中考试题中的旋转(教师版).doc

1.（2013福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到OBD（1）AOC沿x轴向右平移得到OBD，则平移的距离是 个单位长度；AOC与BOD关于直线对称，则对称轴是 ；AOC绕原点O顺时针旋转得到DOB，则旋转角度可以是 度；（2）连结AD，交OC于点E，求AEO的度数考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质专题：计算题分析：（1）由点A的坐标为（2，0），根据平移的性质得到AOC沿x轴向右平移2个单位得到OBD，则AOC与BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得AOC=BOD=60°，则AOD=120°，根据旋转的定义得AOC绕原点O顺时针旋转120°得到DOB；（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而AOC=BOD=60°，得到DOC=60°，所以OE为等腰AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则AEO=90°解答：解：（1）点A的坐标为（2，0），AOC沿x轴向右平移2个单位得到OBD；AOC与BOD关于y轴对称；AOC为等边三角形，AOC=BOD=60°，AOD=120°，AOC绕原点O顺时针旋转120°得到DOB（2）如图，等边AOC绕原点O顺时针旋转120°得到DOB，OA=OD，AOC=BOD=60°，DOC=60°，即OE为等腰AOD的顶角的平分线，OE垂直平分AD，AEO=90°故答案为2；y轴；120点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质2.（2013珠海）如图，在RtABC中，C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P），当AP旋转至APAB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PEAC于点E（1）求证：CBP=ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP=5时，求线段AB的长考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质3481324专题：几何综合题分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP，根据等边对等角的性质可得APP=APP，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PDAB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出PAD=APE，利用“角角边”证明APD和PAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，再求出ABP和EPP相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PA=AB，然后在RtABP中，利用勾股定理列式求解即可解答：（1）证明：AP是AP旋转得到，AP=AP，APP=APP，C=90°，APAB，CBP+BPC=90°，ABP+APP=90°，又BPC=APP（对顶角相等），CBP=ABP；（2）证明：如图，过点P作PDAB于D，CBP=ABP，C=90°，CP=DP，PEAC，EAP+APE=90°，又PAD+EAP=90°，PAD=APE，在APD和PAE中，APDPAE（AAS），AE=DP，AE=CP；（3）解：=，设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k，在RtAEP中，PE=4k，C=90°，PEAC，CBP+BPC=90°，EPP+PPE=90°，BPC=EPP（对顶角相等），CBP=PPE，又BAP=PEP=90°，ABPEPP，=，即=，解得PA=AB，在RtABP中，AB2+PA2=BP2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出PA=AB是解题的关键3.（2013梅州）用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由考点：几何变换综合题分析：（1）如答图1所示，过点A作AGBC于点G，构造RtAPG，利用勾股定理求出AP的长度；（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；（3）如答图3所示，证明AMDCND，得AM=CN，则AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到AMN周长的最小值解答：解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得CFB=60°，FP为角平分线，则CFP=30°，CF=BCsin30°=3×=，CP=CFtanCFP=×=1过点A作AGBC于点G，则AG=BC=，PG=CGCP=1=在RtAPG中，由勾股定理得：AP=（2）由（1）可知，FC=如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=过点A过AGBC于点G，则AG=BC=在RtAGP1中，cosP1AG=，P1AG=30°，P1AB=45°30°=15°；同理求得，P2AG=30°，P2AB=45°+30°=75°PAB的度数为15°或75°探究二：AMN的周长存在有最小值如答图3所示，连接ADABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，AD=CD，C=MAD=45°EDF=90°，ADC=90°，MDA=NDC在AMD与CND中，AMDCND（ASA）AM=CN设AM=x，则CN=x，AN=ACCN=BCCN=x在RtAMN中，由勾股定理得：MN=AMN的周长为：AM+AN+MN=+，当x=时，有最小值，最小值为+=AMN周长的最小值为点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点难点在于第（3）问，由发现并证明AMDCND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值4.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合。三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.（1）求证：DPDQ；（2）如图，小明在图的基础上做PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q,仍作PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP3:4，请帮小明算出DEP的面积。解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形DADC，DAPDCQ90°PDQ90°ADP+PDC90° CDQ+PDC90°ADP CDQ在ADP与CDQ中ADPCDQ (ASA)DPDQ（2）PE QE证明： DE是PDQ的平分线PDEQDE在PDE与QDE中PDEQDE (SAS)PE QE M（3）证明：AB:AP3:4, AB6AP8, BP2,由(1)知: ADPCDQ 则APCQ8由(2)知: PE QE设CEx，则PE QECQCE8x在RtPEB中，BP2, BE6x，PE8x由勾股定理得：22（6x）2（8x）2解得：xBPCDBMME CMCE6x6DEP的面积为：SDEP SDME SPME·ME·DC·ME·PB·ME·(DCPB) ··(62) ··(62) 5.（2013盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由考点：四边形综合题分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，ABP=ABC=90°，可以得出PBAFBC，由其性质就可以得出结论；（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，FBC=ABC=90°，可以得出PBAFBC，由其性质就可以得出结论；（3）设BP=x，则PC=3x 平行四边形PEFC的面积为S，由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值解答：解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=PBA=90°在PBA和FBC中，PBAFBC（SAS），PA=FC，PAB=FCB PA=PE，PE=FC PAB+APB=90°，FCB+APB=90° EPA=90°，APB+EPA+FPC=180°，即EPC+PCF=180°，EPFC，四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=CBF=90° 在PBA和FBC中，PBAFBC（SAS），PA=FC，PAB=FCB PA=PE，PE=FC FCB+BFC=90°，EPB+APB=90°，BPE=FCB，EPFC，四边形EPCF是平行四边形；（3）设BP=x，则PC=3x 平行四边形PEFC的面积为S， S=PCBF=PCPB=（3x）x=（x）2+a=10，抛物线的开口向下，当x= 时，S最大=，当BP= 时，四边形PCFE的面积最大，最大值为6.（2013营口）如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值考点：四边形综合题分析：（1）证BCFACD推出CAD=FBC，BF=AD，即可得出结论；证BCFACD推出CAD=FBC，BF=AD，即可得出结论；（2）连接FD，根据（1）得出BOAD，根据勾股定理得出BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，推出BD2+AF2=AB2+DF2，即可求出答案解答：解：（1）BF=AD，BFAD；BF=AD，BFAD仍然成立，证明：ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，AC=BC，四边形CDEF是正方形，CD=CF，FCD=90°，ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，在BCF和ACD中BCFACD（SAS），BF=AD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90°，CAD+AHO=90°，AOH=90°，BFAD；（2）证明：连接DF，四边形CDEF是矩形，FCD=90°，又ACB=90°，ACB=FCDACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BCFACD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90°CAD+AHO=90°，AOH=90°，BFAD，BOD=AOB=90°，BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，在RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，AB2=AC2+BC2=32+42=25，在RtFCD中，FCD=90°，CD=，CF=1，BD2+AF2=点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关键是推出BCFACD，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度7.（2013大连）将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF（1）如图1，若ABC=60°，BF=AF求证：DABC；猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若ABC，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、的式子表示）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形分析：（1）由旋转性质证明ABD为等边三角形，则DAB=ABC=60°，所以DABC；（2）如答图1所示，作辅助线（在DF上截取DG=AF，连接BG），构造全等三角形DBGABF，得到BG=BF，DBG=ABF；进而证明BGF为等边三角形，则GF=BF=AF；从而DF=2AF；与类似，作辅助线，构造全等三角形DBGABF，得到BG=BF，DBG=ABF，由此可知BGF为顶角为的等腰三角形，解直角三角形求出GF的长度，从而得到DF长度，问题得解解答：（1）证明：由旋转性质可知，DBE=ABC=60°，BD=ABABD为等边三角形，DAB=60°，DAB=ABC，DABC猜想：DF=2AF证明：如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG由旋转性质可知，DB=AB，BDG=BAF在DBG与ABF中，DBGABF（SAS），BG=BF，DBG=ABFDBG+GBE=60°，GBE+ABF=60°，即GBF=60°，又BG=BF，BGF为等边三角形，GF=BF，又BF=AF，GF=AFDF=DG+GF=AF+AF=2AF（2）解：如答图2所示，在DF上截取DG=AF，连接BG由（1），同理可证明DBGABF，BG=BF，GBF=过点B作BNGF于点N，BG=BF，点N为GF中点，FBN=在RtBFN中，NF=BFsinFBN=BFsin=mAFsinGF=2NF=2mAFsinDF=DG+GF=AF+2mAFsin，=1+2msin点评：本题是几何综合题，考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点难点在于第（2）问，解题关键是构造全等三角形得到等腰三角形，同学们往往不能由此突破而陷入迷途8.（2013抚顺）在RtABC中，ACB=90°，A=30°，点D是AB的中点，DEBC，垂足为点E，连接CD（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形分析：（1）由ACB=90°，A=30°得到B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断DCB为等边三角形，由于DEBC，DE=BC；（2）根据旋转的性质得到PDF=60°，DP=DF，易得CDP=BDF，则可根据“SAS”可判断DCPDBF，则CP=BF，利用CP=BCBP，DE=BC可得到BF+BP=DE；（3）与（2）的证明方法一样得到DCPDBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BFBP=BC，所以BFBP=DE解答：解：（1）ACB=90°，A=30°，B=60°，点D是AB的中点，DB=DC，DCB为等边三角形，DEBC，DE=BC；（2）BF+BP=DE理由如下：线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，PDF=60°，DP=DF，而CDB=60°，CDBPDB=PDFPDB，CDP=BDF，在DCP和DBF中，DCPDBF（SAS），CP=BF，而CP=BCBP，BF+BP=BC，DE=BC，BC=DE，BF+BP=DE；（3）如图，与（2）一样可证明DCPDBF，CP=BF，而CP=BC+BP，BFBP=BC，BFBP=DE故答案为DE=BC点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系9.（2013威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质分析：（1）根据题意可得BC=DE，进而得到BDC=BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得DOC=DBC+BCA，进而算出度数，根据角度可得CDO是等腰三角形；（2）作AGBC，垂足为点G，DHBF，垂足为点H，首先根据F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长解答：解；（1）由图知BC=DE，BDC=BCD，DEF=30°，BDC=BCD=75°，ACB=45°，DOC=30°+45°=75°，DOC=BDC，CDO是等腰三角形；（2）作AGBC，垂足为点G，DHBF，垂足为点H，在RtDHF中，F=60°，DF=8，DH=4，HF=4，在RtBDF中，F=60°，DF=8，DB=8，BF=16，BC=BD=8，AGBC，ABC=45°，BG=AG=4，AG=DH，AGDH，四边形AGHD为矩形，AD=GH=BFBGHF=1644=124点评：此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等10.（2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由（1）思路梳理AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，可使AB与AD重合ADC=B=90°，FDG=180°，点F、D、G共线根据SAS，易证AFGAEF，得EF=BE+DF（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45°若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系B+D=180°时，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45°猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程考点：几何变换综合题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，可使AB与AD重合，再证明AFGAEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）B+D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据AEC绕点A顺时针旋转90°得到ABE，根据旋转的性质，可知AECABE得到BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，根据RtABC中的，AB=AC得到EBD=90°，所以EB2+BD2=ED2，证AEDAED，利用DE=DE得到DE2=BD2+EC2；解答：解：（1）AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，可使AB与AD重合BAE=DAG，BAD=90°，EAF=45°，BAE+DAF=45°，EAF=FAG，ADC=B=90°，FDG=180°，点F、D、G共线，在AFG和AEF中，AFGAEF（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（2）B+D=180°时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，可使AB与AD重合，BAE=DAG，BAD=90°，EAF=45°，BAE+DAF=45°，EAF=FAG，ADC+B=180°，FDG=180°，点F、D、G共线，在AFG和AEF中，AFGAEF（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90°得到ABE，AECABE，BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，在RtABC中，AB=AC，ABC=ACB=45°，ABC+ABE=90°，即EBD=90°，EB2+BD2=ED2，又DAE=45°，BAD+EAC=45°，EAB+BAD=45°，即EAD=45°，在AED和AED中，AEDAED（SAS），DE=DE，DE2=BD2+EC2点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明AFGAEF此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫11.（2013重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线ABx轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为（，）考点：一次函数综合题专题：压轴题分析：过P作MNy轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DHy轴，交y轴于H，CMP=DNP=CPD=90°，求出MCP=DPN，证MCPNPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=x，求出DN=2x1，得出2x1=1，求出x=1，得出D的坐标，在RtDNP中，由勾股定理求出PC=PD=，在RtMCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可解答：解：过P作MNy轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DHy轴，交y轴于H，CMP=DNP=CPD=90°，MCP+CPM=90°，MPC+DPN=90°，MCP=DPN，P（1，1），OM=BN=1，PM=1，在MCP和NPD中MCPNPD，DN=PM，PN=CM，BD=2AD，设AD=x，BD=2x，P（1，1），DN=2x1，则2x1=1，x=1，即BD=2，C的坐标是（0，3），直线y=x，AB=OB=3，在RtDNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在RtMCP中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=，即直线CD的解析式是y=x+3，即方程组得：，即Q的坐标是（，），故答案为：（，）点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度