一个人来做，完成这项工作需 1÷ 48 天。 9 144 48 48 1 1 1 21 21 方法二： 2甲，乙， 丙甲乙乙 、丙甲、 丙 所 乙 ， 以 甲， ，丙 8 9 18 72 72 21 21 21 1 ÷2 ，即甲、 乙、丙 3 人合作的工作效率为 那么丙单独工作的工作效率为 144 144 144 8 1 ，那么丙一个人来做，完成这项工作需 48 天 48【例 5】 （难度等级 ）一池水，甲、乙两管同时开，5 小时灌满；乙、丙两管同时开，4 小时灌 满现在先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满？【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同 时开 2 小时灌满”，我们可以把乙管的 6 小时分成 3 个 2 小时，第一个 2 小时和甲同时开，第二 个 2 小时和丙同时开，第三个 2 小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开 2 小时，乙、丙同 时开 2 小时，乙单独开 2 小时，正好灌满一池水可以计算出乙单独灌水的工作量为 1 1 1 1 1 1 × 2 × 2 ，所以乙的工作效率为： ÷ 6 2 2 ，所以整池水由乙管单独灌水， 5 4 10 10 20 1 需要 1 ÷ （小时） 20 20【例 6】 （难度等级 ）2007 年四中考题某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需 12 小 时注满，单开乙管需 24 小时注满，若要求 10 小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽 量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小所 1 1 以，乙开放的时间为 1 × 10 ÷ 4 小时，即甲、乙最少要同时开放 4 小时 12 24【例 7】 （难度等级 ）一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头，2 小时半就 把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要 多少时间才能把水放空？【解析】 先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 4 × 60 240（立 方米）.时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90） 8（立 ， 其 方米） 8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90， 中 90 分钟内流入水量是 4 × 90， 因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90 5400（立方米）.打开 13 个水龙头每分钟可以 放出水 8×13，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）54（分钟）.所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟.水池中的水，有两部分，原存有 水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐 含着的.【例 8】 （难度等级 ）有 10 根大小相同的进水管给 A 、 B 两个水池注水，原计划用 4 根进水 管给 A 水池注水，其余 6 根给 B 水池注水，那么 5 小时可同时注满因为发现 A 水池以一定的 速度漏水，所以改为各用 5 根进水管给水池注水，结果也是同时注满1如果用 10 根进水管 给漏水的 A 水池注水，需要多少分钟注满2如果增加 4 根同样的进水管， A 水池仍然漏水， 并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多 少分钟结果四舍五入到个位 ，那【解析】 设每只进水管的工效为“1” 么 A 池容量为 4×520，B 池容量为 6×530当用 5 根进水管给 B 池灌水时需 30÷56 小时，而在 6 小时内 5 只其水管给 A 池也是灌有 30 的水，所以漏了 30 5 2010 ， 因 此 漏 水 的 工 效 为 10 ÷ 6 . 1 用 10 根 进 水 管 给 漏 水 的 A 池 灌 水 ， 那 么 需 3 5 20 ÷ 10 小时144分钟. 2.4 2 设 A 池 需 x 根 ， 那 么 B 池 需 14 x 根 ， 有 3 5 x : 14 x 3 所以有 28 2 x 3 x 5 化简解得 x 6.6. 所以 A 池用 7 根或 6 根进水管， 2: 3 此时对应所需时间，分别为： 5 3 当 A 池用 7 根进水管时：A：7 根水管，需时间 20 ÷ 7 小时225 分钟；B：7 根水管， 3 3 4 30 需时间 30 ÷ 7 小时 257 分钟此时要把两个水池注满最少需要 257 分钟； 7 5 60 当 A 池用 6 根进水管时：A：6 根水管，需时间 20 ÷ 6 小时 277 分钟；B：8 根水管， 3 13 15 需时间 30÷8 小时225 分钟此时要把两个水池注满最少需要 277 分钟所以，要把两个水 4 管都注满，最少需 257 分钟，7 根水管注 A 池，7 根水管注 B 池【例 9】 （难度等级 ）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务甲车单独清扫需 10 小时，乙车单独清扫需 15 小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米问：东、西两城相距多少千米？【解析】 法一： 1 1 先求出甲、乙相遇的时间： 1 ÷ 6 小时； 10 15 1 3 1 2 3 2 甲清扫全长的 ×6 ，乙清扫了全部的 × 6 ；所以东、西两城相距 12 ÷ 千米 60 .