等差数列的证明.doc
等差数列的证明高中数学一、选择题（本题共0道小题）二、填空题（本题共0道小题）三、解答题（本题共30道小题）1. 已知数列 、 满足：， ， 求证：数列是等差数列；求数列的通项公式；设，若 对于 恒成立，试求实数的取值范围2. 已知数列满足，其中 （）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得 对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由3. 已知数列满足：，且（）求证：数列为等差数列；（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和4. 数列中，时，数列满足：求证：数列是等差数列；求数列的前项和5. 已知数列满足，（）求证：是等差数列；（）求数列的通项；（）设 ，记数列的前项和为，求6. 已知数列满足，且（，且）. （）写出数列的通项公式；（）设，求证数列是等差数列；（）记，求数列的前项和.7. 已知数列满足，且（，且）. （）设，求证数列是等差数列；（）记，求数列的前项和；（）设，求证.8. 若数列的各项均为正数，为常数，且. 求的值； 证明：数列为等差数列； 若，对任意给定的，是否存在使，成等差数列？若存在，用分别表示一组和；若不存在，请说明理由9. 已知数列是首项为，公比的等比数列 设，数列满足求证：数列成等差数列； 求数列的前项和10. 已知数列满足设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；求数列的前项和11. 已知数列中，当时，总有成立，且（）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）求数列的前项和12. 若数列满足且 (其中为常数)， 是数列的前项和，数列满足.求的值；试判断是否为等差数列，并说明理由；求 (用表示).13. 设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立若，求数列的通项公式； 求的值，使数列是等差数列14. 已知正项数列的首项，前项和满足求证：为等差数列，并求数列的通项公式；记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围15. 已知等差数列的前三项依次为、，前项和为，且. 求及的值； 设数列的通项，证明数列是等差数列，并求其前项和.16. 已知数列满足：， .()证明数列是等差数列，并求的通项公式；()数列满足：，求的前项和.17. 已知数列、满足：求；设，求证数列是等差数列，并求的通项公式；设，不等式恒成立时，求实数的取值范围.18. 已知数列满足，是数列的前项和，且有.证明：数列为等差数列；求数列的通项公式；设，记数列的前项和，求证：.19. 数列，满足 若是等差数列，求证：为等差数列； 若，求数列的前项和20. 已知数列的前项和为，证明：数列是等差数列，并求；设，求证：21. 已知数列有常数，其前项和为，满足 求数列的首项，并判断是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；令，是数列的前项和，求证：.22. 已知数列是等差数列， 判断数列是否是等差数列，并说明理由；如果为常数，试写出数列的通项公式；在的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。23. 已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有函数，数列的首项，（）求数列的通项公式；（）令求证：是等比数列并求通项公式 （）令，（为证整数），求数列的前项和24. 已知数列的前项和，数列满足()求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；()设，数列的前项和为，求满足的的最大值25. 已知数列的前项和为且，数列满足且且求的通项公式；求证：数列为等比数列;求前项和26. 设数列的前项积为，且.求证数列是等差数列；设，求数列的前项和27. 已知数列是首项和公比均为的等比数列，设数列满足求证数列是等差数列；求数列的前项和28. 数列的前项和为,若 ，和满足等式（）求的值；（）求证：数列是等差数列；（）若数列满足，求数列的前项和；（）设，求证：29. 已知数列满足，且且求证：数列是等差数列；求数列的通项公式；设数列的前项之和，求证：30. 在数列中，并且对于任意，都有证明数列为等差数列，并求的通项公式；设数列的前项和为，求使得的最小正整数.试卷答案1. 答案：见解析分析：由，得，依题意，数列是以 为首项公差为 的等差数列由知，则 ， 依题意可知 恒成立，令， 当 时 恒成立，当 时，由二次函数性质知 不可能成立，当时，此二次函数的对称轴为， 则 在 上是单调递减，要使对恒成立，必须且只须 即 ，又，综上 对于恒成立2. 答案：见解析分析：（）因为，所以，所以，数列是等差数列，首项为，公差为，所以，所以，解得（）解得：所以，所以数列的前项和为，假设存在正整数，使得对于恒成立，所以，化为，由于数列是单调递增数列，所以，化为，解得，而，所以因此不存在正整数，使得 对于恒成立3. 答案：见解析分析：（），由，可知，即，数列是首项为，公差为的等差数列（） 由（）得，数列的通项公式（）， 4. 答案：见解析分析：由，得：，即，又，数列是首项为，公差为的等差数列由知，记，则，两式相减得：，因此，5. 答案：见解析分析：（）由已知得 ，即 ，即 是以为公差的等差数列 （） ， ，即 （） ， 6. 答案：见解析分析：， .（）， . ，. 即. 是以为首项，以为公差的等差数列. （）由（），则， ， . 令， 则，故， 即. . 7. 答案：见解析分析：（）， . ，. 即. 是以为首项，以为公差的等差数列. （）由（），则， ， . 令， 则，故， 即. . （）， . .8. 答案：见解析分析： 由条件，设令，得 ，令，得 ，得， ， ，两式相减得数列为常数数列， 数列为等差数列. 由知，数列为等差数列，设公差为，则由条件，得，又数列的各项为正数，. 当时，若存在，使，成等差数列，则与矛盾因此，当时，不存在 当时，则，所以令得，满足综上所述，当时，不存在，；当时，存在一组满足题意9. 答案： 见解析分析： ）由已知可得， ，为等差数列，其中 ，10. 答案：解析分析：， 为等差数列又， 设，则 11. 答案：见解析分析：（）当时，即，又，数列是以为首项，为公差的等差数列 ，故（），两式相减得：，12. 答案：见解析 分析：由题意，得， . ，即， ，于是当且仅当，为等差数列，数列为等差数列， 又， ，由，为等差数列，得，当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列. ，即， . 由 ， ，由，又， 13. 答案：见解析 分析： 若，则 ，又， ， ， 化简，得 当时， - ，得 ， 当时， ，时上式也成立，数列是首项为，公比为的等比数列， 令，得令，得要使数列是等差数列，必须有，解得当 时，且当时，整理，得， 从而 ，化简，得，所以 综上所述， ，所以时，数列是等差数列14. 答案：或分析：证明：当时，又，因为， ， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列由此可得，由，当时，也适合，所以 ； 因为，所以， ，对任意的，不等式恒成立，解得或，所以对任意的，不等式恒成立，实数的取值范围或15. 答案： ； 分析： 等差数列的前三项依次为、，所以是、的等差中项，.所以等差数列的前三项依次为、，所以首项为，公差为.所以等差数列前项和.由得，又为正整数，. 由上问得，所以，数列是等差数列 ，由等差数列前项和公式，.16. 答案：答案见解析分析：因为所以所以是首项为，公差为的等差数列 所以，所以 ； 由已知 得所以 17. 答案： ，； ； 时 恒成立分析： 数列是以为首项，为公差的等差数列由条件可知恒成立即可满足条件，设当时，恒成立当时，由二次函数的性质知不可能成立当时，对称轴 ，在为单调递减函数， 时 恒成立18. 答案：见解析；详见解析分析：证明： 即： 数列是以为首项，为公差的等差数列.当时， 即：当时， 由知：19. 答案：见解析分析： 由题是等差数列，设的公差为， ；有，-可得：，即，所以，所以是公差为的等差数列 记，因为， 所以 ，-得：， ，20. 答案：；见解析.分析：由知，当时：， 即，对成立. 又是首项为，公差为的等差数列. 21. 答案：见解析分析：当时， ，则当时， ，则得检验 时也符合，故，则，所以为等差数列.综上是等差数列且.由则 ，所以，因为且，所以.22. 答案： 答案见解析分析：设的公差为，则 数列是以为公差的等差数列 因为 两式相减： 所以 所以 所以所以因为当且仅当时最大所以有 即23. 答案：（）；（）；（）分析：（）由 得 由，得 即： 所以由于数列各项均为正数， 即 数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是 （）由知，所以， 有，即， 而，故是以为首项，公比为的等比数列. 所以 （），所以数列的前项和 错位相减可得24. 答案：答案见解析分析：（）在中，令，可得，即当时， ，即，即当时，. 又，数列是首项和公差均为的等差数列.于是，（）由，得，即，单调递减，的最大值为25. 答案：见解析分析：由得， ，;，由上面两式得，又.数列是以为首项， 为公比的等比数列. 由得，前项和26. 答案：见解析分析：由题意可得：，所以 数列为等差数列，27. 答案：答案见解析分析：由题意知， 因为（常数），数列是首项公差的等差数列. 由知，于是两式相减得 所以28. 答案：（） （）见解析（III）（）见解析分析：（）由已知:（）,同除以,则有：,所以是以为首项,为公差的等差数列.（III）由（II）可知, 当时， 当时，经检验，当时也成立 解得： （）29. 答案：答案见解析分析：且，即且则数列是等差数列，公差为，首项 由得： 则 故30. 答案：见解析分析：，因为，所以， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，从而 因为 所以， 由， 得，最小正整数为.
