线性代数教案课件.ppt

齐次线性方程组的解法,(1)确定为齐次线性方程组；(2)初等行变换化为行最简形矩阵，得系数矩阵的秩r；(3)由行最简形矩阵写出方程组的一般解；(4)用一般解构造基础解系，从而得到通解.,2.5非齐次线性方程组,本节主要内容,1.非齐次线性方程组何时有解？2.非齐次线性方程组有解时，解的结构如何？3.非齐次线性方程组的解法.,定义1：对于非齐次线性方程组,分别称为方程组的系数矩阵和增广矩阵.,记则非齐次线性方程组可以表示为,非齐次线性方程组何时有解？,定理：非齐次方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩增广矩阵的秩,方程组有解 能由 线性表示 与 秩相等 R(B)=R(A),非齐次方程组的解的结构,非齐次线性方程组与对应的齐次线性方程组解之间的关系：1.x和y是非齐次方程组的解，则x-y是齐次方程组的解；2.x是非齐次方程组的解，y是齐次方程组的解，则x+y是非齐次方程组的解；3.x是非齐次方程组的一个解（称为特解），则非齐次方程组的任何一个解都可以表示为x+y，其中y是齐次方程组的某个解.,定理：把非齐次线性方程组的任意一个特解加到对应的齐次线性方程组的每个解上，就得到非齐次线性方程组的全部解.,定理 设 是齐次方程组的一个基础解系，是非齐次方程组的一个特解，则非齐次方程组的通解为,例题1 解线性方程组,解答：,例题2 解线性方程组,解答：,例题3 解线性方程组,由于系数矩阵的秩为2而增广矩阵的秩为3故此方程组无解.,解答：,例题4 解线性方程组,解答：,练习,P63习题二2.72.12（5）2.13（4）（5）,小结,齐次线性方程组的解的情况：系数矩阵的秩=未知数个数方程组有惟一解；系数矩阵的秩未知数个数方程组有无穷多解.非齐次线性方程组的解的情况：系数矩阵的秩增广矩阵的秩方程组无解；系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知数个数方程组有惟一解；系数矩阵的秩=增广矩阵的秩未知数个数方程组有无穷多解.,非齐次线性方程组的全部解就是相应的齐次线性方程组的全部解加上非齐次线性方程组的一个特解.,作业,课本P63习题二2.52.11,本章内容小结,本章内容是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的情况.,矩阵的秩与线性方程组的解的关系齐次线性方程组的解的情况：系数矩阵的秩=未知数个数方程组有惟一解；系数矩阵的秩未知数个数方程组有无穷多解.非齐次线性方程组的解的情况：系数矩阵的秩增广矩阵的秩方程组无解；系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知数个数方程组有惟一解；系数矩阵的秩=增广矩阵的秩未知数个数方程组有无穷多解.,向量的线性相关性与矩阵的秩的关系mn时，m个n维向量线性相关；mn时，m个n维向量线性无关由它们组成的mn矩阵A的秩R(A)=m；m个n维向量线性相关由它们组成的mn矩阵A的秩R(A)m.m=n时，n个n维向量线性无关由它们组成的nn矩阵A的秩R(A)=nA为满秩矩阵|A|0；n个n维向量线性相关由它们组成的nn矩阵A的秩R(A)nA为降秩矩阵|A|=0.,向量组的秩=向量组所成矩阵的秩=向量组中最大无关组中向量的个数.,向量线性相关性的判断判断向量组 线性相关性时考虑方程的解的情况：方程有惟一的解（零解）向量组线性无关；方程有无穷多解（有零解有非零解）向量组线性相关.,矩阵秩的求法用初等行变换化为行阶梯矩阵，非零行数就是矩阵的秩.线性方程组的解法化增广矩阵为行最简型矩阵，得到化简后的方程组，解之.,正是由于上述关系，本部分题目解法更多更灵活.例如：矩阵秩的问题向量组的秩的问题向量组的最大无关组的问题向量组的线性相关性线性方程组的解的情况,