第三章-matlab符号运算课件.ppt

符号表达式、符号矩阵的创建 符号矩阵的运算 符号微积分 符号代数方程求解 符号微分方程 符号函数的二维图,本章要点,一、符号变量、符号表达式和符号方程的生成,与数值运算的区别：数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达，可以获得任意精度的解。参与符号运算的对象可以是符号变量、符号表达式或符号矩阵。（符号变量也要先定义，后引用）,1、什么是符号运算,2、符号变量的定义,（1）sym函数 主要功能是创建符号变量、符号表达式或符号矩阵。函数调用的一般格式为：x=sym(x)其目的是将x创建为符号变量，以x作为输出变量名。,例：f=sym(y);%定义f是符号变量名，值为符号x f 1=sym(sin(x)+5x);f 1 符号变量名 sin(x)+5x 符号表达式 符号标识，符号表达式一定要用 单引号括起来matlab才能识别。,的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。例：f1=sym(ax2+bx+c)二次三项式 f2=sym(ax2+bx+c=0)方程 f3=Dy+y2=1 微分方程符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算。,sqrt(2)ans=1.4142 返回数值结果 a=sqrt(sym(2)符号变量 a=2(1/2)返回符号结果 double(x)求符号的值 ans=1.4142 sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3)符号表达式ans=11/15%结果为分数形式 2/5+1/3ans=0.7333%结果为double形式,例3-1 符号对象和普通数据对象之间的差别,例3-2 用符号运算求解方程组,a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量。,a=sym(a);b=sym(b);%定义a,b为符号常量，内容为符号a、b。y=2/b;x=sym(x);y=sym(y”););%定义a,b为符号变量 x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)%以a,b为符号常数，x,y为符号变量即可得到方程组的解：x=3/ay=2/b,例3-3 已知一复数表达式 z=x+i*y,试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。命令如下：x=sym(x,real);把变量x定义为实数 y=sym(y,real);指定符号变量y为实数。z=x+i*y;%定义复数表达式 conj(z);%求共轭复数 expand(z*conj(z)%求表达式与其共轭复数乘积的多项式 ans=x2+y2 x=sym(x,unreal)去掉x的属性,将x创建 为纯格式的符号变量，不具有任何属性。,syms函数的功能与sym函数类似。syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：syms arg1 arg2 argN 用于将rg1,arg2,argN等符号创建为符号型数据。,例：syms x y z,（2）syms函数,一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变 量的系数，而用排在后面的字母表示变量。例如：f=sym(ax2+bx+c)表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数；而将x看作自变量。,（3）默认符号变量,符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式：其符号表达式为：1+sqr(5*x)/2注意，在定义表达式前应先将表达式中的字符x定义为符号变量。,3、符号表达式的生成,findsym 函数:查询系统默认符号变量个数及变量名。findsym 函数通常由系统自动调用，在进行符号运算时，系统调用该函数确定表达式中的符号变量，执行相应的操作。findsym(f)：返回表达式f中的所有符号变量。findsym(f,n)：返回表达式f中的n个变量,例：f=sym(cos(alpha)*b*x1+14*y)findsym(f)%alpha，b，x1,y findsym(f,2)%x1,y,subs 函数：将符号表达式中的符号变量用数值代替。subs(f)：显示符号表达式f。subs(f,new)：用new替代符号表达式f的系统默认变量。默认变量的选择规则为：对于只包含一个字符的变量，选择靠近 x 的变量作为默认变量；如果有两个变量和 x 之间的距离相同，则选择字母表后面的的变量作为默认变量subs(f,old，new)：用new替代符号表达式f的系统变量old。,例：syms x y f=x2*y+5*x*sqrt(y)f=x2*y+5*x*y(1/2)subs(f,x,3)ans=9*y+15*y(1/2)subs(f,y,3)ans=3*x2+5*x*3(1/2),将表达式中的自变量定义为符号变量后，赋值给符号函数名，即可生成符号函数。例如有一数学表达式：,4、符号函数的生成,其用符号表达式生成符号函数fxy的过程为：syms a b c x y%定义符号运算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2%生成符号函数生成符号函数fxy后，即可用于微积分等符号计算。,例3-5 定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。syms a b c x y%定义符号变量fxy=(a*x2+b*y2)/c2；%生成符号函数 diff(fxy，x)%符号函数fxy对x求导数ans=2*a*x/c2diff(fxy，y)%符号函数fxy对y求导数ans=2*b*y/c2 int(fxy，x)%符号函数fxy对x求积分ans=1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),5、符号方程的生成,（1）创建抽象方程 MATLAB 中可以创建抽象方程，即只有方程符号，没有具体表达式的方程。若要创建方程，并计算其一阶微分的方法如下：f=sym(f(x);syms x h;df=(subs(f,x,x+h)-f)/hdf=(f(x+h)-f(x)/h抽象方程在积分变换中有着很多的应用。,（2）创建符号方程 创建符号方程的方法有两种：利用符号表达式创建先创建符号变量，通过符号变量的运算生成符号函数直接生成符号表达式创建 M 文件利用 M 文件创建的函数，可以接受任何符号变量作为输入，作为生成函数的自变量,equation1=sym(sin(x)+cos(x)=1)equation1=sin(x)+cos(x)=1,6、符号和数值之间的转化,S=sym(A,flag)：将数值转化为符号变量，其中 参数 flag 可以为 r,d,e,或者 f 中的一个。该函数将数值标量或者矩阵转化为参数形式，该函数的第二个参数用于指定浮点数转化的方法，该函数各个取值的意义如表所示：,例：t=0.1 t=0.1000 sym(t)%有理数形式 ans=1/10 sym(t,r)%有理数形式 ans=1/10 sym(t,f)%浮点数形式 ans=1.999999999999a*2(-4),7、任意精度的计算,符号计算的一个非常显著的特点是：在计算过程中不会出现舍入误差，从而可以得到任意精度的数值解。如果希望计算结果精确，可以用符号计算来获得足够高的计算精度。符号计算相对于数值计算而言，需要更多的计算时间和存储空间。MATLAB 工具箱中有三种不同类型的算术运算：数值型：MATLAB 的浮点数运算；有理数类型：Maple 的精确符号运算；VPA 类型：Maple 的任意精度算术运算。,在三种运算中，浮点运算速度最快，所需的内存空间小，但是结果精确度最低，而且存在一个舍入误差。符号运算中的有理数运算，其时间复杂度和空间复杂度都是最大的，但是，只要时间和空间允许，能够得到任意精度的结果。可变精度的运算运算速度和精确度均位于上面两种运算之间。其具体精度由参数指定，参数越大，精确度越高，运行越慢。,浮点算术运算：1/2+1/3(定义输出格式format long)ans=0.83333333333333符号运算：sym(1/2)+sym(1/3)ans=5/6 精确解任意精度算术运算：digits(n)设置可变精度，缺省16位 vpa(x,n)显示可变精度计算例：digits(25)vpa(1/2+1/3)ans=.8333333333333333333333333,二、符号运算的基本操作,符号表达式的四则运算合并符号表达式的同类项 符号多项式的因式分解 符号表达式的简化 subs函数用于替换求值 反函数的运算 复合函数的运算,1、符号表达式的四则运算,syms x y a b fun1=sin(x)+cos(y)fun1=sin(x)+cos(y)fun2=a+bfun2=a+b fun1+fun2ans=sin(x)+cos(y)+a+bfun1*fun2 ans=(sin(x)+cos(y)*(a+b),2、合并符号表达式的同类项,syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x)ans=(y-1)*x2+(y-2)*x f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x);collect(f)ans=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x),R=collect(S,v)，对指定的变量 v 进行合并，如果不指定，则默认为对 x 进行合并。,3、符号多项式的嵌套(horner),syms x fun1=2*x3+2*x2-32*x+40fun1=2*x3+2*x2-32*x+40 horner(fun1)ans=40+(-32+(2+2*x)*x)*x,horner(f)函数：将f转化为嵌套格式。嵌套格式在多项式求值中可以降低计算的时间复杂度。,expand(f)函数：用于符号表达式的展开。其操作对象可以是多种类型，如多项式、三角函数、指数函数等。（P84表3.1）,4、符号多项式的展开(expand),syms x fun1=40+(-32+(2+2*x)*x)*x expand(fun1)ans=2*x3+2*x2-32*x+40,factor(f)函数：实现因式分解功能，如果输入的参数为正整数，则返回此数的素数因数。,5、符号多项式的因式分解(factor),syms x fun1=x2-x-6 factor(fun1)ans=(x+2)*(x-3),6、符号表达式的简化,simple(s):实现表达式的化简，该函数可以自动选择化简所选择的方法，最后返回表达式的最简单的形式。函数的化简方法包括：simplify、combine(trig)、radsimpconvert(exp)、collect、factor、expand 等。simplify(f):函数实现表达式的化简，化简所选用的方法为 Maple 中的化简方法。,syms x fun1=(1/x+7/x2+12/x+8)(1/3)fun1=(1/x+7/x2+12/x+8)(1/3)sfy1=simplify(fun1)sfy1=(13*x+7+8*x2)/x2)(1/3),7、subs函数用于替换求值,syms x yf=x2*y+5*x*sqrt(y)f=x2*y+5*x*y(1/2)subs(f,x,3)ans=9*y+15*y(1/2)subs(f,y,3)ans=3*x2+5*x*3(1/2),8、反函数的运算(finverse),syms x y f=x2+yf=x2+y finverse(f,y)ans=-x2+y,9、复合函数的运算(compose),syms x y z t u f=1/(1+x2)g=sin(y)h=xt p=exp(-y/u)compose(f,g)ans=1/(1+sin(y)2)compose(f,g,t)ans=1/(1+sin(t)2),1、符号矩阵的创建 数值矩阵A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不识别使用函数sym直接创建符号矩阵 命令格式：A=sym(),二、符号矩阵,例如：A=sym(a,2*b;3*a,0)A=a,2*b 3*a,0注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别。,用字符串直接创建矩阵,模仿matlab数值矩阵的创建方法需保证同一列中各元素字符串有相同的长度。,例：A=a,2*b;3*a,0 A=a,2*b 3*a,0,将数值矩阵转化为符号矩阵,函数调用格式：sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A=0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(A)ans=1/3,5/2 10/7,2/5,虽然矩阵形式没有发生改变，但是在MATLAB 7的工作区间内，系统已经生成了一个新的矩阵，其数据类型为符号型。,符号矩阵的修改,a.直接修改 可用、键找到所要修改的矩阵，直接修改 b.指令修改 用A1=sym(A,new)来修改。用A1=subs(A,new,old)来修改,例如：A=a,2*b 3*a,0 A1=sym(A,2,2,4*b)A(2,2)=4*b A1=a,2*b 3*a,4*b A2=subs(A1,c,b)A2=a,2*c 3*a,4*c,2、符号矩阵的运算,数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比较直观、简单。例如：a=b+c;a=a*b；A=2*a2+3*a-5等。而符号运算就不同了，所有涉及符号运算的操作都有专用函数来进行。,符号矩阵运算的函数：symadd(a,d)符号矩阵的加symsub(a,b)符号矩阵的减symmul(a,b)符号矩阵的乘symdiv(a,b)符号矩阵的除sympow(a,b)符号矩阵的幂运算symop(a,b)符号矩阵的综合运算,例3-6：符号矩阵的运算 f=2*x2+3*x-5;g=x2+x-7;h=symadd(f,g)h=3*x2+4*x-12 f1=cos(x);g1=sin(2*x);symop(f,/,g,+,f,*,g)ans=cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x)q=sym(3,4,9;x,y,z;a,b,c)p=sym(x,1/x,x2,x3;a,b,c,d;5,2,3,6)r=q*p,例3-7：功能同3-6 syms x f=2*x2+3*x-5;g=x2+x-7;h=f+g h=3*x2+4*x-12 f1=cos(x);g1=sin(2*x);f/g+f*g ans=cos(x)/sin(x)+cos(x)*sin(x),