最新电大《工程数学》(本)期末复习考试必备资料小抄.doc

电大工程数学期末复习考试必备资料小抄一、单项选择题1. 设，则（A） A. 2. 设是矩阵，是矩阵，则下列运算中有意义的是（D）D. 3. 已知，若，则（ B ） B. 4.都是阶矩阵（，则下列命题正确的是 ( D ) D5. 若是对称矩阵，则等式（C）成立 C. 6. 若，则（D ） D. 7. 若，则秩（B ） B. 1 8. 向量组的秩是（A） A. 4 9. 向量组的一个极大无关组可取为（B）B. 10. 向量组，则（B ） 11. 线性方程组解的情况是（D）D. 有无穷多解12. 若线性方程组只有零解，则线性方程组（C）C. 可能无解 13. 若元线性方程组有非零解，则（A ）成立A. 14. 下列事件运算关系正确的是（A ）A. 15. 对于随机事件，下列运算公式（ A ）成立A. 16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D） 17. 若随机事件,满足，则结论（B ）成立与互不相容18. 若满足（C），则与是相互独立C. 19. 下列数组中，（C）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布20. 设，则（B ） B0.4 21. 随机变量，则（D） D. 22. 已知，若，那么（C）23. 若，（C），则 C. 24. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ A ）是统计量A. 25. 设是来自正态总体的样本，则（D ）是无偏估计D. 设，则（D）D. 6 若，则（A）A. 乘积矩阵中元素（C）C. 10 设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B） 设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D） 下列结论正确的是（A）若是正交矩阵，则也是正交矩阵 矩阵的伴随矩阵为（C） 方阵可逆的充分必要条件是（B） 设均为阶可逆矩阵，则（D） 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）用消元法得的解为（C） 线性方程组（B）有唯一解 向量组的秩为（A）A. 3 设向量组为，则（B）是极大无关组与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）秩秩若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）可能无解以下结论正确的是（D）齐次线性方程组一定有解若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出至少有一个向量 10设，为阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似为两个事件，则（B）成立 如果（C）成立，则事件与互为对立事件且 10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D）4. 对于事件，命题（C）是正确的如果对立，则对立某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D）6.设随机变量，且，则参数与分别是（A） A. 6, 0.87.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A）8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（D）10.设为随机变量，当（C）时，有 设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计1. 若，则（A）A. 32. 已知2维向量组，则至多是（B） A B C D 3. 设为阶矩阵，则下列等式成立的是（C）4. 若满足（B），则与是相互独立5. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（D）成立1. 设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义2. 向量组的极大线性无关组是（A ）3. 若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解4. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. 5. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B ）未知方差，检验均值二、填空题 1. 是关于的一个多项式，该式中一次项系数是2 2. 设是3阶矩阵，其中，则12 3. 设均为n阶矩阵，其中可逆，则矩阵方程的解 4. 若方阵满足，则是对称矩阵 5设矩阵，则1 6. 7. 向量组线性相关，则. 8含有零向量的向量组一定是线性相关的 9. 若元线性方程组满足，则该线性方程组有非零解 10. 线性方程组中的一般解的自由元的个数是2，其中A是矩阵，则方程组增广矩阵= 3 11. 齐次线性方程组的系数矩阵经初等行变换化为则方程组的一般解为是自由未知量） 12. 当=1 时，方程组有无穷多解 13. 若，则 14. 设，为两个事件，若，则称与相互独立 15. 设随机变量，则 16. 设随机变量的概率密度函数为，则常数k = 17. 设随机变量，则 18. 设随机变量的概率密度函数为， 则 19. 已知随机变量，那么3 20. 设随机变量，则15 21. 设随机变量的期望存在，则0 22. 设随机变量，若，则 23. 不含未知参数的样本函数称为统计量 24. 设是来自正态总体的一个样本，则25. 若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更有效 7 是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵 二阶矩阵 设，则 设均为3阶矩阵，且，则 72 设均为3阶矩阵，且，则 3 若为正交矩阵，则 0 矩阵的秩为 2 设当 时，齐次线性方程组有非零解 向量组线性 相关 向量组的秩是 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的 向量组的极大线性无关组是 向量组的秩与矩阵的秩 相同 设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为 9若是的特征值，则是方程的根10若矩阵满足，则称为正交矩阵是两个可逆矩阵，则从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ， 0.3 3.为两个事件，且，则4. 已知，则5. 若事件相互独立，且，则6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 7.设随机变量，则的分布函数8.若，则 6 9.若，则10.称为二维随机变量的 协方差 1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法 3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 4设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量 5假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率1. 设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则2. 向量组线性相关，则.3. 已知，则4. 已知随机变量，那么5. 设是来自正态总体的一个样本，则1. 设均为3阶矩阵，且，则2.设，则23. 设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.4. 设随机变量，则5. 设是来自正态总体的一个样本，则 三、计算题1. 已知，证明可逆，并求解： ， 因为 ，所以 可逆 且 2. 设矩阵，求（1），（2）解： （1） （2）利用初等行变换得即 3. 设矩阵，求及解： 利用初等行变换得即由矩阵乘法得4. 已知，其中，求解：由方程，得，且 利用初等行变换得即由矩阵乘法得5. 设矩阵，求矩阵的秩解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 由此可知矩阵的秩为26. 求向量组，的秩，并求该向量组的一个极大无关组解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 由此可知该向量组的秩为3，且是一个极大无关组 7. 分别说明当取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解在有无穷多解的情况下求出一般解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形当时，方程组无解。当时，方程组有唯一解。当时，方程组有无穷多解。在方程组有无穷多解的情况下，一般解为（其中为自由未知量）8. 求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为分别令，和，得齐次方程组的一组基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）9. 设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 方程组的通解为：，其中是任意常数 10当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）11. 假设为两事件，已知，求解： 12. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.解：设如下事件：“产品来自甲厂” ：“产品来自乙厂” ：“产品来自丙厂” ：“产品是合格品”由全概公式有由对立事件的关系可知13. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.解：设如下事件：“第1次抽取出的是黑球” ：“第2次抽取出的是黑球”显然有，由全概公式得 14. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.解： 设如下事件：“第一道工序加工的零件是次品”：“第二道工序加工的零件是次品” ：“零件是合格品”由事件的关系有已知相互独立，由加法公式得 由对立事件的关系可知 15. 设，求；（2）；（3）.解： （1） （2） （3）16. 设，试求；（已知）解： 17. 设，求；解：由期望的定义得 18. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间解：由于已知，故选取样本函数已知，经计算得滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为19. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kgcm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）解： 零假设由于已知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。20. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）解： 由于未知，故选取样本函数已知，经计算得该项技术指标置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为 设，求；答案： 设，求解： 已知，求满足方程中的解： 写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值答案： 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 解：（1）（2）(过程略) (3) 求矩阵的秩解： 1用消元法解线性方程组解：方程组解为设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：当且时，方程组有唯一解当时，方程组有无穷多解 判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式其中 解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出 计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 解：该向量组线性相关 求齐次线性方程组的一个基础解系解：方程组的一般解为令，得基础解系 求下列线性方程组的全部解解：方程组一般解为令，这里，为任意常数，得方程组通解试证：任一维向量都可由向量组，线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明：任一维向量可唯一表示为试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设为含个未知量的线性方程组该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解9设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使即是矩阵的特征值10用配方法将二次型化为标准型解：令，即则将二次型化为标准型1.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件： 中至少有一个发生； 中只有一个发生； 中至多有一个发生； 中至少有两个发生； 中不多于两个发生； 中只有发生解:(1) (2) (3) (4) (5) (6)2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： 2球恰好同色； 2球中至少有1红球解:设=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1红球” 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率解：设“第i道工序出正品”（i=1,2）4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解：设 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布解：故X的概率分布是6.设随机变量的概率分布为试求解：7.设随机变量具有概率密度试求解：8. 设，求解：9. 设，计算；解：10.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求解： 1设对总体得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值和样本方差解： 2设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 解：提示教材第214页例3矩估计：最大似然估计：， 3测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值并在；未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间解： （1）当时，由10.95， 查表得： 故所求置信区间为： （2）当未知时，用替代，查t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信区间为：4设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立 解：，由 ，查表得：因为 > 1.96 ，所以拒绝 5某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）解：由已知条件可求得： | T | < 2.62 接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。2. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。8分此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）4. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？解： 零假设由于已知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件，故接受零假设，即零件平均重量仍为151已知，其中，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法运算得2.求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐次方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 3. 设，求和.（其中,）解：设 = 4. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 ，可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？解：零假设由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克四、证明题 1. 设是阶矩阵，可逆，且，试证：证明：在的两端右乘，得上式左端为 右端为 故有 证毕2. 设,是同阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：因 故可知是对称矩阵证毕3. 可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵证明：设可逆，且则，所以也是对称矩阵 证毕4. 设是线性无关的，证明, 也线性无关. 证明： 设有一组数，使得 成立，即，由已知线性无关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的 证毕5. 设,是两个随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由加法公式和乘法公式可知 证毕6. 已知随机事件,满足，试证：证明：已知，由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即 证毕7. 设随机事件,满足，试证：证明： 由可知，因此得，故由因为，故有 证毕8. 设随机变量的均值、方差都存在,且，试证：随机变量的均值为0证明： 结论得证 对任意方阵，试证是对称矩阵证明： 是对称矩阵 若是阶方阵，且，试证或 证明： 是阶方阵，且或 若是正交矩阵，试证也是正交矩阵证明： 是正交矩阵 即是正交矩阵9.设,为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即 证毕 O(_)O谢谢！【China's 10 must-see animations】The Chinese animation industry has seen considerable growth in the last several years. It went through a golden age in the late 1970s and 1980s when successively brilliant animation work was produced. Here are 10 must-see classics from China's animation outpouring that are not to be missed. Let's recall these colorful images that brought the country great joy. Calabash Brothers Calabash Brothers (Chinese: 葫芦娃) is a Chinese animation TV series produced by Shanghai Animation Film Studio. In the 1980s the series was one of the most popular animations in China. It was released at a point when the Chinese animation industry was in a relatively downed state compared to the rest of the international community. Still, the series was translated into 7 different languages. The episodes were produced with a vast amount of paper-cut animations. Black Cat Detective Black Cat Detective (Chinese: 黑猫警长) is a Chinese animation television series produced by the Shanghai Animation Film Studio. It is sometimes known as Mr. Black. The series was originally aired from 1984 to 1987. In June 2006, a rebroadcasting of the original series was announced. Critics bemoan the series' violence, and lack of suitability for children's education. Proponents of the show claim that it is merely for entertainment. Effendi "Effendi", meaning sir and teacher in Turkish, is the respectful name for people who own wisdom and knowledge. The hero's real name was Nasreddin. He was wise and witty and, more importantly, he had the courage to resist the exploitation of noblemen. He was also full of compassion and tried his best to help poor people. Adventure of Shuke and Beita【舒克与贝塔】 Adventure of Shuke and Beita (Chinese: 舒克和贝塔) is a classic animation by Zheng Yuanjie, who is known as King of Fairy Tales in China. Shuke and Beita are two mice who don't want to steal food like other mice. Shuke became a pilot and Beita became a tank driver, and the pair met accidentally and became good friends. Then they befriended a boy named Pipilu. With the help of PiPilu, they co-founded an airline named Shuke Beita Airlines to help other animals. Although there are only 13 episodes in this series, the content is very compact and attractive. The animation shows the preciousness of friendship and how people should be brave when facing difficulties. Even adults recalling this animation today can still feel touched by some scenes. Secrets of the Heavenly Book Secrets of the Heavenly Book, (Chinese: 天书奇谈) also referred to as "Legend of the Sealed Book" or "Tales about the Heavenly Book", was released in 1983. The film was produced with rigorous dubbing and fluid combination of music and vivid animations. The story is based on the classic literature "Ping Yao Zhuan", meaning "The Suppression of the Demons" by Feng Menglong. Yuangong, the deacon, opened the shrine and exposed the holy book to the human world. He carved the book's contents on the stone wall of a white cloud cave in the mountains. He was then punished with guarding the book for life by the jade emperor for breaking heaven's law. In order to pass this holy book to human beings, he would have to get by the antagonist fox. The whole animation is characterized by charming Chinese painting, including pavilions, ancient architecture, rippling streams and crowded markets, which fully demonstrate the unique beauty of China's natural scenery. Pleasant Goat and Big Big Wolf【喜洋洋与灰太狼】 Pleasant Goat and Big Big Wolf (Chinese:喜羊羊与灰太狼) is a Chinese animated television series. The show is about a group of goats living on the Green Pasture, and the story revolves around a clumsy wolf who wants to eat them. It is a popular domestic animation series and has been adapted into movies. Nezha Conquers the Dragon King（Chinese: 哪吒闹海） is an outstanding animation issued by the Ministry of Culture in 1979 and is based on an episode from the Chinese mythological novel "Fengshen Yanyi". A mother gave birth to a ball of flesh shaped like a lotus bud. The father, Li Jing, chopped open the ball, and beautiful boy, Nezha, sprung out. One day, when Nezha was seven years old, he went to the nearby seashore for a swim and killed the third son of the Dragon King who was persecuting local residents. The story primarily revolves around the Dragon King's feud with Nezha over his son's death. Through bravery and wit, Nezha finally broke into the underwater palace and successfully defeated him. The film shows various kinds of attractive sceneries and the traditional culture of China, such as spectacular mountains, elegant sea waves and exquisite ancient Chinese clothes. It has received a variety of awards. Havoc in Heaven Th