电大本科工程数学期末考试复习资料(.doc

工程数学复习资料一、 线性代数1、 矩阵的初等行变换：1）两行互换，2）某一行乘以一个非零常数，3）某一行的K倍加到另一行。2、 阶梯型矩阵：1）全为0的行写在最下面，2）首非零元的列标随行标的增大而增大。如3、 行简化阶梯型矩阵：满足下列条件的阶梯型矩阵：1）首非零元全为1，2）首非零元所在列其余元素全为0。如：4、 求矩阵A的秩：A阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵A的秩即r(A)例： 设矩阵，求矩阵的秩解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形由此可知矩阵的秩为25、 求矩阵方程AX=B：（A B）(I X)或X=B求矩阵A的逆矩阵：（A I）（I ）1. 例：设矩阵A=,B=,求AB. 或解矩阵方程AX=B解：（AB）=例：设矩阵，求： 解： 所以 6 、n元线性方程组解的判定1）AX=b ：r(A b)=r(A)时，方程组有解 r(Ab)r(A)时，方程组无解AX=0：方程组一定有解2）求齐次线性方程组AX=0的基础解系：将方程组中的自由未知量分别取（k，0，0）,(0,k,0),(0,0,k)形式所得到的解向量3）求AX=0的一般解和全部解：求AX=b的一般解和全部解：例：设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 方程组的通解为：，其中是任意常数 例：2.线性方程组的全部解解：（A b）=方程组的一般解将常数项视为零，取得相应齐次方程组的一个基础解系，取原方程组的一个特解故方程组的全部解 X=+C例：当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为 分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）二、 概率部分1、假设为两事件，已知，求解： 2、正态分布X, ,P(X>b)=1-P（X<b）=1- 例：.设XN(2,9),试求（1）P(X<11);(2)P（5<X<8）.（已知（1）=0.8413，（2）=0.9772，（3）=0.9987）解：P(X<11)=()=(3)=0.9987 P(5<X<8)=()-()=(2)-(1)=0.13593、估计区间和假设检验：对于正态分布N（1）方差已知：统计量U=，其中置信区间：,假设检验：若，则假设成立2）方差未知：统计量T= ，置信区间：,假设检验：若 ，则假设例：. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间解：由于已知，故选取样本函数已知，经计算得滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为例：对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位：米）： 15.51, 15.47, 15.50, 15.52由此计算出，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为0.95的置信区间（测量值服从正态分布）解：由于未知， 已知，经计算得该距离的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为。例：.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度XN(32.5,1.21),今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg/cm）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（=0.05，=1.96）解：假设：32.5已知9，31.121.1 =3.76>1.96故认为这批砖的抗断强度不合格例：某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm,今对这批管材进行检验，随机取出9根，测得它们直径的平均值为99.9mm,样本标准差s=0.47,已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平=0.05，）解：假设H:=100已知：n=9 s=0.47 =99.9故认为这批管材的质量是合格的