面试的时间最优化问题.doc
面试的时间最优化问题摘要：首先我们对给出的面试时间表格进行分析，用MATLAB编程算出任意两个求职者按照不同的顺序参加面试时，求职者等求职者的时间和考官等求职者的时间之和，然后用图论法建模，将算出的时间表达有向赋权图的权值，问题转化成求有向赋权图中连接四个顶点的路径最短问题。我们利用MATLAB编程，按从小到大的顺序依次找出n-1（n表示参加面试的人数）条权值最小边，然后用人工参与的方式，将找出的n-1条边排出最优顺序。最后，得出丁、甲、乙、丙的顺序为最优方案，共用84分钟。即：三人可在9：24一起离开公司。模型假设：（1）、假设面试者从一个阶段到下一个阶段参加面试的时间间隔为0；（2）、假定中途任何一位面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试，即没有中途退出的面试者；（3）、假定面试者都能在8：00准时到达面试地点；（4）、参加面试的求职者没有约定他们面试的先后顺序，并且他们面试的顺序与考官无关，即可以任意排列面试者的面试顺序。符号说明：i(=1,2,3,4):分别表示甲、乙、丙、丁四位同学；j(=1,2,3)：分别表示秘书初试、主管复试和经理面试的三个阶段；aij(i=1,2,3;j=1,2,3)：为求职者i在j阶段参加面试所用时间；tDK：表示在面试者中任取两名D和K，并且按D在前K在后的顺序参加面试，在该指定顺序中，K等待D的时间与考官等待K的时间之和，将tDK赋给有向赋权图中由D到K的向量的权值xDK；cDK：表示在求职者中任取两名D和K，按D在前K在后的顺序参加面试，在该指定顺序中，D完成面试到K完成面试的时间间隔；S：为最优路径的总时间。问题的分析：按照公司的要求，四名求职者的顺序一旦确定，在以下各阶段中面试的顺序将不再改变，由于每个求职者，在三个阶段面试的时间不同且固定，所以对任意两名求职者A、B，按A在前，B在后的顺序进行面试时，可能存在两种情况：I、当A进行完一个阶段j的面试后，B还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待B完成j-1阶段的面试后，才可对B进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。II、当B完成j-1阶段的面试后，A还未完成j阶段的面试，所以，B必须等待A完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者(考官)的情况。以上两种情况，必然延长了整个面试过程的时间。要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要是考官等候求职者的时间和求职者等候求职者(考官)的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高，他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。模型的建立与求解：首先由题中所给条件可得原始时间矩阵： Aij=a11a12a13a21a22a23a31a32a33a14a43a43为：13152010201820161081015下面我们来求有向赋权图的权值：由题意分析，求权值tDK可分为三种情况：1. 当a22-a11>=0，a23-a12>=0，说明若按顺序2>1（乙>甲）则1（甲）想进入第二阶段参加面试，需等候2（乙）的时间为（a22-a11），想进入第三阶段面试需等候2（乙）的时间为（a23-a12）。则：t21=(a22-a11)+(a23-a12)。此时时间差c21=a13，因为1（甲）求职者是在等候2（乙）求职者完成第三阶段的面试后才进入第三阶段进行面试，而1（甲）求职者在第三阶段面试共需时间a13，即是他俩完成各自面试的时间差值。2.当a22-a11>0，a23-a12<0，说明按照顺序2>1（乙>甲）进行面试，1（甲）想进入第二阶段参加面试，需等候2（乙）的时间为（a22-a11），想进入第三阶段面试，第三阶段的主考官需等候1（甲）求职者的时间为（a23-a12），则：t21=（a22-a11）+|a23-a12| 此时时间差c21=| a23-a12 |+a13，因为第3阶段的主考官在给1（甲）进行面试前已经等候的时间为|a23-a12|，而1（甲）在进行第三阶段的面试时间是a13，故是两时间之和。3. 当a22-a11<0，按顺序2>1（乙>甲）进行面试，第二阶段主考官需等候1（甲）求职者的时间为|a22-a11|，而这段时间的拖延，导致了第三阶段的考官也等候1（甲）的时间为| a22-a11 |，不管a23-a12>0，还是a23-a12<0,即不论后段是主考官在等,还是学生在等，这种顺序所用的总时间t21=|2*（ a22-a11） |+| a23 a12 |， 时间差c21=2 * | a22-a11 |+| a23 a12 | + a13。算法总结：通过以上假设讨论，我们总结出计算权值tDK及时间差cDK的方法：1.当aD2-aK1>=0时1)tDK=| aD2-aK1 |+| aD3-aK2 |2)当aD3-aK2>=0时，cDK=aK33)当aD3-aK3<0时，cDK=| aD3-aK2 | + aK32.当aD2-aK1<0时tDK=| 2*(aD2-aK1)+(aD3-aK2) |cDK=| 2*(aD2-aK1)+(aD3-aK2) |+aK3以上算法可以通过MatLab编程实现（见附一）。由运行结果可得：TDK= 0 5 6 17 10 0 2 20 8 16 0 8 6 5 21 0 然后我们用MatLab找出TDK中的最短路径（见附二）。经程序运行得出权值最小的边为：t41,t12,t23。即顺序为丁甲、甲乙、乙丙。可得出最优的顺序为：丁甲乙丙。 所以最优路径的总时间为：S=丁所用总时间+c41+c12+c23=84min 综上所述，完成所有面试至少需要84分钟，即9点24分为他们的最早离开时间。面试顺序为：4-1-2-3（丁-甲-乙-丙）。 附录附录一：function rst=CrtPower(a) %Find the Power of the matrix.%*% This is Help Information About Power() Function.% Find the min number in the matrix.% Verison:1.0.0 Finish Date:27/08/2004% Usage:% Power(a) %a is matrix .% return a rst.%*a=13,15,20;10,20,18;20,16,10;8,10,15;Rows=length(a(:,1); %Get the Rows of the matrix.Col1=a(:,1);Col2=a(:,2);Col3=a(:,3);rst=zeros(Rows);for Count1=1:Rows; for Count2=1:Rows; if Col2(Count1)-Col1(Count2)>=0; rst(Count1,Count2)=abs(Col2(Count1)-Col1(Count2)+abs(Col3(Count1)-Col2(Count2); elserst(Count1,Count2)=2*abs(Col2(Count1)-Col1(Count2)+abs(Col3(Count1)-Col2(Count2); end; if Count1=Count2 rst(Count1,Count2)=inf; end; end;end;CrtPower(a)附录二：function rst=FindMinParam(a,iCount,Diff)%*% This is Help Information About FindMinParam() Function.% Find the min number in defferent Rows and Cols the matrix.% Verison:1.1.2 Finish Date:28/08/2004 % Usage:% FindMinParam(a,iCount,Diff)% a is matrix .% iCount is Counter.% Diff is the parame to Find the mininum in Different Row. %*a=13,15,20;10,20,18;20,16,10;8,10,15;if nargout>1 error('Too many output arguments!');else if (nargin=0 | nargin>3) error('Too many input arguments!'); else Cols=length(a(1,:); Rows=length(a(:,1); if nargin=1 iCount=Rows * Cols; Diff=0; end; if nargin=2 | nargin=3 if iCount>Rows * Cols error('The search number is too big!'); iCount=Rows * Cols; elseif iCount<1 error('The mininum is 1'); iCount=1; else iCount=iCount; end; if nargin=3 if Diff=1 Diff=1; else Diff=0; end; else Diff=0; end; end; rst=zeros(iCount,3); for Count=1:iCount Succ=0; for RowCount=1:Rows; for ColCount=1:Cols; if (min(min(a)=a(RowCount,ColCount); tmpMin=min(min(a); tmpRow=RowCount; tmpCol=ColCount; if Diff=1 a(RowCount,:)=inf; a(:,ColCount)=inf; else a(RowCount,ColCount)=inf; end; Succ=1; break; end; end %End For if Succ=1 break; end; end; if Succ=1 rst(Count,1)=tmpMin; rst(Count,2)=tmpRow; rst(Count,3)=tmpCol; end; end; disp(rst); end;end;FindMinParam(CrtPower(a),3,1)
