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高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）（一）单项选择题 若，则（B. ）（ B. ）若，则（B. ）下列无穷限积分收敛的是（ D. ）若函数满足条件（ D. 在内连续，在内可导），则存在，使得 函数的单调增加区间是（D. ）函数在区间内满足（ A. 先单调下降再单调上升） 函数满足的点，一定是的（ C. 驻点）设在内有连续的二阶导数，若满足（ C ），则在取到极小值 A. B. C. D. 设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ） A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的设且极限存在，则（ C. ） 设在可导，则（D） A. B. C. D. 设，则（A） A. B. C. D. 设，则（D） A. B. C. D. 下列结论中正确的是（C） A. 若在点有极限，则在点可导 B. 若在点连续，则在点可导 C. 若在点可导，则在点有极限 D. 若在点有极限，则在点连续下列各函数对中，（C. ，）中的两个函数相等 设函数的定义域为，则函数的图形关于（C C. y轴）对称 下列函数中为奇函数是（B. ） 下列函数中为基本初等函数是（C . ）下列极限存计算不正确的是（ D. ）当时，变量（C. ）是无穷小量 若函数在点满足（A A. ），则在点连续。4.（ (A) ）1.函数的图形关于（(A) 坐标原点）对称2.在下列指定的变化过程中，（ (C) ）是无穷小量4.若，则（(B) ）1.函数的图形关于（(A) 坐标原点）对称函数在区间内满足（(B) 单调上升）2.在下列指定的变化过程中，（ (C) ）是无穷小量3.设在可导，则（(C) ）设在点处可导，则（(D) ）设函数的定义域为，则函数的图形关于（(D) 坐标原点）对称1.设函数的定义域为，则函数的图形关于（(C) 轴）对称3.设在可导，则（(C) ）3.设，则（(B) ）4.若，则（(B) ）（(D) ）若的一个原函数是，则（(B) ）若，则（(B) ）2.当时，变量（ (D) ）是无穷小量当时，变量（ (C) ）是无穷小量3.下列等式中正确的是（(B) ）4.下列等式成立的是（(A) ）5.下列积分计算正确的是（(D) ）5.下列无穷限积分收敛的是（(C) ）5.下列无穷限积分收敛的是（ (B) ）5.下列积分计算正确的是（(D) ）下列各函数对中，（(C) ，）中的两个函数相等下列无穷积分收敛的是（(B) ）（二）填空题函数的不定积分是。若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式。若，则。3若无穷积分收敛，则。二、填空题（每小题3分，共15分） 设在内可导，且当时，当时，则是的 极小值 点 若函数在点可导，且是的极值点，则 0 函数的单调减少区间是 函数的单调增加区间是 若函数在内恒有，则在上的最大值是 函数的拐点是设函数，则0 设，则。 曲线在处的切线斜率是。 曲线在处的切线方程是。 设，则 设，则。函数的定义域是已知函数，则 x2-x 若函数，在处连续，则e 函数的间断点是若，则当时，称为。1.函数的定义域是 2.函数的间断点是 3.曲线在处的切线斜率是 4.函数的单调减少区间是 5. 1.函数的定义域是2.若函数，在处连续，则e 3.曲线在处的切线斜率是3 4.函数的单调增加区间是 5.若，则 1.函数的定义域是 2.函数的间断点是 3.曲线在处的切线斜率是 4.函数的单调增加区间是 5. （二）填空题函数的定义域是 函数的间断点是 若函数，在处连续，则 曲线在处的切线斜率是 函数的单调增加区间是 若，则 （三）计算题求函数的单调区间和极值解：令X1(1,5)5+00+y上升极大值32下降极小值0上升列表：极大值：极小值：求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值解：令：，列表：（0,1）1（1,3）+0上升极大值2下降 3.求曲线上的点，使其到点的距离最短解：，d为p到A点的距离，则：。4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积 答：当 时表面积最大。6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底长为x，高为h。则：侧面积为：令答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。（三）计算题 三、计算题（每小题11分，共44分）求下列函数的导数： 解: 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解：求下列函数的导数：解：解： 解：解：解：解：解：解：解：在下列方程中，是由方程确定的函数，求：解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 求下列函数的微分：（注：）解： 解： 解： 解： 求下列函数的二阶导数：解： 解： 解： 解： （三）计算题设函数求：解：，求函数的定义域解：有意义，要求解得 则定义域为在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解： A R O h E B C设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得则上底故求解：求解：求解：求解： 求解：求解：设函数讨论的连续性。解：分别对分段点处讨论连续性 （1）所以，即在处不连续（2）所以即在处连续由（1）（2）得在除点外均连续1.计算极限1. 解：2.设，求2. 解： 3.计算不定积分3. 解：由换元积分法得4.计算定积分4. 解：由分部积分法得 三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限1. 解：2.设，求2. 解：由微分运算法则得 3.计算不定积分3. 解：由换元积分法得4.计算定积分4. 解：由分部积分法得（三)计算题已知，求 ,计算极限 计算极限 计算极限 设，求 设，求 设是由方程确定的函数，求 计算不定积分 计算不定积分 计算不定积分 计算不定积分 计算定积分 计算定积分 计算定积分 三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限1. 解：2.设，求2. 解：由导数四则运算法则得3.设，求3. 解：4.设是由方程确定的函数，求4. 解：等式两端求微分得左端右端由此得整理后得5.计算不定积分5. 解：由分部积分法得6.计算定积分6. 解：由换元积分法得 四、应用题求曲线上的点，使其到点的距离最短四、应用题解：曲线上的点到点的距离公式为与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大值点，将代入得令 求导得令得并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短 四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省（四）应用题求曲线上的点，使其到点的距离最短 和圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 底半径，高某厂要生产一种体积为V的无盖圆底半径，高柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 底边长，高四、应用题（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？四、应用题（本题12分）解：如图所示，圆柱体高与底半径满足 l圆柱体的体积公式为 将代入得 求导得 令得，并由此解出即当底半径，高时，圆柱体的体积最大五、证明题（本题4分）当时，证明不等式五、证明题（本题4分）证明：设，则有当时，故单调增加，所以当时有，即不等式成立，证毕四）证明题 设是可导的奇函数，试证是偶函数证：因为f(x)是奇函数 所以两边导数得：所以是偶函数。（四）证明题当时，证明不等式证：在区间 其中，于是由上式可得当时，证明不等式证：（四）证明题证明：若在上可积并为奇函数，则证: 证毕证明：若在上可积并为偶函数，则证：