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无穷级数敛散性的判断 学号：2012811070 姓名：高晗 班级：商学院工商管理二班无穷级数敛散性的判断无穷级数是高等数学中的一个重要组成部分，它包括常数项级数、函数项级数。其中，常数项级数又可分为正项级数、交错级数和一般级数；函数项级数又可分为幂级数、傅里叶级数等。本文主要探讨的是常数项级数和函数项级数中的幂级数的敛散性。首先，我们要明确一个概念：什么叫做级数的收敛与发散？根据一个无穷项数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛和发散的概念：如果级数的部分和数列有极限,即=，则称无穷级数收敛，这时极限叫做这个级数的和，并写成=+；如果没有极限，则称无穷级数发散。接下来，我们来具体分析一下常数项级数和函数项级数的审敛法。一、 正项级数1、 基本审敛法正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。2、 比较审敛法和都是正项级数，且（n=1,2,）。若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散。例1：证明级数是发散的。解：因为<,所以>,而级数=+是发散的。根据比较审敛法克制所给级数也是发散的。3、 比较审敛法的推论设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在正整数N ，使当nN时，有（>0）成立，则级数收敛。如果级数发散，且当nN时，有（>0）成立，则级数发散。4、 比较审敛法的极限形式设和都是正项级数，如果=，则（1） 当<<时，两级数有相同的敛散性（2） 当=时，若收敛，则收敛（3） 当=时，若发散，则发散例2：判断级数的敛散性解：因为1>0，而级数发散，由上述审敛法可知此级数发散。5、 比值审敛法（达朗贝尔判别法）设为正项级数，如果=，则当<1时，级数收敛；当>1(或=+)时级数发散；=1时，级数可能发散也可能收敛。例3：判断+的敛散性解：令=，所以=，=，所以=0， 所以该级数也收敛。6、 根值审敛法（柯西判别法）设为正项级数，如果=，则当<1时，级数收敛；当>1(或=+)时级数发散；=1时，级数可能发散也可能收敛。例4：判断级数的敛散性解：=，因为有界，故=0。从而=。因此根据根值审敛法可知所给级数收敛。7、 极限审敛法设为正项级数（1） 如果=>0 （或=+），则级数发散。（2） 如果p>1,而=（0<+）,则级数发散。例5：判断级数的敛散性解:因为（），故=1，根据极限审敛法可知，所给级数收敛。二、 交错级数1、 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件：（1） （n=1,2,）；（2） =0，则级数收敛，且和,其余项的绝对值2、 拉阿伯判别法在交错级数审敛中的推广1对于交错级数，如果，那么（1） 当>0时，级数收敛。且当时条件收敛，当>1（含=+）时，级数绝对收敛，=1时，可能是条件收敛也可能是绝对收敛；（2） 当<0时（含=-），级数发散；（3） 当=0时，级数可能条件收敛也可能发散。例6：判断交错级数的敛散性解：，由上述审敛法可知该级数为条件收敛。3、 贝尔特昂判别法在交错级数审敛中的推广2对于交错级数，如果，那么（1） 当>1（含=+）时，级数绝对收敛；（2） 当=1时，级数可能绝对收敛也可能条件收敛；（3） 当-<<1时，级数条件收敛；（4） 当=-时，级数可能条件收敛也可能发散。4、 双项交错级数的审敛法3对于双项交错级数，如果满足（1） （n=0,1,2,3,）；（2）则级数收敛。例7：判别级数的敛散性解：因为数列和数列均单调减少且趋向于零，所以双向交错 级数满足定理中的两个条件，故原级数收敛。三、 一般常数项级数1、 定义法如果级数的部分和数列有极限,即=，则称无穷级数收敛，这时极限叫做这个级数的和，并写成=+；如果没有极限，则称无穷级数发散。例8：判断无穷级数+的敛散性解：由于=-，因此，=+ =（）+（）+（-） =1-从而，从而这个级数收敛，它的和是12、 利用基本性质判断（1） 性质一：如果级数收敛于和s,则级数也收敛，且其和为。（2） 性质二：如果级数和分别收敛于和和，则级数也收敛，且其和为+。3、 利用基本性质的推论进行判断（1） 如果某级数任意加括号后所成的级数发散，则原来的级数也发散。（2） 如果某级数一般项的极限，则原级数发散。4、 利用与的关系判断若收敛，则也收敛。若发散，则必定发散。四、 幂级数审敛法1、 阿贝尔定理如果级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散。判别无穷级数敛散性的方法有很多，但有一些判别法由于自身的理解能力有限就没有写在文章里面。以上就是我所整理的所有的有关无穷级数的审敛法。参考文献：1、 张永明，交错级数审敛法综述J,北京印刷学院学报，2011 年4月第19卷第2期，第71页2、 段玉，贝尔特昂判别法的推广J,湖南商学院学报，1998年 第3期，第93页3、倪培溉，交错级数的审敛法J,中国民航学院学报，1995年 12月第13卷第5期，第99页