线性不确定系统的极小极大控制课件.ppt

2023年4月3日,线性不确定系统的极小极大控制,东北大学信息科学与工程学院井元伟教授,二八年十二月,1 引言,2 基本概念和预备知识,3 不确定连续系统的极小极大控制,5 结 论,4 不确定离散系统的极小极大控制,1 引言,稳定性和性能 控制系统设计中至关重要的问题。外界的干扰和系统自身的不确定性 破坏系统的稳定性和性能。随着干扰增大系统的状态会逐渐偏离平衡点并且控制的能量变大。为了保证投入比较小的控制能量，使得充分大的干扰对系统的状态和输出的影响降低到最小，并且保证系统是稳定的，引入极小极大控制方法。,2023年4月3日,极小极大,2 基本概念和预备知识,2023年4月3日,极小极大,2 基本概念和预备知识,定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标,2023年4月3日,极小极大,2 基本概念和预备知识,定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标,如果存在一个控制律,和一个正数,2023年4月3日,极小极大,2 基本概念和预备知识,定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标,如果存在一个控制律,和一个正数,在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且,2023年4月3日,极小极大,2 基本概念和预备知识,定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标,如果存在一个控制律,和一个正数,在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且,2023年4月3日,极小极大,2 基本概念和预备知识,定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标,如果存在一个控制律,和一个正数,在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且,称为一个性能上界，,称为极小极大鲁棒控制律。,2023年4月3日,极小极大,性能指标,2023年4月3日,极小极大,性能指标,2023年4月3日,极小极大,性能指标,其中，,2023年4月3日,极小极大,性能指标,其中，,2023年4月3日,极小极大,性能指标,其中，,表示系统所有的干扰和容许的不确定性。,2023年4月3日,极小极大,物理意义和目的 物理意义：极小极大控制，针对干扰和不确定性最坏的情形，讨论的是，如何控制系统的稳定性和性能，使得系统在整个时间过程中状态偏差、控制消耗能量和终值精度等几方面综合性能指标最小。,2023年4月3日,极小极大,目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使,2023年4月3日,极小极大,目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使,2023年4月3日,极小极大,目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使,尽量接近于零状态，这就相当于使积分,2023年4月3日,极小极大,目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使,尽量接近于零状态，这就相当于使积分,尽可能地小。,2023年4月3日,极小极大,另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分,2023年4月3日,极小极大,另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分,2023年4月3日,极小极大,另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分,尽可能的小。而极小极大控制问题充分考虑到干扰和不确定性的影响，希望在干扰和不确定性尽可能大的情形下寻求一个使得性能指标最小的控制。,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,(3.1)其中，,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,(3.1)其中，,系统的状态向量,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,(3.1)其中，,系统的状态向量,系统的控制向量,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,(3.1)其中，,系统的状态向量,系统的控制向量,系统的干扰向量,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,(3.1)其中，,系统的状态向量,系统的控制向量,系统的干扰向量,给定的相应维数的矩阵,2023年4月3日,极小极大,3 不确定连续系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定线性连续系统为,(3.1)其中，,系统的状态向量,系统的控制向量,系统的干扰向量,给定的相应维数的矩阵,可测的矩阵函数，且对于所有的,满足,(3.2),2023年4月3日,极小极大,考虑性能指标泛函为,2023年4月3日,极小极大,(3.3)其中，,考虑性能指标泛函为,2023年4月3日,极小极大,(3.3)其中，,考虑性能指标泛函为,2023年4月3日,极小极大,(3.3)其中，,表示系统所有的干扰和容许的不确定性。针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律,考虑性能指标泛函为,2023年4月3日,极小极大,(3.3)其中，,表示系统所有的干扰和容许的不确定性。针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律,考虑性能指标泛函为,2023年4月3日,极小极大,(3.3)其中，,表示系统所有的干扰和容许的不确定性。针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律,考虑性能指标泛函为,(3.4)使得闭环系统渐近稳定且性能指标的值达到最小。,2023年4月3日,极小极大,将系统(3.1)记为如下的等价系统,2023年4月3日,极小极大,(3.5)其中，,将系统(3.1)记为如下的等价系统,2023年4月3日,极小极大,(3.5)其中，,将系统(3.1)记为如下的等价系统,2023年4月3日,极小极大,(3.5)其中，,将系统(3.1)记为如下的等价系统,2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,满足下列不等式,2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,满足下列不等式,(3.6),2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,满足下列不等式,(3.6),(3.7)则,2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,满足下列不等式,(3.6),(3.7)则,2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,满足下列不等式,(3.6),(3.7)则,为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足,2023年4月3日,极小极大,极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3),如果存在对称正定矩阵,满足下列不等式,(3.6),(3.7)则,为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定离散系统,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定离散系统,(4.1),2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定离散系统,(4.1),为系统的可量测状态向量，,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定离散系统,(4.1),为系统的可量测状态向量，,为系统的控制向量，,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,系统描述考虑不确定离散系统,(4.1),为系统的可量测状态向量，,为系统的控制向量，,为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,(4.2)其中，,系统描述考虑不确定离散系统,(4.1),为系统的可量测状态向量，,为系统的控制向量，,为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件,2023年4月3日,极小极大,4 不确定离散系统的极小极大控制,(4.2)其中，,系统描述考虑不确定离散系统,(4.1),为系统的可量测状态向量，,为系统的控制向量，,为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件,是已知给定的具有相应维数的矩阵，且,属于下列集合,(4.3),2023年4月3日,极小极大,考虑如下性能指标,2023年4月3日,极小极大,考虑如下性能指标,(4.4)其中，,2023年4月3日,极小极大,(4.4)其中，,考虑如下性能指标,是和不确定性,有关的，且,2023年4月3日,极小极大,(4.4)其中，,考虑如下性能指标,是和不确定性,有关的，且,2023年4月3日,极小极大,(4.4)其中，,考虑如下性能指标,是和不确定性,有关的，且,根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为,2023年4月3日,极小极大,(4.4)其中，,考虑如下性能指标,是和不确定性,有关的，且,根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为,(4.5)其中，,2023年4月3日,极小极大,(4.4)其中，,考虑如下性能指标,是和不确定性,有关的，且,根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为,(4.5)其中，,2023年4月3日,极小极大,不确定离散系统的极小极大控制律设计,2023年4月3日,极小极大,定义4.1 如果系统干扰的,范数是有界的，即,不确定离散系统的极小极大控制律设计,2023年4月3日,极小极大,定义4.1 如果系统干扰的,范数是有界的，即,不确定离散系统的极小极大控制律设计,2023年4月3日,极小极大,定义4.1 如果系统干扰的,范数是有界的，即,则称其是容许的。引理 4.1 对于任意的,不确定离散系统的极小极大控制律设计,2023年4月3日,极小极大,定义4.1 如果系统干扰的,范数是有界的，即,则称其是容许的。引理 4.1 对于任意的,，给定矩阵,，都有,不确定离散系统的极小极大控制律设计,2023年4月3日,极小极大,定义4.1 如果系统干扰的,范数是有界的，即,则称其是容许的。引理 4.1 对于任意的,，给定矩阵,，都有,.(4.6)成立。其中，,不确定离散系统的极小极大控制律设计,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,若对于给定的非负定对称矩阵,，存在正定矩阵,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,若对于给定的非负定对称矩阵,，存在正定矩阵,使方程,有解且,，,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,若对于给定的非负定对称矩阵,，存在正定矩阵,使方程,有解且,，,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,若对于给定的非负定对称矩阵,，存在正定矩阵,使方程,有解且,，,是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有,2023年4月3日,极小极大,引理 4.2 针对线性离散系统,若对于给定的非负定对称矩阵,，存在正定矩阵,使方程,有解且,，,是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有,2023年4月3日,极小极大,为由局部极小极大控制和最坏干扰所构成闭环系统的系数矩阵。,引理 4.2 针对线性离散系统,若对于给定的非负定对称矩阵,，存在正定矩阵,使方程,有解且,，,是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有,其中，,2023年4月3日,极小极大,定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数,，,及正定矩阵,和,2023年4月3日,极小极大,定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数,，,及正定矩阵,和,满足下列条件,2023年4月3日,极小极大,定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数,，,及正定矩阵,和,满足下列条件,(4.7),2023年4月3日,极小极大,定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数,，,及正定矩阵,和,满足下列条件,(4.7),(4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则,2023年4月3日,极小极大,定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数,，,及正定矩阵,和,满足下列条件,(4.7),(4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则,是使性能指标(4.4)（其中取,）在最坏干扰下取得极小值的鲁棒控制器，并且有,其中，,2023年4月3日,极小极大,定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数,，,及正定矩阵,和,满足下列条件,(4.7),(4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则,是使性能指标(4.4)（其中取,）在最坏干扰下取得极小值的鲁棒控制器，并且有,其中，,，,。,2023年4月3日,极小极大,简单介绍了含有不确定性的线性连续和离散系统的极小极大控制问题的提法。分别给出了矩阵不等式形式的极小极大控制器的存在条件。关于极小极大控制器的求解方法，通过定理证明的形式可以得到。比较复杂，可阅有关资料。可通过MATLAB工具箱，求解得到使闭环系统稳定且性能指标达到极小值的控制器的反馈参数。,5 结 论,